Calcul d’aires à l’aide des limites Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Il nous faut maintenant définir l’aire d’une surface de façon stricte pour pouvoir l’utiliser mathématiquement. On peut être porté à croire qu’il est possible de déterminer l’aire de toute région du plan. Ce n’est pas le cas. Il existe des régions du plan dont la frontière est si complexe qu’il est impossible d’en déterminer l’aire. Pour donner une définition mathématiquement acceptable de l’aire, nous aurons recours à la notion de limite et aux sommations.

Valeur approchée de l’aire Décomposer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en 5 rectangles de même base et estimer l’aire sous la courbe à l’aide de ces rectangles. Les intervalles obtenus sont : REMARQUE : On effectue la somme en utilisant le fait que : [0; 1/5], [1/5; 2/5], [2/5; 3/5], [3/5; 4/5], [4/5; 5/5] Construisons cinq rectangles de même base, soit 1/5. S i = 1 n i 2 Considérons comme hauteur de chacun des rectangles l’image par la fonction de sa frontière de gauche. La hauteur du premier rectangle est alors f(0/5) = (0/5)2, celle du deuxième rectangle est f(1/5) = (1/5)2 ... = n (n + 1)(2n + 1) 6 S i = 0 4 1 5 i 2 1 5 = 2 1 5 + 2 1 5 + 2 1 5 + 3 2 1 5 + 4 2 At = 1 53 = 30 125 = (02 + 12 + 22 + 32 + 42) = 0,24 unité d’aire S S S

Valeur approchée de l’aire L’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1]. Notre estimation est de 0,24 unité d’aire. Cette estimation est en manque puisque l’aire des rectangles est inférieure à celle sous la courbe. Déterminons une autre estimation en considérant comme hauteur de chaque rectangle l’image par la fonction de sa frontière de droite. On obtient alors : S i = 1 5 Ai 1 5 = 2 1 5 + 2 1 5 + 3 2 1 5 + 4 2 1 5 + 2 At = 1 53 = 55 125 = (12 + 22 + 32 + 42 + 52) = 0,44 unité d’aire S S

Valeur approchée de l’aire L’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1]. Elle est comprise entre 0,24 et 0,44 unité d’aire. En augmentant le nombre de rectangles, on peut obtenir une meilleure estimation de cette aire. Considérons dix sous-intervalles. On obtient : • par les frontières de gauche : S i = 0 9 1 10 i 2 = 1 103 S i = 1 10 i2 = 1 103 9 ´10´19 6 At = = 0,285 • par les frontières de droite : S i = 1 10 1 i 2 = 1 103 i2 S i = 1 10 = 1 103 10 ´11´21 6 At = = 0,385 S S

Valeur approchée de l’aire L’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1]. Elle est comprise entre 0,285 et 0,385 unité d’aire. En augmentant le nombre de subdivisions de l’intervalle, on augmente la précision de l’estimation. On devrait pouvoir obtenir l’aire exacte en prenant la limite, si elle existe, lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini. • par les frontières de gauche : • par les frontières de droite : S i = 0 n–1 1 n i 2 = 1 n3 i2 S i = 1 n–1 S i = 1 n 1 i 2 = 1 n3 i2 S i = 1 n = 1 n3 (n–1) n (2n – 1) 6 At = = 1 n3 n(n + 1)(2n + 1) 6 At = La limite lorsque n tend vers l’infini donne : La limite lorsque n tend vers l’infini donne : n3 (1 – 1/n)(2 – 1/n) 6 lim n®∞ = (1 – 1/n)(2 – 1/n) 6 = 2 6 = 1 3 A = lim n®∞ n3 (1 + 1/n)(2 + 1/n) 6 lim n®∞ = (1 + 1/n)(2 + 1/n) 6 = 2 6 = 1 3 A = lim n®∞ S S S

Aire sous une courbe S S S Considérons maintenant l’aire sous une courbe représentant une fonction continue non négative dans un intervalle [a ;b]. Pour calculer une valeur approchée de cette aire, on peut déterminer une partition de l’intervalle (division en sous-intervalles). On peut former des rectangles en choisissant comme hauteur d’un rectangle soit l’image par la fonction de sa frontière de gauche, soit l’image de sa frontière de droite ou encore l’image d’une valeur quelconque du sous-intervalle. La somme des aires de ces rectangles est alors une valeur estimée de l’aire sous la courbe. S S S

a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b Partition Définition Partition REMARQUE : L’intersection de deux sous-intervalles adjacents d’une partition P ne contient que la frontière commune. Soit [a; b], un intervalle. Une partition P de [a; b] est une suite de nombres réels x0, x1,x2, ..., xn tels que : a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b On note la partition de la façon suivante : P = {x0, x1, x2, …, xn} Si les sous-intervalles n’ont pas même largeur, la partition est irrégulière. x0 x1 x2 x3 . . . xi–1 xi . . . xn–2 xn–1 xn Si les sous-intervalles ont même largeur, la partition est régulière. x0 x1 x2 . . . xi–1 xi . . . xn–2 xn–1 xn S

S S Somme de Riemann S Définition Somme de Riemann Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition de cet intervalle. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme : S i = 1 n f(xi ) ∆xi , où ci Î [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1 En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de l’aire sous la courbe d’une fonction positive. L’aire est définie par la limite lorsque la largeur du plus grand des sous-intervalles tend vers 0, soit : S i = 1 n f(xi ) ∆xi lim (max∆xi)® 0 S

S S Aire sous une courbe S Définition Aire sous une courbe Soit f, une fonction continue et non négative définie sur [a; b] et P = {x0, x1, x2, …, xn} une partition de cet intervalle. L’aire sous la courbe dans l’intervalle [a; b] est définie par : REMARQUE : Une partition régulière dont on utilise l’image soit de la frontière de gauche, soit de la frontière de droite comme hauteur des rectangles est un cas particulier de somme de Riemann. S i = 1 n f(ci ) ∆xi A[a; b] = lim (max∆xi)® 0 , où ci Î [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1 Dans les exemples que nous allons présenter, les partitions comporteront n sous-intervalles de même largeur, soit : ∆x = b – a n Lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers ∞, la largeur de ces sous intervalles tend vers 0. On a donc la forme équivalente : S i = 1 n f(ci ) ∆x lim ∆x ® 0 ∆x = b – a n A[a; b] = , où S

Calcul de l’aire à l’aide des limites Procédure pour calculer l’aire sous une courbe à l’aide d’une limite 1. Vérifier si la procédure s’applique (f ≥ 0 dans tout l’intervalle). 2. Déterminer les frontières de l’intervalle [xi–1; xi]. Cet intervalle servira à déterminer le terme général de la sommation. 3. Choisir la frontière de l’intervalle dont l’image servira de hauteur du rectangle et déterminer cette image. 4. Déterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi]. C’est le terme général de la sommation. On appelle ce rectangle le représentant. 5. Décrire la somme des aires des rectangles de la partition à l’aide de la notation sigma et en appliquer les propriétés. 6. Évaluer la limite de la somme lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l’infini. Voyons en détail les étapes de cette procédure à l’aide d’un exemple.

Partition d’un intervalle Déterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de l’intervalle [2; 5] en n sous-intervalles. Déterminer les frontières du ie sous-intervalle. Dans une partition régulière, tous les sous-intervalles sont de même largeur. Celle-ci est : ∆x = 5 – 2 n 3 n = On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x0 = 2. Cela donne : La frontière de gauche du ie sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x0 = 2 et celle de droite en l’additionnant i fois. S S

Exercice (partition d’un intervalle) Déterminer les frontières des sous-intervalles de la partition régulière de l’intervalle [1; 3] en n sous-intervalles. REMARQUE : De façon générale, les frontières du ie intervalle sont : xi–1 = a + (i – 1) ∆x xi = a + i ∆x où ∆x = (b – a)/n Déterminer les frontières du ie sous-intervalle. Dans une partition régulière, tous les sous-intervalles sont de même largeur. Celle-ci est : ∆x = 3 – 1 n 2 n = On obtient les frontières en additionnant successivement n fois la largeur des sous-intervalles à partir de x0 = 1. Cela donne : La frontière de gauche du ie sous-intervalle est obtenue en additionnant i–1 fois la largeur des intervalles à x0 = 1 et celle de droite en l’additionnant i fois. S S

Image de la frontière droite Déterminer l’image par la fonction f(x) = x2 + x de la frontière de droite du ie sous-intervalle de la partition régulière de l’intervalle [2; 5] en n sous-intervalles. 3 n ∆x = xi = 3i n 2 + 2n + 3i n = La frontière de droite est : L’image par la fonction donne : 2n + 3i n 2 6n2 + 15ni + 9i2 n2 2n + 3i n + 2n + 3i n f = 4n2 + 12ni + 9i2 n2 + 2n + 3i n = = 4n2 + 12ni + 9i2 n2 + 2n2 + 3ni n2 = 6n2 + 15ni + 9i2 n2 2n + 3i n S S

Exercice (image de la frontière droite) Déterminer l’image par la fonction f(x) = x2 + 2x + 1 de la frontière de droite du ie sous-intervalle de la partition régulière de l’intervalle [1; 3] en n sous-intervalles. 2 n ∆x = xi = 2i n 1 + n + 2i n = La frontière de droite est : L’image par la fonction donne : 4n2 + 8ni + 4i2 n2 = n + 2i n 2 + 2 + 1 f n + 2i n = n2 + 4ni + 4i2 n2 + 2 n + 2i n + 1 = n2 + 4ni + 4i2 n2 + 2n2 + 4ni n2 + n2 = 4n2 + 8ni + 4i2 n2 n + 2i n S S

Aire du représentant S S Déterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi] et dont la hauteur est la frontière de droite de l’intervalle par la fonction f(x) = x2 + x. 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) Ai= 6n2 + 15ni + 9i2 n2 2n + 3i n 3 ∆x = L’image de la frontière de droite par la fonction est : f(xi) = 6n2 + 15ni + 9i2 n2 3 n ∆x = La largeur de l’intervalle est : 3 n 6n2 + 15ni + 9i2 n2 L’aire du rectangle est : Ai = ∆x f(xi) = 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) = S S

Exemple (aire du représentant) Déterminer l’aire du rectangle construit sur l’intervalle [xi–1; xi] et dont la hauteur est la frontière de droite de l’intervalle par la fonction f(x) = x2 + 2x + 1. 8 n3 (n2 + 2ni + i2) Ai = 2 n ∆x = 4n2 + 8ni + 4i2 n2 n + 2i L’image de la frontière de droite par la fonction est : f(xi) = 4n2 + 8ni + 4i2 n2 2 n ∆x = La largeur de l’intervalle est : 2 n 4n2 + 8ni + 4i2 n2 L’aire du rectangle est : Ai = ∆x f(xi) = 8 n3 (n2 + 2ni + i2) = S S

Somme des aires de rectangles Décrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant d’estimer l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x dans l’intervalle [2; 5]. Appliquer les propriétés de la sommation. 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) Ai= 6n2 + 15ni + 9i2 n2 2n + 3i n 3 ∆x = Ai 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) = L’aire du représentant est : La somme des aires des rectangles est : Ai = S i = 1 n 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) S i = 1 n 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) S i = 1 n = 9 n3 2n2 + S i = 1 n = 3i2 5ni + 9 n3 2n3 + 5n = S i = 1 n i2 i + 3 9 n3 33n3 + 24n2 + 3n 6 At = 2n3 + 5n 9 n3 = + 3 n(n +1) 2 n(n +1)(2n + 1) 6 9 n3 = 33n3 + 24n2 + 3n 6 S S

Exercice (somme des aires de rectangles) Décrire la somme des aires des rectangles de la partition régulière permettant d’estimer l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x + 1 dans l’intervalle [1; 3]. Appliquer les propriétés de la sommation. 2 n ∆x = 4n2 + 8ni + 4i2 n2 n + 2i 8 n3 (n2 + 2ni + i2) Ai = Ai 8 n3 (n2 + 2ni + i2) = L’aire du représentant est : La somme des aires des rectangles est : Ai = S i = 1 n 8 n3 (n2 + 2ni + i2) S i = 1 n 8 n3 (n2 + 2ni + i2) S i = 1 n = 8 n3 n2 + S i = 1 n = i2 2ni + 8 n3 n3 + 2n = S i = 1 n i2 i + 8 n3 At = 14n3 + 9n2 + n 6 n3 + 2n 8 n3 = + n(n +1) 2 n(n +1)(2n + 1) 6 8 n3 = 14n3 + 9n2 + n 6 S S

Limite de la somme Évaluer la limite lorsque n tend vers l’infini de : Ai S i = 1 n 9 n3 (2n2 + 5ni + 3i2) Ai= 6n2 + 15ni + 9i2 n2 2n + 3i n 3 ∆x = 9 n3 = 33n3 + 24n2 + 3n 6 En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient : 9 n3 33n3 + 24n2 + 3n 6 = lim n®∞ 9 6 1 n3 33n3 + 24n2 + 3n lim n®∞ 33 + = lim n®∞ 9 6 n3 24 n + 3 n2 11 + 8 n + = lim n®∞ 27 6 1 n2 ´11 = 27 6 = 99 2 Interpréter le résultat. On obtient que l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + x dans l’intervalle [2; 5] est de 99/2 unités d’aire. S S

Exercice (limite de la somme) Évaluer la limite lorsque n tend vers l’infini de : Ai S i = 1 n 8 n3 = 14n3 + 9n2 + n 6 2 n ∆x = 4n2 + 8ni + 4i2 n2 n + 2i 8 n3 (n2 + 2ni + i2) Ai = En appliquant les propriétés des limites et en évaluant, on obtient : 8 n3 14n3 + 9n2 + n 6 lim n®∞ = lim n®∞ 8 6 1 n3 14n3 + 9n2 + n 14 + = lim n®∞ 8 6 n3 9 n + 1 n2 14 + 9 n + = lim n®∞ 8 6 1 n2 ´14 = 8 6 = 56 3 Interpréter le résultat. On obtient que l’aire sous la courbe de la fonction définie par f(x) = x2 + 2x + 1 dans l’intervalle [1; 3] est de 56/3 unités d’aire. S S

Discussion de la démarche Dans les deux situations que nous venons de présenter, les fonctions étaient croissantes et nous avons utilisé la frontière de droite comme hauteur du représentant des rectangles. Quelques questions se posent : Le processus donne une valeur numérique, mais est-ce bien la mesure de la surface ? Aurions-nous obtenu le même résultat en considérant la frontière de gauche pour déterminer l’aire du représentant? Cette procédure fonctionnerait-elle pour une fonction décroissante ? Les exemples sont toujours des fonctions quadratiques, la procédure est-elle valide pour une fonction cubique? exponentielle? logarith-mique? trigonométrique? ou autre? Considérons encore quelques exemples pour consolider notre intuition.

Exemple Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] en considérant les frontières de gauche. Déterminons la limite : La somme des aires est : Ai = S i = 1 n S i = 1 n 8 n2 (n – i + 1) ∆x = 2 n 8 n2 n2 + n 2 lim n®∞ A = Esquissons le graphique de la fonction : 8 n2 (n – i + 1) 4 n (n – i + 1) La fonction est non négative dans l’intervalle, on peut poursuivre. S i = 1 n 8 n2 = (n – i + 1) 1 n2 n2 + n lim n®∞ = 8 2 La largeur des intervalles est : n2 1 + lim n®∞ = 4 1 n 8 n2 S i = 1 n = n – i + 1 ∆x = 2 – 0 n = 2 = 4 ´1 = 4 L’image par la fonction de la frontière de droite du ie intervalle est : 8 n2 = n2 – + n n(n + 1) 2 f 2i – 2 n = 4 – 2 2i – 2 n = 4 n – 4i + 4 n Conclusion n2 + n 2 8 n2 = L’aire du représentant est : La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités d’aire. Ai = (n – i + 1) 4 n 2 8 n2 = (n – i + 1) S S S

Exercice Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] en considérant les frontières de droite. Déterminons la limite : La somme des aires est : Ai = S i = 1 n S i = 1 n 8 n2 (n – i) ∆x = 2 n 8 n2 n2 – n 2 lim n®∞ A = Esquissons le graphique de la fonction : 8 n2 (n – i) 4 n (n – i) La fonction est non négative dans l’intervalle, on peut poursuivre. S i = 1 n 8 n2 = (n – i) 1 n2 n2 – n lim n®∞ = 8 2 La largeur des intervalles est : n2 1 – lim n®∞ = 4 1 n 8 n2 S i = 1 n = n – i ∆x = 2 – 0 n = 2 = 4 ´1 = 4 L’image par la fonction de la frontière de droite du ie intervalle est : 8 n2 = n2 – n(n + 1) 2 f 2i n = 4 – 2 2i n = 4 n – 4i n Conclusion n2 – n 2 8 n2 = L’aire du représentant est : La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – 2x dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 4 unités d’aire. Ai = (n – i ) 4 n 2 8 n2 = (n – i ) S S S

Exemple Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4 – x2 dans l’intervalle [0; 2]. ∆x = 2 n Esquissons le graphique de la fonction : Déterminons la limite : La somme des aires est : La fonction est non négative dans l’intervalle, on peut poursuivre. Ai = S i = 1 n 8 n3 (n2 – i2) S i = 1 n 8 n3 4n3 – 3n2 – n 6 lim n®∞ A = La largeur des intervalles est : (n2 – i2) 4 n2 1 n3 4n3 – 3n2 – n lim n®∞ = 8 6 8 n3 (n2 – i2) S i = 1 n = n2 – i2 8 n3 S i = 1 n = ∆x = 2 – 0 n = 2 n3 4 – lim n®∞ = 8 6 3 n – 1 n2 L’image par la fonction de la frontière de droite du ie intervalle est : 2 8 n3 n3 – = n(n + 1)(2n + 1) 6 ´4 = 8 6 16 3 = f 2i n = 4 – 2i n 2 = 4 – 4i2 n2 = (n2 – i2) 4 n2 Conclusion L’aire du représentant est : 8 n3 = 4n3 – 3n2 – n 6 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4 – x2 dans l’intervalle [0; 2] a une mesure de 16/3 unités d’aire. = (n2 – i2) 4 n2 2 n Ai 8 n3 (n2 – i2) = S S S

Exercice ∆x = 4 n Déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = 4x – x2 dans l’intervalle [0; 4]. Esquissons le graphique de la fonction : Déterminons la limite : La somme des aires est : La fonction est non négative dans l’intervalle, on peut poursuivre. Ai = S i = 1 n 64 n3 (ni – i2) S i = 1 n 64 n3 n3 – n 6 lim n®∞ A = (ni – i2) 16 n2 La largeur des intervalles est : 1 n3 n3 – n lim n®∞ = 64 6 64 n3 (ni – i2) S i = 1 n = ni – i2 64 n3 S i = 1 n = ∆x = 4 – 0 n = 4 n3 1 – lim n®∞ = 32 3 1 n2 L’image par la fonction de la frontière de droite du ie intervalle est : 64 n3 n – = n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1) 2 ´1 = 32 3 f 4i n = 4 – 4i n 2 = – 16i2 n2 16i n = (ni – i2) 16 n2 Conclusion L’aire du représentant est : 64 n3 = n3 – n 6 La surface sous la courbe définie par f(x) = 4x – x2 dans l’intervalle [0; 4] a une mesure de 32/3 unités d’aire. 16 n2 = (ni – i2) 4 n Ai 64 n3 (ni – i2) = S S S

où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b], Conclusion Si f est une fonction continue et non négative sur un intervalle [a; b], on a défini l’aire sous la courbe de f sur cet intervalle par : S i = 1 n f(ci ) ∆xi A[a; b] = lim (max∆xi)® 0 où P = {x0, x1, x2, …, xn} est une partition de [a; b], ci Î [xi–1; xi] et ∆xi = xi – xi–1 Cela signifie que l’aire est définie comme la limite de la somme des aires de rectangles construits sur les sous-intervalles d’une partition P lorsque la largeur du plus grand sous-intervalle tend vers 0. Les exercices permettent de vérifier que la limite est la même en considérant la frontière de gauche ou la frontière de droite. Notre définition semble tenir la route pour les polynomiales de degré inférieur à 3. Peut-on généraliser à toutes les fonctions?