Arbres équilibrés Les transformation restructurantes dans leur ordre de définition: LL RR LR RL Facteur d’équilibre de noeud = (hauteur de s-arbre a gauche) – (hauteur de s-arbre a droite)

Restructuration d’arbres AVL: tableau de décision

Exemple: insertion dans lèordre alphabetique Janvier, fevrier, mars, avril, mai, juin, juillet, aout, septembre, octobre, novembre, decembre

RR 6 6 4 4 7 4 7 3 6 Rotation à Droite (RR) 3 5 3 5 2 5 7 2 4 6 4 6 h BF=1 6 BF=0 BF=2 4 4 7 4 7 3 6 Rotation à Droite (RR) 3 5 3 5 2 5 7 2 4 6 4 6 h h+1 6R h+1 h h h dans quel noeud s’effectue la rotation? quel est le facteur d’équilibre (difference des hauteurs entre le sous-arbre à gauche et le sous-arbre à droite) avant et après la rotation? 4L 4R 4R 4L 6R RR

3 3 3 5 à gauche(L) 2 8 2 5 3 8 1 5 9 1 4 8 2 4 6 9 à droite(R) 1 7 4 6 6 9 7 7 Double Rotation: Droite-Gauche (RL) Quels sont les facteurs d’équilibre?

RL 3 3 5 8 5 3 8 5 h h 8 h h h h rotation à droite rotation à gauche ensemble: rotation double Droite-Gauche (RL) encore une fois, observons les facteurs d’équilibre RL

LL Rotation à gauche (LL) 6 4 6 4 h h h h Vérifier les facteurs d’équilibre avant et aprés la rotation LL

8 5 3 8 3 h+1 5 h h h h+1 h+1 8R 3L 5L h h+1 3L 5R 8R 5L 5R Rotation Double Gauche-Droite (LR) Facteurs d’équilibre! LR

En cours d’insertion, comment décide-t-on: s’il-y-a deséquilibre? quelle transformation (rotation) appliquer au cas s’il y en a? Sur le chemin unique entre le noeud inséré et la racine on vérifie l’équilibre si l’équilibre en dehors de -1..+1, il faut faire une rotation on décide quelle rotation en fonction du facteur d’équilibre jusqu’a ce qu’on arrive à la racine ou au déséquilibre

Restructuration des arbres AVL: tableau de décision

Insertion des noms des mois Arbres AVL: exemple Insertion des noms des mois janvier juillet février août mars septembre avril octobre mai novembre juin décembre

Analyse des arbres AVL Que puisse-t-on dire sur la hauteur des arbres AVL, par rapport à la valeur optimale possible d’un arbre qui contient N noeuds? Soit Gh le nombre minimal de noeuds dans arbre AVL de hauteur h. G0=1 G1=2 Gh=1+ Gh-1 + Gh-2 on peut démontrer par recurrence que Gh=Fh+3 - 1 puisque dans un arbre AVL le nombre de noeuds est >= Gh, nous avons n >= Fh+3 -1 la suite de Fibonacci 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …: F1 = 1 Fn =Fn-1+ Fn-2

faits de base sur la suite Fibonacci et la “proportion d’or” et il est connu que k -> h+3; /-1 à gauche et à droite:

Analyse d’arbres AVL: continuation +2 à gauche et à droite, et log: en résolvant pour h: ce qui signifie que la hauteur de AVL est, dans le pire cas, 44% plus grande que l’hauteur optimale (d’un arbre parfaitement équilibré)