1 Propagation dépidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL Superviseur : Micha Hersch Etudiants : Bruno Pais & Didier Languetin 3 avril 2009

2 Objectifs Etudier le modèle simple SIR Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un cas dépidémie actuel : Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL Adapter ce modèle à notre cas particulier afin dévaluer: - les risques encourus - efficacité de la campagne de vaccination

Lépidémie Lépidémie, quest-ce exactement? Une épidémie signifie augmentation rapide de lincidence dune pathologie en un lieu et sur un moment donné. Nombre de jours I(t)

Intérêts du modèle SIR Le modèle SIR permet de : Visualiser graphiquement la propagation dune maladie au sein dun espace clos et son évolution. D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.

Le modèle simple SIR Le système dynamique S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie. I(t): nombres de personnes infectées. R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.

Le modèle simple SIR Le système dynamique: dS/dt = -r · S(t) · I(t) dI/dt = r · S(t) · I(t) - a · I(t) dR/dt = a · I(t) Les paramètres: r : indice de virulence (vitesse de transmission) a : indice de guérison.

Perfectionnement du modèle Nous avons optimiser le modèle de manière à prendre en considération: le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)

Données acquises

Méthodologie (choix) Choix : 1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux 2. Intervalle de temps 3. Une semaine = 7 jours de cours 4. Un dose suffit pour être vaccinné 5. Pas de période d'incubation jours pour être mis en quarantaine 7. Uniquement les 10% initialement non vaccinées son pris en compte dans notre modèle

Méthodologie (conditions) Conditions initiales : 1. S(t=0) = 2500 dont :1400 (Unil) 1100 (EPFL) 2. I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0 3. R(t=tf) = nombre totale d'infectés = 49

Modèle perfectionné function y=f(x,t) s= ; r= ; a=2/11; u=0.95; v= ; if(t>=14 & t<=32) # Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3): y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1); y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5)); y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1); # Site EPFL : y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4); y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5)); y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4); else # Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3): y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)); y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5)); y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)); # Site EPFL : y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)); y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5)); y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)); end endfunction

Optimisation des paramètres Calcul de a: Une personne sera isolée en moyenne 6 jours après être susceptible de transmettre le virus. Le taux de guérison est donc de 1/6. Recherche de r et s avec a fixé: On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à laide de la formule suivante: ( n EPFL – 37) ² + ( n UNIL -12) ² soit le plus petit possible

Optimisation des paramètres Coût(s)(r) Coût(s)(r)

Modélisation des flux Modélisation des flux des personnes: Le calcul des flux se fait également à laide de la formule précédente.

Paramètres de la vaccination Les paramètres u et v de la vaccination: v dS/d(t) = - v S(t)avec t= 19 et v = -log (S(t)/2500) / tS(19) = 1000 v = u = 0.95

Dynamique des populations Dynamique sans vaccinDynamique avec vaccin jours Nombre de personnes jours

Effet de la vaccination semaines Nombre de personnes infectées Dynamique avec vaccinDynamique sans vaccin EPFL UNIL+EPFL UNIL UNIL+EPFL UNIL EPFL

Perspectives Présence sur site que 5 jours sur 7 Tenir compte des flux extérieurs