Introduction à l’algèbre

L’arithmétique est la partie des mathématiques qui effectue des calculs avec des nombres. Il existe donc beaucoup de calculs. L’algèbre est la partie des mathématiques qui effectue des calculs avec des nombres et des lettres. En utilisant des lettres, elle permet de généraliser les calculs et les situations. Elle est donc très utile.

A = L x l Exemple Calcule l’aire de ces rectangles. 5 8 40 4 7 28 2 3 6 2 10 20 3 X 2 = 6 7 x 4 = 28 8 X 5 = 40 10 X 2 = 20 Ces calculs sont arithmétiques. Calculer l’aire de ces rectangles se fait toujours de la même manière. On peut donc généraliser les calculs par : Longueur largeur Aire A = L x l Cette formule est algébrique. En utilisant des lettres, elle permet de généraliser la manière de calculer l’aire des rectangles.

L’algèbre est donc la partie des mathématiques servant à généraliser les situations. Pour ce faire, elle utilise : - des lettres; - des nombres; - des opérations mathématiques; - des LOIS; - des ÉQUATIONS. Examinons ce que cela veut dire !

= = Égalité et équation En arithmétique, on utilise beaucoup le signe . Le signe = signifie que l’on a la même quantité de chaque côté. Exemple : 3 + 5 = 8 On pourrait aussi écrire : 8 = 3 + 5 Comme les deux quantités sont égales de chaque côté du signe ( = ), on appelle cette expression : 3 + 5 = 8 une égalité. Voici quelques égalités : 3 + 5 = 8 3 + 5 = 8 x 1 8 x 1 = 4 x 2 4 x 2 = 16 ÷ 2 16 ÷ 2 = 3 + 5

En algèbre, on peut remplacer un nombre par une lettre. + 5 = 8 x Exemple : On pourrait aussi écrire : 8 = + 5 x Comme on retrouve une lettre, on appelle cette expression : + 5 = 8 x Une équation. x . Le travail consistera alors à trouver la valeur de Dans l’équation : + 5 = 8 x x = 3 En résumé : + 5 = 8 x est une équation; 3 + 5 = 8 est une égalité. Remarque : Dans les problèmes algébriques, l’objectif est donc de trouver la valeur de la lettre qui transformera l’équation en égalité.

Des lettres x x x Les deux lettres les plus utilisées sont et y . La lettre : La lettre joue plusieurs rôles en algèbre. x 1er rôle : Représenter une inconnue 2e rôle : Créer des relations 3e rôle : Représenter un ensemble de nombres Examinons ce que cela veut dire !

x x x inconnue, x solution x x 1er rôle : Représenter une inconnue Dans l’équation suivante : + 5 = 8 x Quelle est la valeur de ? x x inconnue, On ne connaît pas la valeur de c’est donc une mais on peut trouver cette valeur. Ici, = 3. x Ici, c’est assez facile ! 3 est donc la solution de cette équation. Il n’est pas toujours facile de trouver l’inconnue ! Exemple Dans l’équation : 44 = 2 ( - 5 )2 – 6 x quelle est la valeur de ? x Pour trouver la solution de cette équation, il faut connaître beaucoup de lois.

x x x x x x x x x Dans l’équation suivante : 2 = 8 2 = 8 x Quelle est la valeur de ? x Remarque : En algèbre, un nombre suivi d’une lettre signifie qu’ils se multiplient entre eux. x 2 signifie x 2 X X x 2 = 8, x Donc, dans quelle est la valeur de ? x Réponse : x = 4 C’est la solution. Remarque Fais attention, car et se ressemblent, mais n’ont pas la même signification. X est le symbole de la multiplication. x est le symbole pour représenter une inconnue.

x x x x x x x x x x = 8 2 Dans l’équation suivante : Quelle est la valeur de ? x Réponse : x = 16 C’est la solution. Dans chacun de ces problèmes, x n’a qu’une seule valeur. = 8 x 2 + 5 = 8 x 2 = 8 x = 3 x x = 4 x = 16

x : x 2e rôle : Créer des relations À l’aide des lettres, on peut établir des relations dans des situations particulières. Exemple : Un bureau de médecin offre 20,00$ de l’heure pour un emploi de secrétaire médicale. On aimerait trouver une équation permettant de calculer le salaire de la secrétaire. Dans cette équation, x : représentera le nombre d’heures travaillées et y : représentera le salaire de la secrétaire. Ici, on a besoin d’une autre lettre ( y ), car le salaire et les heures travaillées sont deux choses différentes. On peut donc écrire la relation suivante : Le salaire = 20 $/h X le nombre d’heures travaillées y = 20 $/h X x y = 20 x Cette équation signifie qu’il y a une relation entre le nombre d’heures travaillées et le salaire de la secrétaire .

x x x x x variables, x x x y : Il y a donc une relation entre et le salaire dépend du nombre d’heures travaillées. Construisons un tableau représentant le salaire en fonction des heures travaillées. x Heures travaillées : 1 20 2 40 3 60 4 80 5 100 6 120 7 140 8 160 Salaire ($) : y x = 20 En donnant des valeurs à , on peut calculer des valeurs pour y. x Ici, les deux lettres peuvent prendre plusieurs valeurs différentes. x Dans ce genre de situations, les lettres (ici, et y ) sont appelées des variables, car elles varient (elles prennent plusieurs valeurs) dans une même situation. x est appelée la variable indépendante : elle ne dépend d’aucune autre. y est appelée la variable dépendante : elle dépend des calculs effectués avec x . L’équation y = 20 permet de généraliser la façon de calculer le salaire. x

N x 3e rôle : Représenter un ensemble de nombres Exemple Dessinons un ovale. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Appelons-le N. Inscrivons une série de nombres à l’intérieur. Question : Peux-tu énumérer l’ensemble des nombres inscrits dans N ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Au lieu de les énumérer un par un, on pourrait écrire simplement : x N Les nombres qui nous intéressent appartiennent à l’ensemble N. Ce qui signifie : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. x N ici, représente x plusieurs valeurs. x N est une forme de langage qui permet aux mathématiciens de toute la planète de parler entre eux qu’ils soient Chinois, Allemands, Français, Anglais, etc. Ce langage permet aux mathématiciens de décrire avec quelques mots (des symboles) des situations parfois complexes. Ce langage permet donc de généraliser les situations. Voici quelques exemples : dom f = { x ( x , f(x) ) f(x) }. x [ a , b ] : f (x) > 0 x1 , x2 [ a , b ] : x1 < x2 f (x1) < f(x2) Il faut donc apprendre ce langage tout comme la langue française.

Conclusion Comme tu peux le constater, l’algèbre est utile pour représenter (généraliser) plusieurs sortes de situations. L’algèbre utilise plusieurs lois arithmétiques, mais elle possède aussi ses propres lois. Dans les prochaines présentations, nous allons découvrir ces procédés algébriques. Il est donc important que tu comprennes et que tu mémorises chaque nouvelle loi.