Valeurs Propres et Vecteurs Propres Ranjit Govindan Valeurs Propres et Vecteurs Propres

Principe Historique Applications Exemple

Principe de base Dans cette image de la Joconde, on a transformé l’image par une application linéaire. On voit que le vecteur rouge n’a pas bougé. Le vecteur bleu a changé de direction. On appelle le vecteur rouge un vecteur propre de l’application linéaire. Puisque la taille de ce vecteur n’a pas changé, on dira que sa valeur propre est de 1. Si le vecteur rouge avait été deux fois plus grand, sa valeur propre serait 2. L’équation de valeur propre vue comme une homothétie.

Historique C’est l’étude des formes quadratiques et des équations différentielles qui donnent naissance aux valeurs propres et vecteurs propres. Les calculs de déterminants apparaît au 16e siècle. Leibniz résout des SEL au 17e siècle. Cela mène à la méthode d’éliminations des pivots de Gauss au 19e siècle. Au 19e siècle, Hamilton utilise le polynôme caractéristique pour obtenir les valeurs propres. Cayley débute l’étude des espaces vectoriels et Grassmann les formalise. Cauchy nomme la racine du polynôme caractéristique, qui est la valeur propre. Il découvre que les matrices symétriques on des valeur propres réelles. Cayley et Sylvester collaborent ensemble et utilisent pour la première fois le terme matrice en 1850. Hilbert développe l’analyse fonctionnelle en grâce aux concepts de valeurs, vecteurs et espaces propres. La terminologie française vient de Jordan. La terminologie anglaise provient de Hilbert, qui utilise le terme allemand eigen. Premiers algorithmes itératifs apparaissent en 1929 par Von Mises. L’algorithme QR fut développé par Francis et Kublanovskaya en 1961.

Applications Modélisation en physique grâce à la théorie spectrale. Supercordes et l’équation de Schrödinger. Applications en analyse fonctionnelle. Équations différentielles et EDP. Approximations itératives de solutions. Grâce aux ordinateurs, des algorithmes itératifs complexes peuvent être appliqués. Des problèmes qui n’avaient pas de solutions analytiques peuvent maintenant être résolus itérativement. Orbites moléculaires: en mécanique quantique, les orbites des atomes et des molécules sont définis par les vecteurs propres de l’opérateur de Fock. Géologie et glaciologie.

Définitions