Arithmétique et algèbre Continuités et ruptures : lettres, signe égal, expressions Module 1

Activité – analyse des erreurs d’élèves Analysez les réponses d’élèves : Identifiez les erreurs des élèves Pour chacune d’elles, apportez une explication Travail en groupes de 4 (30 min) Répartition des questions de la façon suivante : G1 : 1-7-3-9 G2 : 2-8-4-7 G3 : 3-9-5-7 G4 : 4-10-6-7 G5 : 5-1-7-10 G6 : 6-2-8-7

Statut de la lettre Lettre pour désigner Un objet Une variable Une inconnue Un nombre indéterminé Un paramètre

Lettre pour désigner un objet La lettre symbolise un objet mathématique, un symbole d’unité, elle marque une abréviation : La lettre désigne un objet précis : un point A, un cercle C La lettre désigne une unité : 4 m pour 4 mètres, 2 t pour 2 tonnes La lettre désigne une abréviation d’un objet mathématique : A = L  l ; P =   D. Enseignement primaire, début d’enseignement moyen

Lettre pour désigner une variable Les valeurs que peut admettre la lettre varient dans un intervalle ou un ensemble Quel nombre peut-on mettre à la place de t dans 1,2 < t < 1,5 ? ABCD est un carré de côté 8 cm et M un point du segment [AB], tel que AM = x. Exprimer l'aire A du quadrilatère MBCD quand M varie sur le segment [AB]. Dès le début de l’enseignement moyen

Lettre pour désigner une inconnue Ce statut est rencontré dans les situations de mise en équation d’un problème ou lors d’une résolution d’équation : Que vaut le nombre x si le triple de la différence de x et de 7 est égal à la moitié de la somme de x et de 1 ?

Lettre pour désigner un nombre indéterminé La lettre ne représente plus des nombres particuliers mais au contraire, des nombres quelconques comme dans les identités où l’égalité est universellement vraie : Pour tous les nombres k, a, b : k(a + b) = ka + kb Pour tous les nombres x : x + x = 2x Les identités remarquables

Lettre pour désigner un paramètre La lettre représente une quantité supposée connue par rapport à d’autres lettres qui ont : soit le statut de variable : f : x → ax soit le statut d’inconnue : ax + b = 0 soit le statut d’indéterminée : a(x + y) = ax + ay

Statut de la lettre selon la tâche a) A(x) = 3(x + 4) x est ici une variable b) 3(x + 4) = 24 x est ici une inconnue

Du côté des élèves 6 niveaux d’interprétation identifiés chez des élèves de 11 à 17 ans : Lettre ignorée Lettre évaluée Lettre – objet Lettre – inconnue spécifique Lettre – nombre généralisé Lettre – variable Niveau pré-algébrique Nécessaires pour comprendre l’algèbre élémentaire

Du côté des élèves Lettre ignorée Lettre évaluée Lettre – objet Prise en compte d’éléments numériques uniquement Ex. 5 + 3y = 8 ou 5 + 3y = 8y Lettre évaluée Besoin d’attribuer une valeur numérique à la lettre manipulée Ex. le périmètre d’un polygone à n côtés égaux de 2 cm chacun est 28 cm. Lettre – objet La lettre n’a pas de statut de nombre, elle correspond à l’abréviation d’un mot Ex. 5 + 3t = 8 tonnes

Enseignement primaire Statut du signe égal Enseignement primaire 4 + 6 = 10 Signe égal pour annoncer le résultat 54 = 3  18 Signe égal pour signifier la décomposition d’un nombre 15/10 = 3/2 Signe égal pour signifier que différentes écritures représentent un même nombre

Statut du signe égal k(a + b) = ka + kb Enseignement moyen Statut du signe égal k(a + b) = ka + kb Signe égal pour traduire une identité Calculer a + 2b pour a = 1 et b = 0,7 Signe égal comme symbole d’affectation (2x + 3)(x – 2) = 2x² – x – 6 Signe égal pour signifier que deux expressions ont la même valeur quel que soit x Pour quelle valeur de x a-t-on 2x + 3 = 5x ? Signe égal pour signifier que deux expressions peuvent avoir la même valeur pour une valeur de x

Signe égal comme annonceur du résultat Du côté des élèves Ex. Dans un match de football l’équipe qui reçoit marque x buts, l’équipe visiteuse marque y buts. Exprimer le nombre total de buts marqués dans ce match. Réponse : z buts (x + y = z) Signe égal comme annonceur du résultat

Du côté des élèves 4 + 3x = 7x Est-ce toujours vrai ? C’est pareil car 3+4 = 7 et le prof a dit que 3x c’est 3 multiplié par x, et on multiplie les deux cas C’est faux car il faudrait des parenthèses, c’est (4+3)x qui est égal à 7x Si on remplace x par 1, c’est vrai Si on remplace x par 2, c’est faux On ne peut pas savoir, c’est tantôt vrai, tantôt faux Ce n’est pas toujours vrai C’est toujours vrai à condition de prendre 1 pour x.

Conclusion Difficultés dans l’apprentissage de l’algèbre Bouleverse certaines conceptions d’arithmétique des élèves Nécessite de la part des enseignants de trouver des moyens de faire comprendre les nouvelles significations des objets mathématiques connus