SÉRIES JEAN-MARC GINOUX BRUNO ROSSETTO ginoux@univ-tln.fr rossetto@univ-tln.fr http://ginoux.univ-tln.fr http://rossetto.univ-tln.fr Laboratoire PROTEE, I.U.T. de Toulon Université du Sud, B.P. 20132, 83957, LA GARDE Cedex, France

PLAN Séries Numériques 1. Définitions 2. Condition nécessaire de convergence 3. Série géométrique Séries à termes positifs 1. Théorèmes de comparaison 2. Règle de Cauchy 3. Règle de d'Alembert 4. Comparaison avec une intégrale 5. Série de Riemann G.E.I.I. Séries

PLAN Séries à termes de signes quelconques 1. Convergence absolue 2. Semi-convergence 3. Séries alternées Séries de fonctions 1. Convergence simple et uniforme 2. Propriétés G.E.I.I. Séries

Séries Numériques - Convergence Définition Soit la suite (Un). On appelle série de terme général Un la suite des sommes partielles Sn : Si (Sn) admet une limite finie S, on dit que la série est convergente et a pour somme : Si (Sn) n'admet pas de limite ou une limite infinie, on dit que la série est divergente G.E.I.I. Séries

Séries Numériques - Convergence Condition nécessaire de convergence Pour qu'une série converge il faut que son terme général Un tende vers 0 quand En effet, si la série converge et admettent une limite lorsque Cette condition n'est pas suffisante ! Sa réciproque est fausse ! La contraposée de cette condition permet de démontrer la divergence d'une série. G.E.I.I. Séries

Séries Numériques - Convergence Ex 1 : Soit la série de terme général appelée série harmonique. Son terme général tend bien vers 0 lorsque Supposons la quantité : Soit, Or si la série convergeait tendrait vers une limite S lorsque et il en serait de même pour et alors ce qui est en contradiction avec donc la série diverge ! G.E.I.I. Séries

Séries Numériques - Convergence Série géométrique Soit la série de terme général si On vérifie que : la série converge la série diverge G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence Théorèmes de comparaison Théorème 1 : Soit et deux séries à termes positifs tels que à partir d'un certain rang. Si converge alors converge Si diverge alors diverge G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence Théorème 2 : Soit et deux séries à termes positifs telles que i.e., lorsque Alors les séries et sont de même nature, i.e., toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence Règle de Cauchy Soit une série à terme positifs et soit Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de Cauchy G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence Règle de d'Alembert Soit une série à terme positifs et soit Si à partir d'un certain rang L< 1 Alors la série est convergente Si à partir d'un certain rang L> 1 Alors la série est divergente Si L=1, on ne peut conclure à l'aide du critère de d'Alembert G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence 4. Comparaison avec une intégrale Soit une fonction positive sur , décroissante à partir d'une certaine valeur de Alors l'intégrale et la série de terme général sont de même nature G.E.I.I. Séries

B. Séries à termes positifs – Convergence Série de Riemann La série de Riemann de terme général avec définie par : est convergente si divergente si G.E.I.I. Séries

C. Séries à termes de signes quelconques Convergence absolue – Semi-convergence La série est absolument convergente si la série est convergente. Si la série est absolument convergente alors la série est convergente. La réciproque est fausse ! G.E.I.I. Séries

C. Séries à termes de signes quelconques Semi-convergence Si la série diverge et si la série est néanmoins convergente, alors on dit que la série est semi-convergente. G.E.I.I. Séries

C. Séries à termes de signes quelconques Séries alternées La série est dite alternée si son terme général est alternativement positif et négatif à partir d'un certain rang, i.e., telle que , Théorème 3 : Pour qu'une série alternée converge, il suffit que la valeur absolue de son terme général tende vers 0 en décroissant, i.e., telle que : soit décroissante G.E.I.I. Séries

D. Séries de fonctions Séries de fonctions Convergence simple et uniforme La série de fonctions converge simplement sur un intervalle I si la suite converge simplement sur I. La série de fonctions converge uniformément sur uniformément sur I. G.E.I.I. Séries

D. Séries de fonctions Propriétés P1 : Si la série de fonctions continues sur I converge uniformément sur I, alors la fonction définie par : est continue sur I G.E.I.I. Séries

D. Séries de fonctions Propriétés P2 : Intégration terme à terme Si la série de fonctions continues sur converge uniformément sur alors G.E.I.I. Séries

D. Séries de fonctions Propriétés P3 : Dérivation terme à terme Si la série de fonctions dérivables sur I converge simplement sur I alors la fonction est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction : G.E.I.I. Séries

Chaotic Snail Shell G.E.I.I. Séries