Raisonnement Odile CLEMENT prof Raisonnement Odile CLEMENT prof. de maths remerciements à Bertrand FILLOUX Grandes lignes du projet de réforme de la voie professionnelle à la rentrée 2009. Au préalable, il est utile de préciser que ces évolutions prévues en métropole nécessiteront une réflexion sur la stratégie à adopter en PF pour les rentrées 2009 et suivantes. Pour autant, la PF est depuis la RS 2008 engagée dans l’expérimentation des bac pro 3 ans et certaines dispositions de ce projet de réformes pourront s’appliquer notamment les programmes d’enseignement général et la répartition des enseignements par discipline.

Raisonnement : plan de l’exposé I . Qu’est que raisonner ? II. Les différents types de raisonnement III. Le raisonnement et la démonstration dans les programmes de seconde IV. Un point de logique V. Des exemples d’activités en seconde VI. Les différents supports pour raisonner VI. Vocabulaire, notations et maîtrise de la langue

I. Qu’est ce que raisonner ? Distinguons: Une opinion : un point de vue Une argumentation : un discours justifiant la préférence que l’on accorde à telle opinion, dans le but de convaincre et persuader.

Un raisonnement : « opération discursive par laquelle on conclut qu’une ou plusieurs propositions ( prémisses) impliquent la vérité, la probabilité ou la fausseté d’une autre proposition (conclusion )» Si un des buts est de convaincre, le raisonnement apparait indissociable de la notion de vérité.

II. Différents raisonnements Le raisonnement inductif et abductif Le raisonnement déductif Le raisonnement par analogie Leur présence dans l’activité scientifique et mathématique

Le raisonnement inductif et abductif : À partir de faits constatés ou de présomptions vérifiés sur des exemples, on dégage une propriété générale . Exemples : diagnostics médicaux découverte de fossiles marins …. la mer était là Les livrets A se vident …Les français puisent dans leurs économies pour noël 2009

Le raisonnement déductif : il énonce par enchainement logique une conclusion nécessaire, à partir de propositions données. Exemple fondamental: A implique B or A donc B Ce qui distingue essentiellement ces deux raisonnements, c’est que la déduction utilise un propriété générale dans ces prémisses alors que l’induction tente à trouver une propriété générale dans sa conclusion.

Le raisonnement par analogie « ça ressemble à ça, donc cela doit fonctionner comme cela » Exemples : astronomie, sciences physiques, et beaucoup d’autres situations Différents raisonnements et activité scientifique Le point de départ de la démarche scientifique tient souvent en une analogie entre la situation étudiée et une situation déjà connue. Cette analogie guide le choix d’observations dont les résultats permettent par abduction ou induction la formulation d’une hypothèse. Cette hypothèse étant posée, par un raisonnement déductif, on anticipe les effets de cette hypothèse et on vérifie les effets attendus par des expériences. Si les résultats sont conformes, l’hypothèse sera validée provisoirement tant qu’elle résistera à l’épreuve des faits.

Différents raisonnements et activité scientifique premières observations raisonnement analogique expérimenter émettre Phase inductive une hypothèse ou abductive Phase déductive Cette hypothèse devrait produire tels événements expériences postérieures validant l’hypothèse ou non

Différents raisonnements et activité mathématique Les conditions d’admission En 1er pour les élèves ayant suivi une scolarité complète en classe de seconde, mais aussi pour les titulaires d’un CAP

III. Le programme de seconde En préambule : Raisonnement et langage mathématiques Le développement de l’argumentation et l’entraînement à la logique font partie intégrante des exigences des classes de lycée.

Extraits du programme de seconde 2010 . A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant et, par exemple, à distinguer implication mathématique et causalité.

En préambule Les concepts et méthodes relevant de la logique mathématique ne doivent pas faire l’objet de cours spécifiques mais doivent prendre naturellement leur place dans tous les chapitres du programme. De même, le vocabulaire et les notations mathématiques ne doivent pas être fixées d’emblée ni faire l’objet de séquences spécifiques mais doivent être introduits au cours du traitement d’une question en fonction de leur utilité.

Extraits du programme de seconde La diversité des activités proposées aux élèves ( chercher, expérimenter, appliquer des techniques, mettre en œuvre des algorithmes, raisonner, démontrer, expliquer une démarche , communiquer un résultat par oral ou par écrit ) doit permettre aux élèves de prendre conscience de la diversité et de la richesse de la démarche mathématique et lui donne sa place au sein de l’activité scientifique

Dans le détail du programme : Pour ce qui concerne le raisonnement logique, les élèves sont entraînés sur des exemples : A utiliser correctement les connecteurs logiques : « et », « ou » et à distinguer leur sens du sens courant ; A utiliser à bon escient des quantificateurs universels, existentiels (les symboles ,  ne sont pas exigibles) et à repérer les quantifications implicites dans certaines propositions et , particulièrement dans les propositions conditionnelles .

A distinguer dans les propositions conditionnelles, la proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ; A utiliser à bon escient les expressions « condition nécessaire » et « condition suffisante » ; A formuler la négation d’une proposition ; A utiliser un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle ; A reconnaître et à utiliser des types de raisonnements spécifiques : raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

III. Logique: Contraposée, réciproque et négation d’une implication Implication : Si A alors B Utilisation : modus ponens : A B or A donc B Remarque : cette implication est logiquement équivalente à: (non A) ou B Sa contraposée: Si (non B) alors (non A) Utilisation : modus tollens : A B or non B donc non A Remarque : une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes Sa négation : A et non B. Sa réciproque :Si B alors A

VI. Des activités en seconde 1.des raisonnements déductifs Le travail fait au collège sur les réciproques, conditions nécessaires, suffisantes, contraposées et négations d’une proposition est à poursuivre avec des supports variés . Exemple :Les quadrilatères ayant des cotés de même longueur sont des carrés. Cette proposition est-elle vraie ?La reformuler sous forme d’implication. Ecrire la négation de cette proposition. Votre proposition précédente est-elle vraie? Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Négation d’une proposition Les quantificateurs : 3 étapes au lycée Comprendre la nécessité de quantifier Être capable d’expliciter les quantifications Être capable de rédiger avec des quantificateurs Exemple ; refaire formuler des propositions du type: F est la fonction définie sur R par : F(x) = x²+3x et résoudre x² + 3x = 5 Si deux nombres sont multiples de 7 alors leur somme est un multiple de 7 à démontrer. La réciproque est-elle vraie. Ecrire la contraposée.

Des raisonnements spécifiques 2. Par disjonction de cas Le carré d’un nombre entier est-il pair ou impair ? Remarque : utilisation de la contraposée dans l’exemple précédent. n étant la somme de deux carrés d’entiers, prouver que le reste dans la division de n par 4 n’est jamais égal à 3 Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Des raisonnements spécifiques 3. Par l’absurde Tout nombre premier distinct de 2 est impair n’est pas un nombre décimal n’est pas un nombre rationnel Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Des raisonnements spécifiques 4. En exhibant un contrexemple : Exemples : La fonction f(x) = x² +2x est –elle paire? Impaire? Pour tout nombre entier n, l’entier n²- n + 11 est-il un nombre premier Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Sur des nombres : V. Varier les supports pour raisonner Quelle est la 2009ème décimale du développement décimal de 22/7 ? Quelle est la somme des chiffres du résultat de 102009 – 2009 ? Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Les supports pour raisonner 2.Sur des figures géométriques Une équerre ABC est placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses. On déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes. Comment se déplace le point C ? Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Les supports pour raisonner 3. Sur des graphiques : Ces 5 personnes ont chacun fait un footing … : Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Les supports pour raisonner 4. Sur des fonctions : Chacun des 6 réservoirs est rempli avec un robinet à débit constant. Les courbes indiquent la hauteur de liquide en fonction du temps … Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Les supports pour raisonner 5. Sur des probabilités : On dispose de 3 cartes : la 1ère a 2 faces rouges, la 2ème a 2 faces vertes la 3ème a une face rouge et une face verte. Quelqu’un choisit une carte au hasard et la pose sur la table en choisissant au hasard la face visible. Le joueur doit «deviner» la couleur de la face cachée Quelle stratégie lui conseiller : Toujours choisir la couleur vue ? Toujours choisir l’autre couleur ? Choisir la couleur au hasard? Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

VI. Raisonnement et langage Utiliser « ET » et « OU  » en liaison avec le travail sur les intervalles ABC étant un triangle équilatéral de coté a . Colorier l’ensemble des points M du plan vérifiant : (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a) Ou (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a Ou (AM ≤ a et BM ≤ a et CM ≥ a) Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Raisonnement et langage et/ou : « 2 est-il supérieur ou égal à 1 ? » Cet énoncé est considéré comme faux par la plupart des élèves de 2nde Une élève de 1ère L : « C’est typiquement mathématique … Je ne changerai pas les règles mathématiques, donc j’admettrais, nous admettrons, comme dirait le théorème, que 2≥1 . C’est une loi, une règle de maths, sans rien de plus et pas vraiment logique. Mais c’est la difficulté qui fait toute la beauté des mathématiques. » Les différents sens de « UN » : Un exactement, Au moins un, Tout, Un parmi d’autres Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

Raisonnement et langage OR : en français, indique le plus souvent une opposition ou une objection : « Il est interrogé, or, il n’a pas écouté » DONC : en français, il possède aussi un sens emphatique : « Taisez vous donc » Négation : attention aux pièges Quel est le contraire de jamais ? De noir ? Repérer les quantificateurs implicites dans la proposition de départ.

Pour conclure : 1. Raisonner en mathématiques ne se réduit pas au seul raisonnement déductif. 2. Il faut prendre en compte la diversité sans imposer une forme canonique. « L’apprentissage de la démonstration passe par l’acquisition d’une certaine liberté d’écriture » (J.Houdebine –CPn°317) Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention….

5. Valoriser des écrits intermédiaires Pour conclure : 3. Les élèves entrant en 2nde sont aptes à conduire des raisonnements, sans pour autant être capables de les produire par écrit. 4. Distinguer le fond de la forme : pas de formalisme excessif et/ou prématuré Champs : d’ores et déjà, une vingtaine de champs professionnels avec options est envisagés Champ « métiers de la relation aux clients et aux usagers » avec 3 options : commerce, vente, service. Pour les baccalauréat sans éléments professionnels communs avec d’autres, une organisation en filières, avec une seconde professionnelle spécifique à chaque bac pro est prévu, c’est par exemple le cas pour le bac pro sécurité prévention…. 5. Valoriser des écrits intermédiaires