A la découverte de théorèmes CabriWorld 2001 CabriWorld 2001 CHARRIERE Ferme de Quincy F – 74140 MASSONGY pierre-marie.charriere@edu.ge.ch tél. 04 50 94 14 57 A la découverte de théorèmes Pierre Marie Charrière Département de l ’instruction Publique Case Postale 218 CH- 1211 Genève 28 Suisse Séquences des diapositives pierre-marie.charriere @ edu.ge.ch

À la découverte de théorèmes Activité «Boîtes Noires» CabriWorld 2001 À la découverte de théorèmes Activité «Boîtes Noires» Faire vivre une démarche scientifique Présenter des théorèmes (mé)connus Cette présentation comporte DEUX ASPECTS COMPLEMENTAIRES: 1. PÉDAGOGIQUE : Comment faire vivre à l ’élève une démarche scientifique à l’aide de l’activité «Boîtes Noires» ? 2. GÉOMÉTRIQUE : Présentation de théorèmes connus, méconnus, oubliés ou personnels. Chacun étant le prétexte à une ou plusieurs boîtes noires. Elle divise en six parties: POURQUOI ? Origine de cette présentation POUR QUOI ? Énoncer des objectifs poursuivis EXEMPLES L ’idée « Boîtes Noires » COMMENT ? Mode d ’emploi pour la résolution d ’une boîte noire DOSSIER Petit dossier complet pour une utilisation en classe THEOREMES Quelques théorèmes à (re)découvrir Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Origine de cette présentation, et de l ’activité « Boîtes Noires » CabriWorld 2001 Pourquoi ? Origine de cette présentation, et de l ’activité « Boîtes Noires » Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Pourquoi ? le Programme à Genève le Potentiel de Cabri-Géomètre CabriWorld 2001 Pourquoi ? le Programme à Genève le Potentiel de Cabri-Géomètre le Plaisir de chercher et de réussir une Activité modulable Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Le programme à Genève Peu de géométrie au programme CabriWorld 2001 Le programme à Genève Peu de géométrie au programme Pas d ’initiation à la démonstration, pour les élèves de 12-15 ans (Peu d ’enseignants sont férus de géométrie !) Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Le potentiel de Cabri Dynamisme de la figure Choix des menus de base CabriWorld 2001 Le potentiel de Cabri Dynamisme de la figure Choix des menus de base Permanence de ce micromonde Outils pour le pédagogue L ’activité « Boîtes Noires » met en évidence le potentiel de Cabri-Géomètre et de l ’ordinateur selon quatre directions: le DYNAMISME de la figure : le cabri-déplacement est omniprésent, le CHOIX des menus de base : outils de création/construction, de vérification des propriétés géométriques et métriques, la PERMANENCE des mots mathématiques, des méthodes, des réponses : l ’ordinateur n’explique pas, il baigne l ’utilisateur dans un micromonde logique et cohérent, les outils à disposition du maître : revoir la construction, (journal de session), choisir/éditer les menus. Cabri-Géomètre est un compagnon de voyage, qui vous aide, qui vous renseigne, mais n’agit pas à votre place. Il rend l ’élève autonome en le cadrant, sans le diriger. Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Le plaisir Résoudre une boîte noire est proche du comportement ludique CabriWorld 2001 Le plaisir Résoudre une boîte noire est proche du comportement ludique Plaisir de découvrir une nouvelle propriété, une construction différente de celle de l ’auteur Plaisir d’inventer Devant un phénomène qui dérange, interpelle, l ’homme (de science) cherche une explication, une loi, qu ’il mettra à l’épreuve. Par la MANIPULATION DIRECTE Cabri favorise l ’émergence de tels phénomènes. Les INVENTEURS ne sont pas oubliés : un élève, qui invente une nouvelle boîte noire peut demander à son maître de la résoudre. Il doit alors montrer une démarche en accord avec son enseignement!! (Ceci permet de souligner le point crucial de cette activité: QUELLE est la STRATÉGIE à ADOPTER pour RÉSOUDRE une BOITE NOIRE ? ) Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Facilement modulable par l’élève par le maître pour le programme CabriWorld 2001 Facilement modulable par l’élève par le maître pour le programme pour la géométrie L 'ÉLÈVE va à son rythme : le problème lui appartient davantage, il peut rejouer les constructions. Il est aisé de réaliser plusieurs fois de suite une même boîte noire sans lasser l ’exécutant. La dextérité augmente et les constructions se fixent dans la mémoire. LE MAÎTRE privilégie tel ou tel aspect du programme, il organise la session de travail (individuel, groupe, classe, etc.. Cette activité peut prendre place au primaire ou dans un PROGRAMME plus « musclé » de géométrie. Les constructions classiques, les théorèmes connus méconnus ou oubliés, les savoirs GÉOMÉTRIQUES se glissent à l ’intérieur des boîtes noires. Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Objectifs poursuivis Pour Quoi ? Objectifs poursuivis Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Pour Vivre une démarche scientifique l'Autonomie ... CabriWorld 2001 Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

La démarche scientifique CabriWorld 2001 La démarche scientifique Comprendre le problème Concevoir un plan Mettre le plan à exécution Examiner la solution obtenue Les quatre étapes pour résoudre un problème, selon le mathématicien POLYA Voir la partie « Dossier » où se trouve un schéma expliquant le travail de l ’élève (celui d ’un scientifique). Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Autonomie Manipulation directe Auto-Validation CabriWorld 2001 Autonomie Manipulation directe Auto-Validation Imaginer le problème résolu Pour la personne qui considère Cabri-Géomètre comme un outil supplémentaire de dessin, les boîtes noires permettent de prendre conscience de l’aspect dynamique et relationnel de la figure. Cette activité n ’a pas de sens avec papier-crayon ! Le cabri-déplacement est obligatoire. MANIPULATION DIRECTE au service de la MODÉLISATION, voici l'IDÉE CABRI L ’élève va à son rythme, il peut découvrir d ’autres programmes et d ’autres propriétés que ceux de son maître. Les options de construction et de validation contribuent à l ’autocorrection. Il peut tester sa construction, car la solution est donnée par la boîte noire! Le fait d ’avoir à sa disposition la réponse donne à l ’élève l ’habitude d ’imaginer le problème résolu : une démarche fréquente et importante en mathématiques (démarche déjà prisée par le philosophe et mathématicien grec Platon 428-347 av J.C.). Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 ... « Avec l’apparition de Cabri, j’ai rencontré de nouveaux géomètres. Enseignants, élèves osent faire des conjectures, des essais. Ils (re)découvrent la géométrie et le plaisir de chercher. » « La constance des réponses fournies par l ’ordinateur, leur caractère immédiat et l’absence de jugement de valeurs en sont trois raisons importantes! » Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 L ’idée « Boîtes Noires » Exemples L ’idée « Boîtes Noires » Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Exemple n°1 La boîte noire n°1 construit deux segments à partir de deux cercles : Cette activité n ’a de sens que dans un univers de GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE ! Une Boîte Noire devient un outil de Cabri-Géomètre; le logiciel incorpore par défaut les boîtes noires : médiatrice, milieu, … (le film dure 34s) Quel est le programme de construction ? Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Exemple n° 2 La boîte noire n°2 construit un carré à partir de d ’un point sur un cercle : Cette activité n ’a de sens que dans un univers de GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE! Une Boîte Noire devient un outil de Cabri-Géomètre; le logiciel incorpore par défaut les boîtes noires : médiatrice, milieu, … REMARQUE: Il ne suffit pas de constater (vérifier) que le polygone obtenu est un carré! (le film dure 29s) Quel est le programme de construction ? Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Exemple n°3 La boîte noire n°3 construit un segment à partir de deux segments parallèles : Cette activité n ’a de sens que dans un univers de GÉOMÉTRIE DYNAMIQUE! Une Boîte Noire devient un outil de Cabri-Géomètre; le logiciel incorpore par défaut les boîtes noires : médiatrice, milieu, … REMARQUE: « Moyenne » est le NOM de cette boîte noire : savez-vous pourquoi ? (le film dure 25s) Quel est le programme de construction ? Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Mode d’emploi pour la résolution d’une boîte noire Comment ? Mode d’emploi pour la résolution d’une boîte noire Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Mode d'emploi Les étapes de la résolution CabriWorld 2001 Mode d'emploi Les étapes de la résolution Le film de captures d'écran (5min40s) Créer une Boîte Noire : exemple le film (6min 50s) - la fiche Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Le travail de l'élève Schéma / résumé L'œil ma…thématique CabriWorld 2001 Le travail de l'élève Schéma / résumé L'œil ma…thématique Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

L'œil ma…thématique Imagine Doute Exemples CabriWorld 2001 L ’œil du mathématicien imagine ce qu ’il ne voit pas, doute de ce qu ’il voit. Voici LA RICHESSE DE CETTE ACTIVITÉ « Boîtes Noires »: apprendre à l ’élève à s ’approprier la figure en - enrichissant la figure - découvrant les liens entre les objets géométriques. Dès qu ’une figure apparaît à l ’écran, on conjecture, puis on teste par déplacement des objets ou par enrichissement d ’autres objets. Et on recommence ! Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Exemples Une Boîte Noire (Joseph Jastrow, ~1900) CabriWorld 2001 Dès qu’à l ’écran apparaît la droite, après application de la macro, on CONJECTURE… Pour cela on voit des objets non dessinés, on ENRICHIT la figure de segment, de droite, de symétrique,… Puis on TESTE visuellement, avec ou sans déplacement, avec ou sans les outils de vérification de Cabri-Géomètre. L ’élève a TOUJOURS À DISPOSITION: - les outils de construction, - les outils de validation, - le cabri-déplacement. Il prend de bonnes habitudes. L'HABITUDE CRÉE la MOTIVATION. Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

pour une utilisation en classe CabriWorld 2001 Dossier Petit dossier complet avec fiches élèves pour une utilisation en classe Cliquer sur LE NUMÉRO de CHAQUE diapositive Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Sections Travail de l ’élève Fiche Réponse Liste Boîtes Noires Étapes CabriWorld 2001 Sections Étapes de la résolution Travail de l ’élève Liste Théorèmes Fiche Réponse Présentation Liste Boîtes Noires Fiche Test Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Quelques propriétés à (re)découvrir Théorèmes Quelques propriétés à (re)découvrir Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

BN et Théorèmes Conventions Remarques Listes et fichiers Solutions CabriWorld 2001 BN et Théorèmes Conventions Remarques Listes et fichiers Solutions Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Conventions Objets initiaux en bleu, et avec un nom CabriWorld 2001 Conventions Objets initiaux en bleu, et avec un nom Objets intermédiaires en noir Objets finaux en rouge (figure et macro, avec un même nom de huit signes maximum) Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Remarques Il est facile de moduler - selon le programme - avec les objets initiaux. Attention à l'ordre et la symétrie Observez votre stratégie quand vous cherchez à résoudre une boîte noire Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Ouvrir un fichier cabri CabriWorld 2001 Ouvrir un fichier cabri Liste de 24 "Boîtes Noires" Liste de 24 Théorèmes Pour résoudre une Boîte Noire - OUVRIR une des deux listes (BOÎTE NOIRE contient des boîtes noires ordinaires, THÉORÈME contient des boîtes noires avec une propriété spéciale) - DOUBLE CLIQUER sur la macro CHOISIE - SÉLECTIONNER la macro dans le menu déroulant de Cabri-géomètre - AFFICHER l ’aide - ... Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

Solutions cabri CabriWorld 2001 Pour obtenir une solution d’une Boîte Noire - OUVRIR le dossier (Il contient les figures correspondantes aux macros classées dans les dossiers « Boîtes Noires » et « Théorèmes ») - DOUBLE CLIQUER sur la figure choisie - REVOIR LA CONSTRUCTION en sélectionnant l’outil dans le menu déroulant - ... Pourquoi ? Pour Quoi ? Exemples Comment ? Dossier Théorèmes

CabriWorld 2001 Divers

Aide Résoudre une Boîte Noire, c'est trouver CabriWorld 2001 Aide Résoudre une Boîte Noire, c'est trouver le programme de construction d'une figure

CabriWorld 2001 Plaidoyer Les enfants et le mouvement

Max Bill (Winterthour 1908 - Berlin 1994) CabriWorld 2001 Max Bill (Winterthour 1908 - Berlin 1994) Colonne (Section triangulaire développée en octogone) 1966 Genève, Fonds d'Art Contemporain 1972

CabriWorld 2001 CHARRIERE Ferme de Quincy F – 74140 MASSONGY pierre-marie.charriere@edu.ge.ch tél. 04 50 94 14 57 Tous vos exemples de Boîtes noires, tous vos commentaires, seront appréciés.