Résolutions et réponses Épreuve n°5 6e RALLYE MATH 92 5ème Édition 2018-2019

Combien y a-t-il de copains au maximum ? Enigme 1 : SOMME A 13 25 points Combien y a-t-il de copains au maximum ? Dans une bande de copains, chacun dispose de 10 jetons portant les nombres de 1 à 10. Chacun d’eux choisit trois jetons parmi les siens dont la somme est égale à 13. Tous ont formé des groupes de trois jetons de composition différente.

Une démarche … Je sais que chaque copain a 10 jetons de 1 à 10, en choisit 3. Chacun parvient à la somme de 13. Je vais donc chercher toutes les décompositions additives de 13 comportant trois nombres différents compris entre 1 et 10. Je procède par une exploration « méthodique », par exemple en fixant un des termes : Je fixe le « 1 » : 1 + 2 + 10 = 13, 1 + 3 + 9 = 13, 1 + 4 + 8 = 13, 1 + 5 + 7 = 13 Je fixe le « 2 » : 2 + 3 + 8 = 13, 2 + 4 + 7 = 13, 2 + 5 + 6 = 13 Je fixe le « 3 » : 3 + 4 + 6 = 13 Il n’y a pas d’autres possibilités.

Il y a donc 8 copains au maximum. Et la réponse est … Puisqu’il y a 8 décompositions additives possibles de 13 avec les nombres de 1 à 10… Il y a donc 8 copains au maximum.

Quelle est la longueur et la largeur du terrain de chaque personne ? Enigme 2 : TERR…HEIN ??? 35 points Quelle est la longueur et la largeur du terrain de chaque personne ? Monsieur A, Monsieur B, Monsieur C et Monsieur D ont acheté́ chacun un terrain rectangulaire. Les longueurs de ces terrains sont toutes différentes : 60 m, 55 m, 50 m et 45 m. Les largeurs de ces terrains sont toutes différentes : 35 m, 30 m, 25 m et 20 m. La longueur du terrain de Monsieur A est plus grande que celle du terrain de Monsieur C mais plus petite que celle du terrain de Monsieur B. L’aire du terrain de Monsieur A est égale à celle du terrain de Monsieur D. Le périmètre du terrain de Monsieur A est égal à celui de Monsieur C.  Conseil : organisez les données dans un tableau, calculez périmètre et aire.  Avertissement : les mesures des terrains et le nom des personnes sont donnés dans un ordre aléatoire. Par exemple, Monsieur A peut très bien avoir un terrain de 55 m par 20 m.

Une démarche … * Périmètre en m, aire en m2 Je calcule toutes les possibilités : Longueur  Largeur  60 55 50 45 35 Périmètre : 190 Aire : 2100 Périmètre :180 Aire : 1925 Périmètre : 170 Aire : 1750 Périmètre : 160 Aire : 1575 30 Périmètre : 180 Aire : 1800 Aire : 1650 Aire : 1500 Périmètre : 150 Aire : 1350 25 Aire : 1375 Aire : 1250 Périmètre : 140 Aire : 1125 20 Aire : 1200 Aire : 1100 Aire : 1000 Périmètre : 130 Aire : 900

* Périmètre en m, aire en m2 Indice 2 : L’aire du terrain de Monsieur A est égale à celle du terrain de Monsieur D. Longueur  Largeur  60 55 50 45 35 Périmètre : 190 Aire : 2100 Périmètre :180 Aire : 1925 Périmètre : 170 Aire : 1750 Périmètre : 160 Aire : 1575 30 Périmètre : 180 Aire : 1800 Aire : 1650 Aire : 1500 Périmètre : 150 Aire : 1350 25 Aire : 1375 Aire : 1250 Périmètre : 140 Aire : 1125 20 Aire : 1200 Aire : 1100 Aire : 1000 Périmètre : 130 Aire : 900 A ou D A ou D 2 possibilités Le terrain de 60 m par 25 m appartient à Monsieur A ou Monsieur D. Le terrain de 50 m par 30 m appartient à Monsieur A ou Monsieur D.

60 55 50 45 35 30 25 20 C A D B * Périmètre en m, aire en m2 Indice 1 : La longueur du terrain de Monsieur A est plus grande que celle du terrain de Monsieur C mais plus petite que celle du terrain de Monsieur B. Longueur  Largeur  60 55 50 45 35 Périmètre : 190 Aire : 2100 Périmètre :180 Aire : 1925 Périmètre : 170 Aire : 1750 Périmètre : 160 Aire : 1575 30 Périmètre : 180 Aire : 1800 Aire : 1650 Aire : 1500 Périmètre : 150 Aire : 1350 25 Aire : 1375 Aire : 1250 Périmètre : 140 Aire : 1125 20 Aire : 1200 Aire : 1100 Aire : 1000 Périmètre : 130 Aire : 900 C A D B Indice 3 : Le périmètre du terrain de Monsieur A est égal à celui de Monsieur C. Indice 1 : La longueur du terrain de Monsieur A est plus grande que celle du terrain de Monsieur C mais plus petite que celle du terrain de Monsieur B.

Et la réponse est … Terrain de M. A : 50 m x 30 m Terrain de M. B : 55 m x 20 m Terrain de M. C : 45 m x 35 m Terrain de M. D : 60 m x 25 m

Enigme 3 : SOLDATS DE PARTHES 40 points (30 points pour la démarche, 10 points pour le résultat) Combien l’armée parthes a-t-elle de soldats ? La bataille de Carrhes va commencer. Crassus le consul de César, tient à s’assurer que l’armée de l’Empire parthes a moins de soldats que la sienne. Pour cela, il compte les chameaux et les dromadaires : il voit 230 bosses et 680 pattes. Il sait qu’il y aura un soldat sur chaque chameau, les dromadaires servant uniquement à porter les provisions. Un chameau Un dromadaire

Une démarche … Ce que je cherche (et que je dois toujours garder dans ma tête) : Le nombre de soldats (qui correspond au nombre de chameaux). Ce que je sais : informations données par l’énoncé Il y a deux sortes d’animaux : des chameaux et des dromadaires. Il y a 230 bosses et 680 pattes. Il y a un soldat sur chaque chameau. Ce que je sais : informations également données par l’illustration Un chameau a deux bosses. Un dromadaire a une bosse. Les chameaux ou les dromadaires ont 4 pattes.

Une démarche … Je sais que Crassus « voit 680 pattes » : Comme je sais que les chameaux et les dromadaires ont 4 pattes, il me suffit de diviser le nombre de pattes par 4 afin de déterminer combien il y a d’animaux : 680 : 4 = 170 animaux J’ai besoin maintenant de déterminer combien il y a de chameaux parmi ces 170 animaux (car je sais que sur chaque chameau, il y a un soldat !)…

Je dois réduire le nombre de chameaux. Une démarche … En partant de 170, je vais varier le nombre de dromadaires et de chameaux (donc de bosses) afin de m’approcher du nombre de bosses attendu : 230. 170 ANIMAUX 230 ATTENDUES NOMBRE DE CHAMEAUX NOMBRE DE DROMADAIRES NOMBRE DE BOSSES 100 70 (100 x 2) + 70 x 1 = 270 Il y a 40 bosses en trop. Je dois réduire le nombre de chameaux. 170 ANIMAUX 230 ATTENDUES NOMBRE DE CHAMEAUX NOMBRE DE DROMADAIRES NOMBRE DE BOSSES 60 110 (60 x 2) + 110 x 1 = 230

Une autre démarche … Il faut trouver le nombre de chameaux (un soldat sur chaque chameau). Les deux types d’animaux ont 4 pattes, il y a donc 680 : 4 = 170 animaux Si tous étaient des dromadaires, il y aurait 170 bosses. Or il y en a 230 => Donc il y a 230 – 170 = 60 chameaux. Je vérifie : 60 x 2 + 110 x 1 = 230 bosses et (60 + 110) x 4 = 680 pattes)

Une autre démarche … Il faut trouver le nombre de chameaux (un soldat sur chaque chameau). Les deux types d’animaux ont 4 pattes, il y a donc 680 : 4 = 170 animaux Si tous étaient des dromadaires, il y aurait 170 bosses. Or il y en a 230 => Donc il y a 230 – 170 = 60 chameaux. Je vérifie : 60 x 2 + 110 x 1 = 230 bosses et (60 + 110) x 4 = 680 pattes)

L’armée parthes a 60 soldats (car elle a 60 chameaux) ! Et la réponse est … L’armée parthes a 60 soldats (car elle a 60 chameaux) ! Bon attention, ça, ce n’est pas vraiment vrai…il y en avait beaucoup plus… ! Il faudrait demander à votre professeur d’histoire ou faire la recherche vous-mêmes … D’ailleurs Crassus a perdu la bataille de Carrhes contre l’Empire Parthes…

Publication des résultats Résultats de l’épreuve 5: le 21 mai 2019 Classement final de l’année*: le 04 juin 2019 *uniquement pour les classes ayant réalisé les 5 épreuves Merci de votre participation au Rallye Math 92. Nous vous souhaitons une bonne fin d’année scolaire en espérant vous retrouver l’année prochaine. Les membres du jury