Les fonctions: un outil en physique et en chimie Hervé Caps, Département de physique, ULg Bernard Leyh, Département de chimie, ULg

Les fonctions: un outil en physique et en chimie Les fonctions, nous y tenons: pourquoi? Quelques constats Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Conclusions

A qui enseignons-nous? Hervé Caps Bernard Leyh 1ère année de bachelier en ingénieur 2ème année de bachelier en physique 1ère et 2années de master en physique AESS et master en physique à finalité didactique Bernard Leyh 2ème et 3ème années de bachelier en chimie 2ème année de bachelier en géologie 1ère année de master en chimie / 2ème année de master en chimie 1ère année de master en physique 1ère année de master en ingénieur physicien AESS et master en chimie à finalité didactique

Les fonctions. : nous y tenons. Pourquoi. ( Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi? (* et les mathématiques en général) Comprendre (rationaliser) un phénomène physique / physico-chimique ≡ le modéliser Quelques exemples: pH de solutions variées cinétique chimique thermodynamique: fonctions d‘état cinématique circuits électriques écoulements fluides

Les fonctions. : nous y tenons. Pourquoi. ( Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi? (* et les mathématiques en général) Evaluer la validité / la pertinence d‘une modélisation requiert une mathématisation. Le rôle des fonctions est central. Conditions de réalisation P, T Taux d‘adsorption Isotherme Système physique Gaz/Surface Modèle du système q = f(P,T) Fonction mathématique

Les fonctions. : nous y tenons. Pourquoi. ( Les fonctions*: nous y tenons. Pourquoi? (* et les mathématiques en général) Comprendre le domaine de validité des modèles Exemples: Physique – Etalement d‘une goutte d‘eau Chimie - Théorie des solutions d‘électrolytes (Debye-Hückel) Approximation: énergie potentielle << kT Conséquence: Théorie de Debye-Hückel non valable à concentration "trop élevée"

Etalement d‘une goutte d‘eau capillarité viscosité gravité Moteur - capillarité Moteur - gravité Changement de régime

Quelques constats Tendance générale des traités (“textbooks”) à alléger le traitement mathématique Renvoi des développements/démonstrations en appendice Déconnection de la physique : vue comme l’essentiel, la “vraie” nature (φύσις) des phénomènes et des mathématiques : considérée comme un simple outil

A comparer à …. B. Leyh, Notes de cours, ULg

Atkins‘ Physical Chemistry 8ème édition, OUP (2006)

Quelques constats (suite) Nos étudiants ont vis-à-vis des mathématiques un sentiment d‘inconfort le sentiment (l‘illusion!) qu‘on peut (qu‘on devrait!) s‘en passer des difficultés sérieuses à traduire un phénomène en langage mathématique et à déceler dans une relation mathématique son sens physique dans une situation donnée

Quelques constats (suite) Difficultés fréquentes: Dérivée première et extremum (Ex.: passage de l‘énergie interne à la capacité calorifique) Dérivée seconde et courbure (Ex. : discussion des potentiels harmoniques) Asymptotes obliques (Ex.: limite de l‘énergie de vibration à "haute" température: T>>hν/k) Développements en série tronqués (1er ordre souvent) d‘une fonction et relation avec le graphique de la fonction

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Un minimum de dextérité mathématique dans l‘analyse des fonctions (limites, asymptotes, dérivées) Une certaine “culture fonctionnelle”: Reconnaître “à l’oeil” des fonctions de base: graphique → expression analytique de la fonction Connaître leurs propriétes essentielles : expression analytique de la fonction → graphique

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Une capacité à discuter: le passage de l‘expression de la fonction à sa représentation graphique, MAIS d‘une manière un peu particulière …, en envisageant les situations limites du phénomène physique étudié (cf. développements en série) donc en se focalisant sur la manière dont une relation mathématique traduit les différents aspects d‘un phénomène physique.

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Exemple 1: Loi de distribution de l‘énergie cinétique ou du module de la vitesse des particules d‘un gaz parfait en équilibre thermodynamique.

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Exemple 2: Isotherme d‘adsorption BET Adsorption de multi-couches de gaz sur une surface Atkins‘ Physical Chemistry, op. cit.

R. J. Hunter, Foundations of Colloid Science, OUP (2001)

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Exemple 3: Tensions aux bornes d‘un condensateur et d‘une résistance dans un circuit RC en charge et/ou décharge

Charge du condensateur Décharge du condensateur Constante de temps du circuit

Que souhaiterions-nous (dans un monde idéal)? Exemple 4: Réactances inductive et capacitive

Conclusions Maintenir une formation mathématique de base solide: cours de mathématiques 1er/2ème bac Formation à la rigueur Dextérité mathématique (« drill ») Culture mathématique Continuer à « taper sur le clou » ensuite (et/ou en parallèle), dans les cours de physique et de chimie physique pour toutes les raisons évoquées précédemment en faisant référence à l’enseignement du/de la collègue mathématicien(ne) pour apprendre aux étudiants quelque chose en plus: phénomène physique ⇌ traduction mathématique tout en cherchant à renforcer leurs compétences mathématiques par la pratique concrète et en les convainquant de la puissance de cet outil