Formule des volumes des solides

Les bases et les faces latérales des solides délimitent un espace. Le calcul de cet espace s’appelle le volume. Exemple :

Volume d’un prisme Le volume d’un prisme s’obtient en multipliant l’aire d’une base par la hauteur du prisme. h largueur Longueur Volume prisme = Aire d’une base X hauteur Volume prisme = Aire base X hauteur

Volume prisme = Aire base X hauteur Volume = L X l X h largeur Volume = L l h Longueur Volume = n X c X a 2 X h h Volume = n c a X h 2 Volume = b X h 2 X h Attention h h Volume = b h X h 2 h Remarque : La hauteur d’un prisme est le segment joignant les deux faces parallèles.

Volume d’un cube c Toutes les arêtes du cube ayant la même mesure, la formule pour calculer son volume est très simple. Volume cube = c3

Exemple Calcule le volume de ce prisme. 3 cm 5 cm 4 cm Volume = L l h 60 cm3 Car, 3 dimensions : - longueur Volume = 4 X 5 X 3 = - largueur - hauteur

Exemple 5 m 7 m 15 m Calcule le volume de ce prisme. 2 Volume = n c a X h Volume = 6 X 5 X 7 2 X 15 Volume = 1 575 m3

Exemple 3 dm 4 dm 8 dm Calcule le volume de ce prisme. Volume = b X h 2 X H Volume = 4 X 3 2 X 8 Volume = 48 dm3 Remarque : Dans un triangle rectangle, les deux cathètes correspondent à la base et à la hauteur.

Exemple Calcule le volume de ce cube. 9 mm Volume cube = c3 Volume cube = 93 9 mm 9 mm Volume cube = 729 mm3

Volume d’une pyramide Le volume d’une pyramide s’obtient en multipliant l’aire de la base par la hauteur de la pyramide et en divisant par trois. À bases égales et à hauteurs égales, l’espace occupé par une pyramide est 3 fois plus petit que celui du prisme. Volume pyramide = Aire de la base X h 3 Volume pyramide = Aire base X h 3

Droite à base hexagonale Volume pyramide = Aire base X h 3 Droite à base carrée Volume pyramide = c2 h 3 Droite à base hexagonale Volume pyramide = nca 3 2 X h

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. 8 m Volume pyramide = Aire de la base X h 3 12 m 12 m Volume pyramide = 3 c2 h Volume pyramide = 12 X 12 X 8 = 384 m3 3

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. a b c 5 m La mesure de la hauteur est inconnue, donc il faut : 4 m ? 1) Déterminer le demi-côté : 3 m 3 m 6 m 2) Utiliser l’apothème : 5 m 6 m 3) Déterminer la hauteur : a2 = c2 - b2 a2 = 52 - 32 a2 = 16 a = 4 m

Exemple Calcule le volume de cette pyramide. 4 m 6 m Volume pyramide = Aire de la base X h 3 6 m Volume pyramide = 3 c2 h Volume pyramide = 6 X 6 X 4 = 48 m3 3

Exemple 4 m 5 m 7 m Calcule le volume de cette pyramide. Volume pyramide = nca 3 2 X h Volume pyramide = 6 X 5 X 4 X 7 2 3 Volume pyramide = 140 m3

Volume d’un cylindre du cylindre. par la hauteur Le volume d’un cylindre s’obtient en multipliant l’aire d’une base h Volume cylindre = π X r2 X h Volume cylindre = π r2 h

Calcule le volume de ce cylindre. Exemple 5 cm 10 cm Calcule le volume de ce cylindre. Volume cylindre = πr2h Volume cylindre = π X 52 X 10 Volume cylindre ≈ 785,4 cm3

Volume d’un cône Le volume d’un cône s’obtient en multipliant l’aire de la base par la hauteur du cône et en divisant par trois. À bases égales et à hauteurs égales, l’espace occupé par un cône est 3 fois plus petit que celui du cylindre. Volume cône = π X r2 X h 3 Volume cône = π r2 h 3

Exemple 9 m 12 m Calcule le volume de ce cône. Volume cône = π r2 h 3 Volume cône = π X 92 X 12 3 Volume cône ≈ 1 017,88 m3

Exemple 3 cm 5 cm Calcule le volume de ce cône. La mesure de la hauteur est inconnue, donc il faut : a b c 1) Utiliser le rayon : 3 cm et l’apothème : 5 cm 4 cm ? 2) Déterminer la hauteur : a2 = c2 - b2 a2 = 52 - 32 a2 = 25 - 9 a2 = 16 a = 4 cm

3 cm Calcule le volume de ce cône. 4 cm Volume cône = π r2 h 3 Volume cône = π X 32 X 4 3 Volume cône ≈ 37,7 cm3

Volume d’une boule Une boule est un solide régulier, sa formule est donc simple. Volume boule = 4 X π X r3 3 Volume boule = 4 π r3 3

Exemple Calcule le volume de cette boule. r = 5 dm Volume boule = 4 π r3 3 Volume boule = 4 X π X 53 3 Volume boule ≈ 523,6 dm3

Ces deux formules dépendent de la forme des bases. En résumé Volume d’un prisme = Aire base X h Volume d’une pyramide = Aire base X h 3 Ces deux formules dépendent de la forme des bases. π r2 h Volume d’un cylindre = Aire base X h = Volume d’un cône = Aire base X h 3 = π r2 h 3 4 π r3 3 Volume d’une boule = Volume du cube = c3