Factorisation d’un trinôme carré parfait

x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 ) x ( x - 5 ) - 5 ( x - 5 ) x2 + 5x + 5x + 25 Factorisation d’un trinôme carré parfait. Un trinôme carré parfait est le produit d’un binôme par lui-même. ( x + 5 )2 ( x - 5 )2 Exemples : + - ( x + 5 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) ( x - 5 ) x ( x + 5 ) + 5 ( x + 5 ) x ( x - 5 ) - 5 ( x - 5 ) x2 + 5x + 5x + 25 x2 - 5x - 5x + 25 x2 + 10x + 25 x2 - 10x + 25 On peut remarquer que : - le premier terme du trinôme est un carré; - le troisième terme du trinôme est un carré; - le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme; - le signe du 2e terme est le même que celui du binôme.

x2 + 10x + 25 x2 Appelons le premier terme : T1 T1 T2 T3 Appelons le deuxième terme : T2 Appelons le troisième terme : T3 - le premier terme du trinôme est un carré; T1 est un carré : x2 - le troisième terme du trinôme est un carré; T3 est un carré : + 25 le terme du milieu est le double de la racine carrée du premier terme multiplié par la racine carrée du troisième terme. T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 25 2 X x X 5 = 10 x Un trinôme carré parfait doit respecter ces 3 conditions.

Détermine si ces trinômes sont des trinômes carrés parfaits. x2 + 8x + 16 Oui T1 est un carré : x2 T3 est un carré : +16 T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 16 2 X x X 4 = 8 x x2 - 12x + 36 Oui T1 est un carré : x2 T3 est un carré : +36 T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 36 2 X x X 6 = 12 x x2 + 7x + 12 Non T1 est un carré : x2 T3 n’est pas un carré : +12

x2 + 5x - 36 x2 -x2 - x + 20 - x2 x2 + 13x + 36 x2 Non T1 est un carré : x2 T3 n’est pas un carré car il est négatif: - 36 -x2 - x + 20 Non T1 n’est pas un carré car il est négatif: - x2 x2 + 13x + 36 Non T1 est un carré : x2 T3 est un carré : +36 T2 ≠ 2 X T1 X T3 2 X x2 X 36 2 X x X 6 = 12 x 12 x ≠ 13 x Un trinôme carré parfait doit respecter les 3 conditions.

x2 2x2 - 28x + 98 Non, mais il contient un trinôme carré parfait. En faisant un simple mise en évidence, on obtient : 2 ( x2 - 14x + 49 ) T1 est un carré : x2 T3 est un carré : + 49 T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 49 2 X x X 7 = 14 x Remarque : La simple mise en évidence est la première étape d’une factorisation lorsqu’un même facteur se retrouve dans tous les termes d’un polynôme.

x2 + 6x + 9 x2 x2 + 6x + 9 Factoriser un trinôme carré parfait Pour factoriser un trinôme carré parfait, il faut d’abord vérifier si le trinôme en est un en l’analysant avec les 3 conditions : T1 est-il un carré T3 est-il un carré? 2 X T1 X T3 T2 est-il égal à : ? Si oui : - on extrait la racine carrée de T1 et T3 ; - on récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme; - on indique que le binôme est un carré. Exemple : Factoriser le trinôme suivant : x2 + 6x + 9 Analyse du trinôme : T1 est un carré : x2 T3 est un carré : +9 T2 = 2 X T1 X T3 2 X x2 X 9 2 X x X 3 = 6 x x2 + 6x + 9 est donc un trinôme carré parfait.

x2 + 6x + 9 - On extrait la racine carrée de T1 et T3 : x2 + 6x +9 + 2 ( ) x 3 - On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme. - On indique que le binôme est un carré. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x2 - 16x + 64 - On extrait la racine carrée de T1 et T3 : x2 - 16x +64 - 2 ( ) x 8 - On récupère le signe de T2 pour le placer dans le binôme. - On indique que le binôme est un carré. x2 - 16x + 64 = (x - 8)2

Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits. x2 + 22x + 121 est un trinôme carré parfait. T1 est un carré : x2 = 22x T3 est un carré : 121 T2 = 2 X T1 X T3 x2 + 22x + 121 = ( x + 11 )2 x2 + 26x + 144 n’est pas un trinôme carré parfait. T1 est un carré : x2 T3 est un carré : 144 T2 ≠ 2 X T1 X T3 2 X x2 X 144 2 X x X 12 = 24 x 24 x ≠ 26 x Remarque : x2 + 26x + 144 se factorise quand même mais par un autre procédé. x2 + 26x + 144 = (x + 6) (x + 8)

Identifie, puis factorise les trinômes carrés parfaits. x2 - 26x + 169 est un trinôme carré parfait. T1 est un carré : x2 T3 est un carré : 169 T2 = 2 X T1 X T3 = 26x x2 - 26x + 169 = ( x - 13 )2 3x2 + 6x + 3 contient un trinôme carré parfait : 3(x2 + 2x + 1) T1 est un carré : x2 T3 est un carré : 1 T2 = 2 X T1 X T3 = 2x 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3( x + 1 )2 Remarque : Le nombre 1 est un nombre particulier en mathématiques. Il est un carré : 12 = 1 Il est aussi un cube : 13 = 1 Il est aussi …

Trouver un 3e terme pour former un trinôme carré parfait Il existe plusieurs techniques de factorisation de trinômes, une d’elles s’appelle la technique de complétion du carré. trouver un troisième terme afin de créer un trinôme carré parfait. une de ces étapes consiste à C’est une technique comportant quelques étapes; La présentation «  La technique de la complétion du carré.ppt » explique cette technique. Pour l’instant, voyons comment trouver ce troisième terme afin de compléter un trinôme carré parfait.

On voudrait créer un trinôme carré parfait à partir de cette expression algébrique. x2 + 6x + ? Pour déterminer ce nombre, on peut utiliser une des conditions d’analyse d’un trinôme carré parfait soit 2 X T1 X T3 T2 = Comme nous cherchons T3 , isolons, à partir de cette équation, T3 : 2 X T1 X T3 T2 = Élevons l’expression au carré : 2 2 2 X T1 T2 = T3 2 X T1 T2 2 X T1 T3 = T2 2 X T1 2 T3 =

Pour obtenir le troisième terme, on peut le calculer à l’aide de cette expression : 2 X T1 2 T3 = 6x 2 X x2 2 T3 = x2 + 6x + ? 6x 2 X x 2 T3 = 6 2 T3 = 2 T3 = ( 3 ) = 9 ( x + 3)2 Le trinôme carré parfait est donc x2 + 6x + 9 ; factorisé :

Détermine le troisième terme de ces expressions algébriques afin de créer un trinôme carré parfait. 2 X T1 2 T3 = x2 + 4x + ? 4x 2 X x2 2 T3 = T3 4x 2 X x 2 = 4 2 T3 = 2 T3 = ( 2 ) = 4 ( x + 2 )2 Le trinôme carré parfait est donc x2 + 4x + 4 ; factorisé :

x2 - 16x + ? x2 - 16x + 64 ; T2 2 X T1 T3 = -16x 2 X x2 T3 = -16x ( -8 ) = 64 Le trinôme carré parfait est donc x2 - 16x + 64 ; ( x – 8 )2 factorisé :

x2 + 7x + ? x2 + 7x + 49 ; T2 2 X T1 T3 = 7x 2 X x2 T3 = 7x 2 X x T3 = Le trinôme carré parfait est donc factorisé :

2x2 - 20x + ? Il faut, en premier, faire une simple mise en évidence pour que T1 devienne un carré. T2 2 X T1 2 T3 = 2(x2 - 10x + ?) -10x 2 X x2 2 T3 = -10x 2 X x 2 T3 = -10 2 T3 = 2 T3 = ( -5 ) = 25 2(x2 - 10x + 25) ; 2( x – 5 )2 Le trinôme est donc factorisé :