Distribution d’échantillonnage Chapitre 1 Distribution d’échantillonnage © Khaled Jabeur 2012 Cours Statistiques

Plan Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage Statistiques et distribution d’échantillonnage Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue) Distribution d’échantillonnage de la variance Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

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Échantillonnage : Terminologie Une population se définit comme un ensemble d’éléments (individus, entreprises, dossiers, projets, …) qui ont des caractéristiques communes. On note par N la taille de la population. Un échantillon est tout sous-ensemble de la population. On note par n la taille de l’échantillon. Un caractère ou une variable statistique c’est l’aspect que l’on désire étudier chez un individu. Cours Statistiques

Échantillonnage : Terminologie Pour recueillir des informations concernant les caractéristiques d’une population, on dispose de deux méthodes : La méthode exhaustive ou recensement où chaque individu de la population est étudié selon le (ou les) caractère(s) étudié(s). La méthode des sondages ou échantillonnage qui conduit à n’examiner qu’une fraction de la population, c’est-à-dire un échantillon. Cours Statistiques

Échantillonnage : Définition et objectif L’échantillonnage est le processus par lequel une portion de la population (ou un échantillon) est sélectionnée afin d’étudier les caractéristiques d’une population entière. Objectif de l’échantillonnage L’échantillonnage a pour objectif de tirer des conclusions sur les caractéristiques d’une population à partir des données d’un échantillon. Il est donc essentiel de choisir avec soin l’échantillon de façon à ce qu’il représente fidèlement la population visée. Cours Statistiques

Échantillonnage : Raisons d’être On effectue l’échantillonnage essentiellement pour les raisons suivantes : Lorsque la population est infinie Par souci d’économie de coût Si le test est destructif Obtenir l’information le plus rapidement possible … Cours Statistiques

Échantillonnage : Méthodes Les méthodes d’échantillonnage peuvent être regroupées en deux grandes catégories : L’échantillonnage non aléatoire (ou non probabiliste) : L’analyste utilise son expérience et ses connaissances personnelles pour choisir parmi les unités de la population celles qui feront partie de l’échantillon et qui, à son avis, représentent adéquatement la population. L’échantillonnage aléatoire (ou probabiliste) : Obtenu par l’intermédiaire d’un mécanisme probabiliste, de sorte que l’on connaisse à l’avance la probabilité (non nulle) qu’une unité quelconque de la population soit incluse dans l’échantillon. Cours Statistiques

Échantillonnage : Méthode L’échantillonnage aléatoire simple Définition : C’est un échantillon choisit de telle sorte que chaque unité de la population ait la même probabilité d’être sélectionnée dans l’échantillon et que chaque échantillon de même taille tiré de la population ait la même probabilité d’être choisi. Cours Statistiques

Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques

Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques

Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques

Échantillon aléatoire simple Cours Statistiques

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Statistiques et distribution d’échantillonnage Cours Statistiques

Statistiques et distribution d’échantillonnage Puisque les Xi sont des variables aléatoires, toute statistique est aussi une variable aléatoire et on s'intéresse a sa distribution de probabilité, appelée distribution échantillonnage. empiriques Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage Statistiques et distribution d’échantillonnage Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue) Distribution d’échantillonnage de la variance Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Solution Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Exemple 1 Supposons que les tailles des individus dans une population suivent une distribution normale de moyenne μ = 170 cm et de variance σ2 = 25 cm. On tire avec remise un échantillon de taille 25 de cette population. Quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 172 cm ? Réponse : Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne Exemple 2 Supposons que les tailles des individus dans une population de moyenne μ = 185 cm et de variance σ2 inconnue. On tire avec remise un échantillon de taille 36 de cette population. Sachant que la variance de cet échantillon s2 = 40, quelle est la probabilité pour que la taille moyenne dans l’échantillon soit supérieure à 187 cm ? Réponse : Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage Statistiques et distribution d’échantillonnage Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue) Distribution d’échantillonnage de la variance Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Densité de probabilité de la loi de khi-deux Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Quelques propriétés de la loi de khi-deux La v.a. associée à la loi de khi-deux est une v.a. continue, notée La distribution de khi-deux possède une asymétrie positive. La distribution de khi-deux ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté. Lorsque k augmente, la distribution de khi-deux tend vers une distribution normale. Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Calcul des probabilités dans la distribution khi-deux Si alors quelle est la valeur de la probabilité suivante : À l’aide de la table de khi-deux trouver c dans les trois cas suivants : Définition Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la variance Un échantillon de taille 51 est sélectionné de cette population. Quelle est la probabilité que la variance échantillonnale S2 soit d’au plus égale 112.66. Réponse : Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage Statistiques et distribution d’échantillonnage Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue) Distribution d’échantillonnage de la variance Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Densité de probabilité de la loi de Student Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Quelques propriétés de la loi de Student La v.a. associée à la loi de Student t est une v.a. continue, notée Tk La distribution de Student t est symétrique par rapport à l’origine et un peu plus aplatie que la normale centrée réduite N(0, 1). La distribution de Student t ne dépend que d’une seule quantité k (entier positif), nommé le nombre de degré de liberté. Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Cours Statistiques

Calcul des probabilités dans la distribution de Student Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Calcul des probabilités dans la distribution de Student Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Échantillonnage et méthodes d’échantillonnage Statistiques et distribution d’échantillonnage Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 connue) Distribution d’échantillonnage de la variance Distribution d’échantillonnage de la moyenne (2 inconnue) Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Densité de probabilité de la loi de Fisher Cours Statistiques

Distribution d’échantillonnage d’un rapport de variances Cours Statistiques

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