Résoudre une équation du second degré.

On pourrait dire qu’il s’agit d’un calcul simple. Introduction Dans une équation, les variables ( on utilise principalement et ) y x sont mises en relation par une règle. Exemple: y = - ( x – 1 )2 + 1 Ainsi, en donnant différentes valeurs à x et en utilisant la règle, on peut calculer les valeurs de y correspondantes. y = - ( x – 1 )2 + 1 - 8 = - ( – 1 )2 + 1 - 2 = - ( – 1 )2 + 1 2 - 24 = - ( – 1 )2 + 1 6 On pourrait dire qu’il s’agit d’un calcul simple.

Lorsque, à l’inverse, on connaît une valeur de y et qu’il faut retrouver les valeurs de x correspondantes: Exemple: - 3 = - ( x – 1 )2 + 1 Il faut alors: Résoudre l’équation. Résoudre une équation, c’est trouver la ( les ) valeurs de x quand on connaît la valeur du y correspondant.

Utilisons une équation écrite sous la forme canonique pour faire la démonstration. 1 2 3 - 1 - 2 4 -1 -2 -3 y = a ( x – h )2 + k y = - 1 ( x – 1 )2 + 1 Voici le graphique représentant cette équation.

Maintenant, cherchons les valeurs de x pour une valeur de y = - 3. 1 2 3 - 1 - 2 4 -1 -2 -3 - 3 = - ( x – 1 )2 + 1 Graphiquement, on peut constater que y = - 3 lorsque x1 = -1 et x2 = 3 La résolution graphique est une manière très rapide de trouver les valeurs de x; cependant, elle n’est pas toujours précise. Alors, procédons algébriquement.

On cherche les valeurs de x pour une valeur de y = - 3. y = a ( x – h )2 + k 1 2 3 - 1 - 2 4 -1 -2 -3 - 3 = - 1 ( x – 1 )2 + 1 La première étape est de ramener l’équation à 0. - 3 = - 1( x – 1 )2 + 1 + 3 + 3 0 = - 1( x – 1 )2 + 4 La parabole de cette nouvelle équation sera tracée comme suit: soit un déplacement de 3 unités vers le haut car k crée une translation verticale.

À l’aide des formules, on trouve les zéros de cette nouvelle équation. 0 = - 1 ( x – 1 )2 + 4 h + - - k a a = - 1 h = 1 k = 4 1 + - - 4 - 1 = 1 + - 4 + - = 1 2 = -1 et 3 Les zéros de cette nouvelle équation sont -1 et 3. x1 = -1 et x2 = 3

Les zéros de l’équation: 0 = - ( x – 1 )2 + 4 1 2 3 - 1 - 2 4 -1 -2 -3 soit -1 et 3 correspondent aux mêmes valeurs des x de l’équation: - 3 = - ( x – 1 )2 + 1 soit -1 et 3 Il s’agit donc d’un procédé équivalent.

Avec une équation écrite sous la forme générale: Exemple: 45 = x2 – 14x + 90 y = ax2 + bx + c Le procédé est le même : 0 = x2 – 14x + 45 car le terme c crée aussi une translation verticale. Il ne reste plus qu’à chercher les zéros de la nouvelle équation : soit : en factorisant et en utilisant la loi du produit nul. - b + - b2 – 4ac 2a soit : en utilisant les formules des zéros : Remarque: Les fonctions du second degré et les équations du second degré se résolvent de la même façon.

Pour résoudre une équation du second degré : 1) On ramène l’équation à zéro. 2) On cherche le(s) zéro(s) de cette nouvelle équation. Ce qui correspond à la (aux) valeur(s) de x dans l’équation de départ.

Problème 1: Le dessin, ci-contre, représente un projectile lancé du haut d’un rocher en fonction du temps. La trajectoire du projectile peut être décrite selon l’équation : y = - ( x - 3 )2 + 16 À quel moment, le projectile sera-t-il à 12 mètres de haut ? hauteur (m) ( 3,16 ) y = - ( x - 3 )2 + 16 ( 0,7 ) 12 = - ( x - 3 )2 + 16 0 = - ( x - 3 )2 + 4 temps (sec) h + - - k a a = - 1 h = 3 k = 4 3 + - - 4 - 1 = 3 + - 4 + - = 3 2 = 1 et 5 x1 = 1 et x2 = 5

Vérification avec l’équation de départ. y = - ( x - 3 )2 + 16 12 = - ( x - 3 )2 + 16 hauteur (m) ( 3,16 ) 12 = - ( 1 - 3 )2 + 16 ( 1, 12 ) ( 5, 12 ) 12 = - ( - 2 )2 + 16 ( 0,7 ) 12 = - 4 + 16 12 = 12 vrai temps (sec) y = - ( x - 3 )2 + 16 Lorsque x vaut 1 et 5, y = 12 12 = - ( x - 3 )2 + 16 12 = - ( 5 - 3 )2 + 16 12 = - ( 2 )2 + 16 12 = - 4 + 16 12 = 12 vrai

Problème 2: ( 4x – 2 ) Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? ( 4x + 18 ) 1) Trouvons l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle. Longueur X largeur Aire = ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) Aire = 4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 ) Aire = 16x2 - 8x + 72x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 Aire =

( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) 2) Déterminons l’équation: 16x2 + 64x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 684 = 3) Ramenons l’équation à 0: 16x2 + 64x - 36 684 = - 684 16x2 + 64x - 720 0 =

4) Déterminons les zéros de cette équation: 16x2 + 64x - 720 0 = - b + - b2 – 4ac 2a a = 16 b = 64 c = - 720 - 64 + - 642 – 4 X 16 X - 720 2 X 16 32 - 64 - 224 - 288 32 x1 = = = - 9 160 32 x2 = 32 - 64 + 224 = = 5 - 64 + - 4096 + 46080 32 x1 = - 9 Cette valeur est à rejeter car elle est négative. Un rectangle ne peut avoir une dimension négative. 50176 - 64 + - 32 - 64 + - 224 32 x2 = 5

Vérification avec l’équation de départ. ( 4x – 2 ) 16x2 + 64x - 36 Aire = 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 = ( 4x + 18 ) 16 X 25 + 64 X 5 - 36 684 = 400 + 320 - 36 684 = 684 684 = ou ( 4x – 2 ) ( 4x + 18 ) Aire = ( 4 X 5 – 2 ) ( 4 X 5 + 18 ) 684 = 684 = 38 X 18 684 = 684 Réponse: 5 cm

Remarque : Les valeurs de x auraient pu être déterminées par factorisation et par la loi du produit nul. 16x2 + 64x - 720 0 = 0 = 16 ( x2 + 4x – 45 ) 0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 ) 0 = ( x + 9 ) ( x - 5 ) si x + 9 = 0 alors x = - 9 à rejeter si x – 5 = 0 alors x = 5 Réponse: 5 cm