Propriétés des ordonnancements SPT ROADEF 2005 Propriétés des ordonnancements SPT Eric Angel, Evripidis Bampis, Fanny Pascual LaMI, université d’Evry

0rdonnancements (rappel) Exemple: Principaux critères de qualité: Temps de terminaison max (Makespan) Somme des temps de terminaison ( ∑Cj ) 1 2 4 5 6 3 7 8 9 10 1 5 6 P1 n tâches m machines P2 2 4 P3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Les ordonnancements SPT SPT= Shortest Processing Time first Règle de Smith: SPTglouton Trier les tâches par ordre croissant Les ordonnancer dès qu’une machine est libre. Algo qui minimise ∑Cj . Classe des ordos. qui minimisent ∑Cj : [Bruno et al]: Algorithms for minimizing mean flow time 1 2 3 4 5 6 7 8

Les ordonnancements SPT [Bruno et al]: notion de rang. Un ordo. minimise ∑Cj ssi c’est un ordo. SPT. 1 4 7 2 5 8 3 6 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8

Plan On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: Max ∑Cj. Problème NP-complet Analyse de SPTglouton Critères d’insatisfaction des tâches: Critère d’insatisfaction globale Critère d’insatisfaction individuelle Conclusion

Max ∑Cj Minimiser Max ∑Cj  Minimiser ∑Cj Problème NP-complet. Max ∑Cj = 7 Max ∑Cj = 6 ∑Cj = 10 ∑Cj = 11 Problème NP-complet. 1 5 3 7 5 1 6

Minimiser Max ∑Cj est NP-complet On réduit le pb de la partition au pb Min. Max ∑Cj. Partition: Soit un ens. de nb C={ x1, x2, . . . , xn }. Existe-t-il une partition (A,B) de C t.q ∑xA x = ∑xB x ? Min. Max ∑Cj: Soit un nombre k. Existe-il un ordo. tel que Max ∑Cj= k ?

Minimiser Max ∑Cj est NP-complet Transformation: Partition: C={x1, x2, . . . ,xn} Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches:

Minimiser Max ∑Cj est NP-complet Solution Partition  solution Max ∑Cj : Partition: C={x1, x2, . . . ,xn}. Max ∑Cj: k= ½ Min ∑Cj ; m=2; 2n tâches. tâches ≠ce long. rang ≠ce contrib ∑Cj

Max ∑Cj : analyse de SPTglouton Théorème 1 : Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≤ 3 – 3/m + 1/m2 . Théorème 2 : Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m).

Max ∑Cj : analyse de SPTglouton Théorème 2 : Le rapport d’approximation de SPTglouton est ≥ 2 – 2/(m2 + m). ( exemple: pour m=3, rapport ≥ 11/6 ) Preuve: m(m-1) tâches de longueur 1 Une tâche de longueur B= m(m+1)/2 Exemple pour m=3: 1 6 6 1 Max ∑Cj = 6 Max ∑Cj = 11

Plan On étudie la qualité des ordos. SPT sur les critères suivants: Max ∑Cj. Problème NP-complet Analyse de SPTglouton Critères d’insatisfaction des tâches: Critère d’insatisfaction globale Critère d’insatisfaction individuelle Conclusion

Critère d’insatisfaction globale [Kumar, Kleinberg]: Fairness Measures For Ressources Allocation (FOCS 2000) Définition: insatisfaction globale d’un ordo. S: Rapport max. entre date de fin de la ième tâche de S, et date de fin min de la ième date de fin de tout autre ordo. Cglob(X) = min  t.q. X   Y  Y  V(I) C*glob(I) = min Cglob(X) t.q. X V(I) C*glob = max C*glob(I)

Critère d’insatisfaction globale Autres vecteurs: V(I) = X + (1, 2, 5) (1, 3, 3) (1, 3, 5) (2, 3, 3) (2, 3, 4) (1, 3, 6) (1, 4, 6) (2, 3, 6) (2, 5, 6) (3, 4, 6) (3, 5, 6) Min = (1, 2, 3) Exemple: I={ , , } 1 2 3 1 3 2 1 3 2 Vecteur X = (1, 2, 4) 1 3 2 Cglob(X) = 4/3 C*glob(I) = 4/3

Critère d’insatisfaction globale Théorème 1: Cglob(XSPTglouton) ≤ 2 – 1/m. ( exemple: pour m=2, Cglob(XSPTglouton) ≤ 3/2 ) Théorème 2: C*glob= 3/2 quand m=2. Preuve du théorème 2: 1 2 Cglob(I) = C*glob = 3/2 Vecteur X = (1, 1, 3)

Critère d’insatisfaction individuelle Définition: insatisfaction ind. d’un ordo. S: Rapport max. entre date de fin de chaque tâche de S, et date de fin min de cette tâche dans tout autre ordo. Cind(X) = min  t.q. X   Y  Y  V(I) C*ind(I) = min Cind(X) t.q. X V(I) C*ind = max C*ind(I) Exemple: 1 3 2 Vecteur X = (3, 2, 3)

Critère d’insatisfaction individuelle Théorème : Cind(XSPTglouton) ≤ 1 + (n-1)/m. C*ind= 1 + (n-1)/m. Preuve de C*ind = 1 + (n-1)/m : exemple avec (m+1) tâches de longueur 1: C*ind = 2 = 1 + (n-1)/m 1

Conclusion - Perspectives SPTglouton entre 2 – 2/(m2 + m) et 3 – 3/m + 1/m2 pour Max ∑Cj. Bons rapports d’insatisfaction. Perspectives Améliorer la borne pour SPTglouton dans Max ∑Cj. Etudier les critères d’insatisfaction sur d’autres ordonnancements.