Analyse dimensionnelle Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet 38300 BOURGOIN-JALLIEU

Le système international d’unités Grandeur Unité SI Longueur mètre (m) Temps seconde (s) Masse kilogramme (kg) Intensité du courant ampère (A) Quantité de matière mole (mol) Température kelvin (K) Intensité lumineuse candela (cd) Il repose sur 7 grandeurs fondamentales : Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base.

Le système international d’unités Exemples : La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par seconde ms-1. L’énergie cinétique (Ec = ½ mv2) s’exprime en joule et 1 J = 1 kgm2s-2. L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V) est la mole par mètre cube (molm-3).

Notion de dimension Les grandeurs qui décrivent un phénomène physique sont caractérisées par leur « dimension ». Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique… La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, … La notion de dimension est très générale et ne sup-pose aucun choix particulier de système d’unités.

Notion de dimension Grandeur Dimension Longueur L Temps T Masse M Intensité du courant I Quantité de matière N Température Q

Analyse dimensionnelle Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension. Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, l’équation aux dimensions s’écrit : [v] = LT-1. La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-mer à partir des dimensions fondamentales. Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension. Exemple : dans la relation DEc = WAB(&) les deux membres ont la dimension d’une énergie.

Dimension d’une grandeur Energie cinétique : Ec = ½ mv2 [Ec] = ML2T-2 [Ec] = ? Masse volumique : r = [r] = ? [r] = ML-3 Densité d’un liquide : d = [d] = ? La densité est une grandeur sans dimension.

Dimension d’une grandeur Remarque : une grandeur sans dimension peut cependant avoir une unité. R A B a Exemple : l’unité d’angle, dans le système international, est le radian et [a] = 1 puisque :

Dimension d’une grandeur Dimension d’une force ? On peut exploiter le théorème de la variation de l’énergie cinétique : Ec(B) – Ec(A) = WAB(&) DEc = &i = FABcos a  si a = 0 ML2T-2L-1 = MLT-2 ? Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2e loi de Newton : F = ma . Remarque : [F] = MLT-2  1 N = 1 kg.m.s-2

Dimension d’une grandeur Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir le résultat… Exemple : la tension électrique U a pour dimension [U] = L2 M T-3 I-1 résultat qui peut s’obtenir en combinant les différentes relations : F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a… On pourra, en général, garder [U] dans l’équation aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm uR = Ri, on pourra écrire :

Homogénéité d’une formule Une équation est dite homogène si ses deux membres ont la même dimension. Exemple : « v = dt » n’est pas homogène : [v] = LT-1 et [dt] = LT La relation v = dt est donc fausse. Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : Ec = mv2…

Homogénéité d’une formule Le faisceau laser ayant une longueur d’onde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?

Homogénéité d’une formule [d] = L2L-1 = L [d] = L2L-1 = L [d] = L2L-2 = 1  L [d] = L3  L La formule correcte est : Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

Homogénéité d’une formule Vérifier que la formule : T0 = 2p est homogène. Formule où T0 représente la période des oscillations d’un pendule simple, l sa longueur et g l’intensité de la pesanteur.

Homogénéité d’une formule T0 = 2p L’expression est homogène si : [T0] = [T0] = T ; [l] = L P = mg  g = P/m [g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2 [l/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

Autre règle importante Pour respecter l’homogénéité d’une relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension. Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 … Une relation telle que : (1) n’est correcte que si : [l] = T-1 car : ? (1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive (l : constante radioactive).