Fonction partie entière Résoudre l’équation Remarque : Tu devrais visionner la présentation : « Fonction partie entière, graphique et règle.ppt » avant de visionner celle-ci.

Un graphique permet de déterminer des valeurs de f(x) lorsqu’on connaît une valeur de x. Exemple : Dans le graphique ci-dessous, que vaut f(x) quand x vaut 2 500? Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 f(x) = 50 [ 0,001 x ] À la lecture du graphique, on peut constater que lorsque x = 2 500, f(x) = 100.

On peut calculer cette valeur en utilisant la règle. f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(2 500) = 50 [ 0,001 X 2 500 ] f(2 500) = 50 [ 2,5 ] f(2 500) = 50 X 2 la partie entière seulement f(2 500) = 100 Il s’agit donc, ici, d’effectuer un simple calcul.

Le graphique permet aussi de trouver les valeurs de x lorsqu’on connaît une valeur de f(x). Exemple : Dans le graphique ci-dessous, que vaut x quand f(x) vaut 200? Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 f(x) = 50 [ 0,001 x ] On peut constater que lorsque f(x) = 200, x est compris entre [ 4 000 , 5000 [.

On peut calculer cette valeur en utilisant la règle. f(x) = 50 [ 0,001 x ] Regardons de plus près comment résoudre ce type d’équation. 200 = 50 [ 0,001 x ] 50 50 4 = [ 0,001 x ] 4 ≤ 0,001 x < 5 0,001 0,001 4 000 ≤ x < 5 000 Retrouver les valeurs de x quand on connaît une valeur de f(x), c’est résoudre l’équation.

Résoudre l’équation : 200 = 50 [ 0,001 x ] 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). 200 = 50 [ 0,001 x ] 50 4 = [ 0,001 x ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur (ici 4), donc inférieure à l’entier supérieur (ici 5). donc 4 ≤ 0,001 x 0,001 x < 5 et 3) On obtient ainsi deux inéquations à résoudre : 4 ≤ 0,001 x 0,001 x < 5 4 000 ≤ x x < 5 000

Résoudre l’équation : 200 = 50 [ 0,001 x ] 4) En représentant ces deux inéquations sur une droite numérique : 4 000 ≤ x 4 000 5 000 … x < 5 000 et 4 000 5 000 … on sélectionne ce qui est commun aux deux inéquations (l’intersection). Réponse : [ 4 000 , 5 000 [

Remarque : 4 000 5 000 … Comme l’ensemble-solution est l’intersection de ces deux inéquations, on peut, pour résoudre cette équation, procéder comme suit : 4 ≤ 0,001 x 4 ≤ 0,001 x < 5 0,001 x < 5 0,001 0,001 4 000 ≤ x < 5 000 soit x [ 4 000 , 5 000 [

Pratique Résoudre l’équation suivante : 425 = - 25 [ x ] + 500 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). 425 = - 25 [ x ] + 500 - 500 - 75 = -25 [ x ] -25 3 = [ x ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur (ici 3), donc inférieure à l’entier supérieur (ici 4). donc 3 ≤ x < 4 ou x [ 3 , 4 [

Résous l’équation suivante : - 3 = - 2 [ x ] + 1 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). -3 = - 2 [ x ] + 1 - 1 - 4 = - 2 [ x ] - 2 2 = [ x ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur (ici 2), donc inférieure à l’entier supérieur (ici 3). donc 2 ≤ x < 3 ou x [ 2 , 3 [

Résous l’équation suivante : 3 = 3 [ 2 ( x – 2 ) ] Attention : Avant de commencer la résolution, il faut penser à distribuer le facteur b à l’intérieur de la parenthèse. 3 = 3 [ 2x – 4 ] 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). 3 = 3 [ 2x – 4 ] 3 1 = [ 2x – 4 ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure ou égale à l’entier inférieur (ici 1), donc inférieure à l’entier supérieur (ici 2). donc 1 ≤ 2x – 4 < 2 Attention : Il faut finir d’isoler x. + 4 + 4 5 ≤ 2x < 6 2 2 2,5 ≤ x < 3 ou x [ 2,5 ; 3 [

Résous l’équation suivante : 4,5 = [ 2 ( x + 2 ) ] + 0,5 4,5 = [ 2x + 4 ] + 0,5 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). 4 = [ 2x + 4 ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure à l’entier inférieur (ici 4), donc inférieure ou égale à l’entier supérieur (ici 5). donc 4 ≤ 2x + 4 < 5 - 4 - 4 0 ≤ 2x < 1 2 2 0 ≤ x < 0,5 ou x [ 0 ; 0,5 [

Résous l’équation suivante : - 5 = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] - 1 - 5 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 1 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). - 4 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 2 = [ - 0,5x – 0,5 ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure à l’entier inférieur (ici -2), donc inférieure ou égale à l’entier supérieur (-1). donc -2 ≤ -0,5x – 0,5 < -1 + 0,5 + 0,5 -1,5 ≤ -0,5x < - 0,5 Attention -0,5 -0,5 Diviser par une quantité négative inverse les signes d’inégalités. 3 ≥ x > 1 1 < x ≤ 3 ou x ] 1 , 3 ]

Résous l’équation suivante : 2 = 2 [ 1/3 ( x – 1 ) ] -2 2 = 2 [ 1/3x – 1/3 ] -2 1) Il faut isoler, en premier, l’expression « partie entière » (entre les crochets). 4 = 2 [ 1/3x – 1/3 ] 2 = [ 1/3x – 1/3 ] 2) L’expression « partie entière » (entre les crochets) doit être supérieure à l’entier inférieur (ici 2), donc inférieure ou égale à l’entier supérieur (ici 3). 2 ≤ 1/3x – 1/3 < 3 Écrire l’inéquation sur le même dénominateur, 6 ≤ 1x – 1 < 9 3 puis éliminer le dénominateur. 6 ≤ 1x – 1 < 9 + 1 + 1 7 ≤ x < 10 ou x [ 7 , 10 [

Pour déterminer les valeurs associées à une équation partie entière, on peut toujours utiliser le graphique, mais ce dernier n’est pas toujours le meilleur moyen. Procéder algébriquement en utilisant la règle de la fonction est souvent plus efficace.

Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 Exemple : f(x) = 50 [ 0,001 x ] Que vaut f(x) quand x vaut 3 500? Par le graphique : f(x) = 150 Par la règle : f(x) = 50 [ 0,001 x ] f(3 500) = 50 [ 0,001 X 3 500 ] f(3 500) = 50 [ 3,5 ] f(3 500) = 50 X 3 = 150 f(3 500) = 150

Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 Exemple : f(x) = 50 [ 0,001 x ] Que vaut x quand f(x) vaut 250? Par le graphique : x est compris entre [ 5 000 , 6 000 [ Par la règle : f(x) = 50 [ 0,001 x ] 250 = 50 [ 0,001 x ] 50 5 = [ 0,001 x ] 5 ≤ 0,001 x < 6 0,001 0,001 5 000 ≤ x < 6 000 x [ 5 000 , 6 000 [ $

Montant des ventes ($) Primes ($) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 Primes reçues en fonction des ventes effectuées. 50 100 150 200 250 Exemple : f(x) = 50 [ 0,001 x ] La règle permet de calculer d’autres valeurs qui ne sont pas représentées par le graphique. Que vaut f(x) quand x vaut 15 600? Que vaut x quand f(x) vaut 900?

f(x) = 50 [ 0,001 x ] Que vaut f(x) quand x vaut 15 600? f(15 600) = 50 [ 0,001 X 15 600 ] f(15 600) = 50 [ 15,6 ] f(15 600) = 50 X 15 = 750 $ Que vaut x quand f(x) vaut 900? 900 = 50 [ 0,001 x ] 18 = [ 0,001 x ] 18 ≤ 0,001 x < 19 18 000 ≤ x < 19 000 x est compris entre [ 18 000 , 19 000 [ $ x [ 18 000 , 19 000 [ $

Problème Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1, détermine l’ordonnée à l’origine. f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ( 0 + 1 ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ( 1 ) ] – 1 f(0) = 2 [ - 0,5 ] – 1 f(0) = 2 X -1 – 1 f(0) = -3

Problème Dans la fonction suivante f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4, détermine les zéros. f(x) = 2 [ - 0,5 ( x + 1 ) ] + 4 f(x) = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] + 4 0 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] + 4 - 4 = 2 [ - 0,5x – 0,5 ] - 2 = [ - 0,5x – 0,5 ] - 2 ≤ - 0,5x – 0,5 < -1 - 1,5 ≤ - 0,5x < - 0,5 3 ≥ x > 1 1 < x ≤ 3 ou f(x) = 0 pour x ] 1 , 3 ]

Problème Dans un centre de vacances, le nombre d’animateurs est déterminé par la fonction N définie par N(x) = 2 + où x représente le nombre d’enfants inscrits. x 18 A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien d’animateurs doit-on engager? B) Si 8 animateurs sont en poste, combien d’enfants peuvent fréquenter le centre? Variable indépendante (x) : le nombre d’enfants Variable dépendante (f(x)) : le nombre d’animateurs. Écrivons la fonction dans l’ordre habituel. x 18 N(x) = + 2

A) Si 76 enfants sont inscrits au centre, combien d’animateurs doit-on engager? x 18 N(x) = + 2 76 18 N(76) = + 2 N(76) = [ 4, 2 ] + 2 que la partie entière seulement. N(76) = 4 + 2 = 6 Réponse : 6 animateurs

B) Si 8 animateurs sont en poste, combien d’enfants peuvent fréquenter le centre? x 18 N(x) = + 2 x 18 8 = + 2 6 = x 18 6 ≤ x 18 < 7 108 ≤ x < 126 x [ 108 , 126 [ Réponse : Il pourrait y avoir entre 108 et 125 enfants. Remarque : Il faut savoir interpréter un calcul.