Exposé sous thème : les théorèmes généraux en régime continu المركز الجهوي لمهن التربية و التكوين فــــــــــــاس Exposé sous thème : les théorèmes généraux en régime continu Réalisé par : Supervisé par : Aziz YOUSSFI Abderrahmane OUATTERI Rachid AMADAR Mohamed AMRAOUI Pr Lh. KADIRA mardi 7 mai 2019

Plan introduction Lois de Kirchhoff Théorème de Millman Théorème de Thévenin Théorème de Norton Conversion Thévenin-Norton Théorème de Superposition Théorème de Kennely mardi 7 mai 2019

introduction L’usage des lois de Kirchhoff permet toujours de trouver les tensions et courants dans un réseau électrique linéaire en régime quelconque. Mais la résolution passe par un système d’équations dont la taille augmente avec celle du circuit et par conséquent des inconnues à déterminer. Dans le cas de circuits fonctionnant en régime établi, c’est à dire lorsque le régime transitoire est terminé, il est possible d’optimiser la recherche des grandeurs inconnues. Celle-ci fait appel aux théorèmes généraux de l’électrocinétique. mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff Le physicien allemand Gustav Kirchhoff a établi en 1845 deux lois qui fondent tous les calculs sur les circuits électriques. mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff Définitions: Nœud : Exemple : Branche: Exemple : Un nœud est le point de jonction entre au moins trois fils de connexion Exemple : Branche: Une branche est un ensemble de dipôles montés en série entre deux nœuds Exemple : mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff Définitions: Maille: Exemple de maille orientée Une maille est un ensemble de branches formant un circuit fermé. On choisit une orientation sur chaque maille. Exemple de maille orientée Réseau: Un réseau, ou circuit, est un ensemble de composants reliés par des fils de connexion qui peut être analysé en terme de nœuds, branches et mailles. mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff i1+i5=i2+i3+i4+i6 i1 i2 i3 i4 i5 i6 démonstration 1°) La Loi des nœuds: C ’est une conséquence de la conservation de la charge électrique. La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme des courants qui en repartent. i1 i2 i3 i4 i5 i6 Exemple: i1+i5=i2+i3+i4+i6 mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff Démonstration : Exemple Plus généralement la loi des nœuds s’écrit: kik = 0 k vaut +1 si le courant ik aboutit au nœud et –1 s’il en repart. Exemple 𝑖 3 𝑖 1 𝑖 2 – Dans ce cas la loi des nœuds s’écrira: + 𝑖 1 - 𝑖 2 + 𝑖 3 =0 Remarque: on pourrait tout aussi bien utiliser la convention inverse et noter – les courants qui arrivent à un nœud et + les courants qui en partent, on obtiendrait la même équation! mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff Démonstration 2°) La loi des mailles: La somme des tensions aux bornes des différentes branches d’une maille parcourue dans un sens déterminé est nulle. 𝑈 𝐴𝐵 = 𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵 𝑈 𝐵𝐶 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐶 A B C D E 𝑈 𝐶𝐷 𝑈 𝐷𝐸 𝑈 𝐸𝐴 𝑈 𝐴𝐵 + 𝑈 𝐵𝐶 +…+ 𝑈 𝐸𝐴 =0 𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵 + 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐶 … 𝑉 𝐸 − 𝑉 𝐴 = 𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐴 =0 mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff – u1 + u2 + u3 + u4 = 0 démonstration Plus généralement la loi des mailles s’écrit: kuk = 0 k vaut +1 si la tension uk est orientée dans le sens de la maille et–1 dans le cas contraire. Considérons la maille ABCD orientée comme indiqué. La loi des mailles s’écrit: – u1 + u2 + u3 + u4 = 0 A B C D R1 R2 R3 R4 u1 u2 u3 u4 Remarque: on peut tout aussi bien orienter la maille dans le sens inverse. Cela revient à changer tous les signes et le résultat est le même! C’est pour cela qu’on dit que l’orientation sur la maille est choisie arbitrairement. mardi 7 mai 2019

Lois de Kirchhoff applications Quand le circuit n’est pas extrêmement simple, en général on ne peut pas savoir à priori quel sera le sens des courants et des tensions donc on choisit un sens positif à partir duquel les courants et tensions sont comptés algébriquement mais on peut tout aussi bien choisir cela 𝑈 𝐵𝐴 = 𝑉 𝐵 − 𝑉 𝐴 I A B R A B I 𝑈 𝐴𝐵 = 𝑉 𝐴 − 𝑉 𝐵 R Souvent on choisit ceci I sera compté positivement si le sens de I est le sens positif choisi ou négativement si le sens de I est l’opposé du sens positif choisi. Bien entendu, une fois qu’on a choisi le sens du courant dans une branche, le sens de la tension est fixé. mardi 7 mai 2019

Principe de diviseurs de tension et de courant : a) Diviseur de Tension : Ce principe est utilisé pour calculer des tensions aux bornes des dipôles placés en série ( donc tous parcourus par la même intensité I). - cas de deux dipôles placés en série : On peut écrire que U2 = R2 .I avec On en déduit :

- On peut généraliser le principe à n dipôles placés en série, on détermine la tension Uk avec la relation ci-dessous:

b) Diviseur de courant : Ce principe est utilisé pour calculer l'intensité du courant parcourant des dipôles placés en dérivation ( donc tous sont soumis à la même ddp). - cas de deux dipôles placés en dérivation On a deux résistances R1= 1/G1 et R2= 1/G2 placés en dérivation ( G: conductance) On peut écrire que : U=I1 / G1 = I2/G2 = I/( G1 +G2)  on en déduit que :

- On peut généraliser le principe à n dipôles placés en dérivation, on détermine l'intensité Ik dans la branche k avec la relation ci-dessous:

Théorème de Millman

Théorème de Millman. démonstration V1 V0 V2 V3 i1 i2 i3 R1 R2 R3 Analyse du circuit V1-V0=R1.i1 V2-V0=R2.i2 V3-V0=R3.i3 i1+i2+i3=0 1°) U=RI pour chaque branche i1=(V1-V0)/R1 i2=(V2-V0)/R2 i3=(V3-V0)/R3 2°) la somme des courants = 0 3°) on regroupe les V0

Théorème de Millman. Application Utile pour calculer un réseau électrique constitué de plusieurs branches en parallèle. E1 R1 E2 R2 En Rn U La conductance Gi est l’inverse de la résistance Ri

Théorème de Millman. Exemple e=100V =10 E=120V r =2 R=38 A B UAB = 111,76 V Ensuite on calcule facilement les courants dans chaque branche. Par exemple IR = 111,76  38 = 2,941 A

Théorème de Thévenin On peut remplacer tout circuit linéaire, qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de tension idéal en série avec une résistance RTh. La fem ETh du générateur est égale à la ddp mesurée entre A et B quand le dipôle D est débranché. La résistance RTh est égale à la résistance mesurée entre A et B quand le dipôle D est débranché et que les générateurs sont remplacés par leurs résistances internes.

Théorème de Thévenin : exemple d’application Déterminer l’équivalent de Thévenin du « dipôle » AB : 1re étape Lorsque le dipôle AB est débranché, à vide, le courant est nul : I = 0. La force électromotrice totale aux bornes du dipôle vaut alors : ETh = E1 − E2 + E3

Théorème de Thévenin : exemple d’application 2e étape Lorsque les générateurs E1, E2 et E3 sont remplacées par leurs résistances internes (qui sont nulles pour des générateurs de tension idéaux), on obtient le graphe suivant : La résistance équivalente de ces résistances placées en parallèle vaut RTh = R1 + R2 + R3. Bilan Le graphe AB est équivalent au dipôle de Thévenin suivant : RTh = R1 + R2 + R3 ETh = E1 − E2 + E3.

Théorème de Norton On peut remplacer tout circuit linéaire, qui alimente par les bornes A et B un dipôle D, par un générateur de courant idéal en parallèle avec une résistance RN. L’intensité IN du générateur est égale au courant de court-circuit entre A et B quand le dipôle D est débranché. La résistance RN est égale à la résistance mesurée entre A et B quand le dipôle D est débranché et que les générateurs sont remplacés par leurs résistances internes.

Théorème de Norton : exemple d’application Déterminer l’équivalent de Norton du « dipôle » AB : 1re étape Lorsqu’on place les pôles A et B en court-circuit, la tension aux bornes du dipôle est nulle. Il n’y a donc aucun courant à travers les trois résistances du circuit. Le courant de court-circuit est donc égal à : IN = I1 + I2 + I3

Théorème de Norton : exemple d’application 2e étape Lorsque les trois générateurs de courant idéaux sont remplacés par leurs résistances internes (qui sont infinies pour des générateurs de courant idéaux), on obtient le graphe RN est équivalente aux trois résistances R1, R2 et R3, placées en parallèle : Bilan Le dipôle équivalent de Norton est donc le suivant IN = I1 + I2 + I3 et .

Conversion Thévenin-Norton Il est possible de convertir un circuit de Thévenin en circuit de Norton, et ce de manière simple. Pour passer de Thévenin à Norton, on écrit : RN = RTh, IN = ETh/RTh Pour passer de Norton à Thévenin, on écrit : RTh = RN, ETh = INRN - la résistance équivalente n’est pas modifiée ; - la tension de Thévenin est reliée à l’intensité de Norton par une formule semblable à la loi d’Ohm.

Théorème de Superposition mardi 7 mai 2019

Théorème de Superposition Ce théorème ne sera pas démontrer. Son énoncé est à connaître par cœur même s’il est difficile à comprendre dans un premier temps. Ce théorème est fondamental. Il va permettre d'étudier des circuits comportant plusieurs générateurs (de tension ou de courant) en considérant l'influence de chaque générateur indépendamment des autres, ce qui va beaucoup simplifier la plupart des problèmes. mardi 7 mai 2019

Théorème de Superposition énoncé Dans un réseau électrique linéaire, le courant (ou la tension) dans une branche quelconque est égal à la somme algébrique des courants (ou des tensions) obtenus dans cette branche sous l’effet de chacune des sources indépendantes prise isolément, toutes les autres ayant été remplacées par leur résistance interne. 𝐼′′ 1 𝐼′′ 2 𝐼 2 𝐼′ 2 𝐼 1 𝐼′ 1 𝐼′′ 𝐼 𝐼′ 𝑟 2 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 1 R R R + ≡ 𝐸 2 𝐸 2 𝐸 1 𝐸 1 𝐼= 𝐼 ′ +𝐼′′ mardi 7 mai 2019

Théorème de Superposition Le principe de superposition est une méthode qui permet, dans un circuit linéaire soumis à l’action de plusieurs sources indépendantes, de déterminer le courant résultant en un point quelconque du circuit ou encoure la tension aux bornes de n’importe quel élément. En effet, il suffit d’additionner les courants (respectivement les tensions) due à chaque source prise individuellement et agissant seule. mardi 7 mai 2019

Théorème de Superposition 𝐼′ 2 𝐼" 1 𝐼" 2 𝐼′ 1 𝐼′ 𝐼" 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 1 𝑢 2 𝑟 2 R 𝑢 2 𝑢 1 𝑢 1 R 𝐸 2 𝐸 1 𝑢 1 = 𝑅 𝐼 ′ d’une part 𝑢 1 = 𝑅∕∕ 𝑟 1 𝑅 ∕∕𝑟 1 + 𝑟 2 𝐸 2 d’autre part ⇔ 𝑅 𝐼 ′ = 𝑅 𝑟 1 𝑅+ 𝑟 1 𝑅 𝑟 1 𝑅+ 𝑟 1 + 𝑟 2 𝐸 2 ⇔ 𝐼 ′ = 𝑟 1 𝐸 2 𝑅 𝑟 1 +𝑅 𝑟 2 + 𝑟 2 𝑟 1 𝑢 2 = 𝑅 𝐼 ′′ = 𝑅∕∕ 𝑟 2 𝑅 ∕∕𝑟 2 + 𝑟 1 𝐸 1 d’une part 𝑢 2 = 𝑅∕∕ 𝑟 2 𝑅 ∕∕𝑟 2 + 𝑟 1 𝐸 1 d’autre part ⇔ 𝑅 𝐼 ′′ = 𝑅 𝑟 2 𝑅+ 𝑟 2 𝑅 𝑟 2 𝑅+ 𝑟 2 + 𝑟 1 𝐸 1 ⇔ 𝐼 ′′ = 𝑟 2 𝐸 1 𝑅 𝑟 1 +𝑅 𝑟 2 + 𝑟 2 𝑟 1 𝐼= 𝐼 ′ +𝐼′′= 𝑟 2 𝐸 1 + 𝑟 1 𝐸 2 𝑅 𝑟 1 +𝑅 𝑟 2 + 𝑟 2 𝑟 1 mardi 7 mai 2019

Théorème de Superposition Avantage et inconvénient Méthode intéressante si le circuit possède des symétries, l'expression du premier courant obtenu permettant d'en déduire toutes les autres par permutation sur les indices. Méthode fastidieuse si ce n'est pas le cas. mardi 7 mai 2019

Théorème de Kennely Ce théorème permet de déterminer les éléments d'un schéma équivalent étoile à partir d'un schéma donné sous une forme triangle ou l’inverse. B 𝑅 𝐶 A A B 𝑟 𝐴 𝑟 𝐵 ≡ 𝑅 𝐵 𝑅 𝐴 𝑟 𝐶 Forme triangle notée △ Forme étoile notée Y C C On passe d'un montage triangle à un montage étoile, en calculant les résistances  𝑟 𝐴 ,  𝑟 𝐵  et 𝑟 𝐶  : mardi 7 mai 2019

Théorème de Kennely 𝑟 𝐴 = 𝑅 𝐵 𝑅 𝐶 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 + 𝑅 𝐶 𝑟 𝐵 = 𝑅 𝐴 𝑅 𝐶 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 + 𝑅 𝐶 𝑟 𝐶 = 𝑅 𝐴 𝑅 𝐵 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 + 𝑅 𝐶 La transformation inverse est utilisée dans le domaine des réseaux triphasés. On notera l’admittance ou conductance 𝑌 𝑘 = 1 𝑟 𝑘 et 𝑦 𝑘 = 1 𝑅 𝑘 mardi 7 mai 2019

شكرا على حسن تتبعكم mardi 7 mai 2019

mardi 7 mai 2019