9 Complexité des activités mathématiques 9-1 Introduction Généralités Les composantes de la complexité Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Sommaire Introduction et généralités diaporama 9-1 vues 1 à 23 Études sur le calcul de la multiplication diaporama 9-2 vues 24 à 67 Études sur la division Diaporama 9-3 vues 68 à 94 Études sur les systèmes linéaires Diaporama 9-4 vues 95 à 112 Quelques repères Une étude de Lucienne Félix 6-9 comparaisons de méthodes, indice de complexité 51-59 Études théoriques 27 études empiriques 37 Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Objet des études de complexité L’étude de la complexité des situations a pour objet de prévoir et de comparer les variations de performances des élèves en fonction des variations de certaines caractéristiques ou variables de ces situations Les études de la complexité des situations conjuguent autant que possible deux méthodes : la modélisation a priori et la mise à l’épreuve expérimentale des modèles théoriques, ou l’observation et l’explication a posteriori par des modèles empiriques Ce type d’étude est directement orienté vers le choix des objets et des conditions d’enseignement les plus appropriées aux élèves, collectivement ou individuellement Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Les composantes… La complexité d’une situation dépend 1. De la complexité du milieu 2. De la complexité créée par le projet les choix à faire pour obtenir le résultat suivant les connaissances, la probabilité d’y parvenir et ce qu’il faut faire pour établir une solution (reproductible) 3. De la complexité de la tâche, c’est-à-dire de la reproduction d’une solution connue suivant la fiabilité cherchée (elle réduit la complexité globale du projet) Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Leur complexité La complexité du milieu ne dépend pas a priori des compétences de l’actant. Par contre la complexité de la résolution de la situation, l’obtention du résultat visé, dépend à la fois du milieu et des connaissances de l’actant. La complexité de l’établissement d’une solution stable - une tâche – dépend de plus des connaissances et des répertoires de référence de l’actant La complexité de la reconnaissance a priori et de la mise en œuvre d’une solution stable – une tâche – ne dépend principalement que de la culture Ulysse 9-1 Cours GB 2010

1. La complexité d’un milieu Lucienne Félix inventorie le milieu de la situation suivante: Trois points A, B et C sont sur un cercle (C) Les milieux des arcs successifs BC, CA, AB sont nommés A', B', C'. Objectif : déterminer la mesure de l'angle de AA' et B'C'. Les éléments du milieu sont : Les objets Un cercle ( C ) centre O Rayon r 3 points de ( C ) A , B, C, Segments OA, OB, OC, AB, BC, CA 3 milieux de côtés A1, B1, C1 6 Segments OA1, OB1, OC1, A1B1, B1C1, C1A1 3 milieux d’arcs A’ , B’ , C’ A’ = OA1  ( C ) B’ = OB1  ( C ) C’ = OC1  ( C ) Extrait de l’ouvrage L. Félix, Un aperçu des méthodes en géométrie élémentaire 2 textes de réflexions didactiques, IREM de Bordeaux 1991 à lire sur ce site Ulysse 9-1 Cours GB 2010

- Addition des arcs, addition des angles. Les relations OA = OB = OC = r BA1 = A1 C CB1 = B1A AC1 = C1B arc BA’ = arc A’C =  arc CB’ = B’A =  arc AC’ = arc C’B =  Les connaissances disponibles - Addition des arcs, addition des angles. - Correspondance entre arcs, angles au centre, angles inscrits - Angles de 2 cordes se coupant à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle. - Tout angle a 2 bissectrices perpendiculaires Tout arc a 2 milieux diamétralement opposés. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Le savoir utilisé dans cette solution n’est qu’une petite partie de ceux qui sont engagés dans le milieu. Le choix des objets et des relations utilisés et du théorème de référence est le résultat du traitement d’un certain nombre d’énoncés dont certains sont des théorèmes de référence (des savoirs) mais dont l’utilité est incertaine et qui interviennent comme de simples connaissances… La complexité de la solution est faible par rapport à celle de la situation. Mais l’établissement de la solution (même si les théorèmes sont sus) est d’une complexité beaucoup plus grande Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Cet inventaire laisse évidemment dans l’ombre des conventions implicites comme ; « il s’agit de démontrer, pas de mesurer UN angle particulier » Cette situation est un problème classique elle ne comporte pas d’éléments qui pourraient faire penser que cet angle aurait une valeur particulière ni pourquoi il est intéressant de le savoir. L’élève sait bien quelle est la réponse à la question posée. Là n’est pas la question. Il « ne s’agit que » de produire ou reproduire une démonstration de mathématique. Ce qui est déjà bien Par contre, ce que s’est proposé L. Félix: « Trouver dix solutions distinctes de ce problème », constitue une situation qui n’est pas réduite à un problème. L’exploration d’un domaine, y reconnaître que des solutions sont similaires, ou différentes, relève d’une connaissance d’un milieu, non d’un savoir. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

2. La complexité des tâches : Plan d’étude Étude théorique et expérimentales des difficultés du calcul élémentaire, et la comparaison de divers algorithmes. Considérer la complexité formelle des différents algorithmes de calcul « à la plume » de la multiplication et de la division, nous donnera l’occasion d’illustrer quelques méthodes de recherches et de montrer l’usage fécond d’un indice de complexité pourtant bien insuffisant. Nous n’étudierons pas tous les aspects (ex. l’effet de la disparition quasi-totale du calcul de la vue du calcul « à la plume » dans nos sociétés, Le dénombrement et la numération sont étudiés dans une autre partie du cours) etc. 2. Étude a priori des effets des variables de complexité sur l’apprentissage et l’enseignement : la taille des répertoires, la longueur des séquences indépendantes, le nombre de valeurs provisoires maintenues simultanément en mémoire… Nous comparerons la méthode per gelosia et la méthode Fibonacci, a priori à l’aide de l’indice de complexité de McCabe, confronté à des observations et à des expériences. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

nature mathématique des nombres, type de grandeurs etc 3. A propos de la soustraction et de la division: observation empirique de l’effet de diverses variables qui ont un effet sur la compréhension et la mise en œuvre des tâches : taille des nombres nature mathématique des nombres, type de grandeurs etc 4. Dans le prolongement des études précédentes le cours présente une approche de la complexité des raisonnements arithmétiques et de l’algèbre linéaire où les algorithmes se multiplient et s’assouplissent. Une expérience mentale simple montre l’importance du rôle des types de grandeurs pour orienter la résolution d’un même système vers une méthode arithmétique ou vers une autre. L’algèbre échappe à ces difficultés mais les reporte sur les mises en équations. Une étude de la complexité des résolutions « opportunistes » d’une situation, comparées avec celle de l’établissement d’une solution stable montrera l’existence d’un seuil d’apprentissage Ulysse 9-1 Cours GB 2010

3. La Complexité de la résolution des situations et la complexité des apprentissages Ce sont les parties les plus importantes et les plus délicates de la recherche en didactique. D’autant plus qu’il semble que les approches qui isolent prématurément une catégorie de faits ou de connaissances de leur environnement didactique induisent des biais et peuvent très mal orienter les efforts de l’enseignement. Nous n’aborderons cette question qu’après avoir étudié les situations et les curriculums et nous les reprendrons alors dans le cadre de la théorie des situations proprement didactiques qui prend pour objet non seulement l’objet de l’enseignement mais le système didactique dans sa totalité. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Savoir définir une « complexité didactique intrinsèque » pour des domaines des mathématiques, et montrer sa validité contingente ne sera le résultat que d’une connaissance approfondie de la didactique et de la métamathématique elles-mêmes. C’est pourtant en référence à ce projet qu’il faut interpréter nos efforts (ils peuvent sembler dérisoires à une telle distance du but) pour diriger des choix de situations et de curriculum à l’aide de comparaisons de complexité entre les objets qui apparaissent pertinents pour cela (ce qui en fait des objets didactiques). Nous allons commencer par le côté le plus «abordable» celui des algorithmes et donc des tâches1. Pour des raisons historiques, techniques et idéologiques nous avons d’abord examiné de ce point de vue l’enseignement élémentaire. 1C’est aussi une nervure de la théorie anthropologique Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Annonce du diaporama 10 suivant… Dans le chapitre suivant nous montrerons que les variations de la difficulté d’effectuer ou de concevoir un algorithme ménagent une zone de meilleure efficacité. Les zones de meilleure efficacité de deux algorithmes qui résolvent le même problème mathématique peuvent présenter différentes configurations. Dans certains cas il apparaît entre elles des seuils qui obligent à augmenter brutalement la complexité des solutions. Un saut trop important provoque des effets comparables aux obstacles épistémologiques observés notamment en Sciences Physiques. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Études sur les méthodes de calcul à l’école Remarques ergonomiques et Ingénierie Didactique Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Préambule Le corps de ce diaporama réalisé pour une conférence à des enseignants évoque plus qu’il n’expose mes exercices de débutant sur le calcul et son apprentissage1. Je suis à peu près certain que toutes les objections présentées ici à nos pratiques habituelles avaient déjà été faites et depuis longtemps; certains pays en ont tenu compte. Mais elles n’ont jamais eu aucun écho en France. La difficulté à corriger des erreurs patentes, n’est pas une simple anomalie, c’est un phénomène récurrent qui mérite d’être étudié. 1 BROUSSEAU Guy (1973) "Peut-on améliorer le calcul des produits de nombres naturels ? " in Actes du 3e congrès des sciences de l’éducation « Apports des disciplines fondamentales aux sciences de l’éducation » tome 1 pp 364-378 (1973) Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Pour cerner les objectifs et les moyens d’apprentissage envisagés dans la théorie des situations mathématiques il faut les confronter aux principes et méthodes utilisées – ou évoquées comme telles - presque universellement pour enseigner les algorithmes. Elles servent de référence à toutes les méthodes « rationnelles » d’enseignement. L’épistémologie qu’elles véhiculent s’impose dans les rapports de l’ensemble de la population avec les institutions scolaires. Dans ces rapports, les connaissances sont assimilées à des textes et les textes à des sous algorithmes. L’enseignement consiste à créer et assembler ces pièces comme celles d’un meccano. Il est nouveau de voir aujourd’hui des producteurs de connaissances mathématiques qui tendent à partager ce point de vue, malgré leur expérience. Les études d’ergonomie esquissées dans ce chapitre permettent de replacer ces opinions et ces pratiques dans la perspective de la théorie des situations mathématiques Ulysse 9-1 Cours GB 2010

1. Les principes de base de la didactique classique 1. Principe de construction Tout ce qui est utilisé pour édifier un texte ou un algorithme nouveau à un moment donné doit avoir été auparavant - enseigné - et appris 2. Principe d’économie Ne doit être enseigné que ce qui doit être su finalement ou qui doit être su pour apprendre un autre savoir, (c’est-à-dire les savoirs de référence).  conséquence : tout ce qui est enseigné doit être appris 3. Les éléments primitifs doivent être pris évidents ou familiers 4. Méthode de base Tout ce qui est nécessaire (à l’école de base) peut être appris par l’exemple, l’imitation, la correction et l’exercice. 5. La compréhension accélère l’apprentissage mais ne lui est pas nécessaire. Elle peut être facilitée par l’explicitation, l’exposition, et l’explication. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

2. Objections Mais aucune de ces déclarations - ni leur négation - n’est un principe universel 1. Le principe 1 ne s’applique pas aux connaissances: La théorie des situations mathématiques montre des conditions dans lesquelles les élèves produisent des connaissances qui ne leur ont pas été enseignées au préalable. Nous donnons des exemples de constructions de solutions complexes par des genèses, des évolutions de connaissances et non par des synthèses de savoirs La transformation des connaissances en savoirs permet de suivre des voies variées souvent plus efficaces 2. Le principe 2 affirme que puisque l’énoncé de la conclusion est plus court que sa démonstration, l’apprentissage de l’énoncé est plus économique que celui de sa démonstration. Ce n’est pas « vrai », on apprend souvent mieux ce qu’on comprend. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

3. Les éléments primitifs ne sont pas souvent les plus faciles à appréhender. 4. La procédure du quatrième principe ne s’applique pas a tout. Elle est si coûteuse en temps qu’il est peu probable qu’on puisse effectivement apprendre ainsi tout ce qui, en principe, pourrait relever de ce processus sans école. 5. La déclaration est exacte pour les apprentissages formels. Mais les rôles de la compréhension et de l’apprentissage sont inversés. C’est l’apprentissage qui prolonge et soulage la compréhension… dans des conditions où elle n’est plus indispensable. 6. L’acquisition de connaissances (même inaccessibles à l’analyse) est indispensable… 7. …ainsi que l’explicitation, l’exposition et l’explication, nécessaires à la constitution des savoirs (la reconnaissance des connaissances conformes) Ulysse 9-1 Cours GB 2010

3. Motifs de cette étude Motifs Scientifiques. Il s’agit ici de reprendre l’ensemble du problème de l’enseignement des calculs élémentaires les plaçant dans le cadre d’une construction d’ensemble des notions mathématiques. Une première approche ergonomique et économique permettra de comparer les performances des différentes méthodes du point de vue des efforts que demandent leur usage et leur apprentissage et de la fiabilité qui en résulte. Motifs Didactiques. Cette étude présentera dans ce cours une base essentielle de l’ingénierie didactique: l’étude des propriétés ergonomiques des situations et de leurs solutions. L’ingénierie didactique pratique se heurte à des exigences sévères et reste limitée à des modifications mineures aux avantages incertains Ulysse 9-1 Cours GB 2010

Motifs Macrodidactiques Motifs Macrodidactiques. Les conclusions de cette étude ne seront pas décisives pour l’enseignement réel car les changements dans ce domaines sont soumis à des phénomènes de macrodidactique excessivement violents. Exemple la permanence des irrégularités de numération orale en France (72, 95) et Économiques. Les motifs scientifiques ont un faible poids. Les conditions économiques sont plus fortes Aujourd’hui la demande de la société en calcul humain s’est effondrée. L’apprentissage du calcul est toujours indispensable mais seulement pour des raisons épistémologiques et culturelles. Il fait partie de la culture, mais plus des usages. Il faut donc reconsidérer en même temps ses méthodes et son enseignement pour les adapter à l’économie de leur usage et à l’ergonomie des utilisateurs. Ulysse 9-1 Cours GB 2010

4. Le plan de l’étude L’étude devrait commencer par celle de la division car seules les modifications didactiquement compatibles avec la méthode de division seront finalement acceptables Mais nous étudierons d’abord la multiplication comme un sujet indépendant. Nous opposerons à la méthode classique introduite par Fibonacci, celle per gelosia, beaucoup plus sûre et rapide pour les grandes opérations. Elle favorise l’apprentissage; les élèves peuvent « l’inventer » et la comprendre. Nous améliorerons ensuite « naïvement » les propriétés ergonomiques de la division. Certaines des propositions introduites pas ce travail il y a près de 40 ans ont été adoptées.. Pas toutes. L’enseignement peut suivre un processus d’invention et de mise au pont comparable à celui commencé avec « qui dira 20 ». Ensuite viendra l’étude du compromis pour la division. Le calcul des multiplications en ligne nécessaires à la division est acquis plus facilement à partir de l’apprentissage de per gelosia. Les élèves passent ensuite facilement à la présentation classique des multiplications. Ulysse 9-1 Cours GB 2010