MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE Mathématiques SN MODULE 7 La fonction LOGARITHMIQUE

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Utilité du logarithme Sert à déterminer la valeur d’un exposant. Permet d’isoler « x » dans f(x) = cx . Exemple : Transformer les expressions exponentielles en expressions logarithmiques et vice-versa. a) 2x = 32 x = log2 32 x = 5 b) 5x = 125 x = log5 125 x = 3 c) x = log4 256 4x = 256 d) x = log3 81 3x = 81

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Définition et lois des LOG On sait que 3x = 27 x = log3 27 cx = y x = logc y donc Par conséquent : logc 1 = 0 (car c0 = 1) Ex.: log4 1 = 0 car 40 = 1 logc c = 1 (car c1 = c) Ex.: log4 4 = 1 car 41 = 4 En outre, lorsque la base « c » du logarithme est 10, on écrit log x au lieu de log10 x.

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Définition et lois des LOG Note : log3 x2 ≠ log3 2x log3 x2 = log3 (x • x) log3 2x = log3x • log3x car LOIS DES LOG  logc mn = logc m + logc n Ex.: log4 2x = log4 2 + log4 x m n x 3  logc = logc m – logc n Ex.: log4 = log4 x – log4 3  logc mn = n • logc m Ex.: log4 x2 = 2 log4 x log 8 log 4 log m log c  logc m = Ex.: log4 8 =

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Définition et lois des LOG Exemples : a) Simplifier log2 x2 – log2 x . x2 x log2 x2 – log2 x = log2 = log2 x log2 9 log2 3 b) Simplifier . log2 9 log2 3 log2 32 log2 3 2 log2 3 log2 3 = = = 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Définition et lois des LOG Exemples : c) Simplifier log6 2x4 + log6 3 . log6 2x4 + log6 3 = log6 (2x4 • 3) = log6 6x4 = log6 6 + log6 x4 = 1 + 4 log6 x

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique f(x) = logc x (forme générale de BASE) Exemple : f(x) = log2 x f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) Exemple : f(x) = 3 • log2 6(x – 1) + 5 x = h (Équation de l’asymptote)

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 x (forme générale de BASE où c  1 ) x f(x)  1 2 1 4 2 Asymptote x = 0 8 3 ½ -1 ¼ -2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log½ x (forme générale de BASE où c  ]0, 1[ ) x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = - log2 x (forme où c  1 et a = -1) x f(x)  Asymptote x = 0 1 2 -1 4 -2 8 -3 ½ 1 ¼ 2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 -x (forme où c  1 et b = -1) x f(x)  1  -1 -2 1 -4 2 Asymptote x = 0 -½ -1 -¼ -2

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = log2 (x + 4) (forme c  1 et h = -4) x f(x) -4  -3 -2 1 2 Asymptote x = - 4 4 3

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Équations et graphique 1 f(x) = a logcb(x – h) + k (forme générale TRANSFORMÉE) c  1 x = h (Équation de l’asymptote) Dom f = ] k , +∞ Ima f =  Asymptote x = h c  ] 0 ,1 [

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver le zéro de la fonction f(x) = log (- 4x + 13) . 1 0 = log (- 4x + 13) Il faut que - 4x + 13 > 0 donc que x < 13/4 100 = - 4x + 13 1 = - 4x + 13 12 = - 4x - 3 = x Asymptote x = 13/4 Réponse : x  { - 3 }

Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 . Exemple #2 : Trouver le zéro de f(x) = 3 log (4x – 3) + 1 . 0 = 3 log (4x – 3) + 1 Il faut que 4x – 3 > 0 donc que x > 3/4 - ⅓ = log (4x – 3) 10-⅓ = 4x – 3 0,464 = 4x – 3 3,464 = 4x 0,866 = x Réponse : x  { 0,866 }

Exemple #3 : Résoudre 2 log3 (2x + 10) = 6 . 2 log3 (2x + 10) = 6 Il faut que 2x + 10 > 0 donc que x > - 5 log3 (2x + 10) = 3 2x + 10 = 33 2x + 10 = 27 2x = 17 x = 8,5 Réponse : x  { 8,5 }

Résoudre log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 . Exemple #4 : Résoudre log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 . log3 (x + 36) – log3 (x – 18) = 1 Il faut que x + 36 > 0 et que x – 18 > 0 donc que x > - 36 et que x > 18 x + 36 x – 18 log3 = 1 x + 36 x – 18 = 31 x + 36 = 3 (x – 18) x + 36 = 3x – 54 90 = 2x 45 = x Réponse : x  { 45 }

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’équations EXPONENTIELLES 2 méthodes : 1- Exprimer les 2 membres de l’équation avec la même base exponentielle 2- Utiliser les logarithmes PROPRIÉTÉ IMPORTANTE DES LOG Si a = b , Ex.: Si 3 = 3 Alors log 3 = log 3 alors logc a = logc b

Exemple #1 : Résoudre 3x = 2x – 1 . 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 x • log 3 = (x – 1) • log 2 x • (0,477) = (x – 1) • (0,3) 0,477x = 0,3x – 0,3 0,177x = – 0,3 x = – 1,7 Réponse : x  { -1,7 }

Exemple #2 : Résoudre 42x – 3 = 5x . 42x – 3 = 5x log 42x – 3 = log 5x (2x – 3) • log 4 = x • log 5 (2x – 3) • (0,6) = x • (0,7) 1,2x – 1,8 = 0,7x 0,5x = 1,8 x = 3,6 Réponse : x  { 3,6 }

Exemple #3 : Résoudre 3x + 2 = 45x . 3x + 2 = 45x log 3x + 2 = log 45x (x + 2) • log 3 = 5x • log 4 (x + 2) • (0,477) = 5x • (0,6) 0,477x + 0,954 = 3x 0,954 = 2,523x 0,378 = x Réponse : x  { 0,378 }

Exemple #4 : Résoudre log5 (x – 9) = log5 (4x) . log5 (x – 9) = log5 (4x) x – 9 = 4x – 9 = 3x – 3 = x Réponse : x  { – 3 }

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’inéquations Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . 1 Asymptote x = - 4 Asymptote x = 6

Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . Exemple #1 : Résoudre log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 . log2 (x + 4) + 5  – log2 (x – 6) + 9 Il faut que x + 4 > 0 et que x – 6 > 0 donc que x > - 4 et que x > 6 log2 (x + 4) + log2 (x – 6)  9 – 5 log2 [ (x + 4) • (x – 6) ]  4 (x + 4) • (x – 6)  24 x2 – 2x – 24  16 x2 – 2x – 40  0 x1  – 5,40 x2  7,40 À rejeter Réponse : x  [ 7,40 , +

Exemple #2 : Résoudre (1/2)x + 3 ≤ 52x – 1 . log (1/2)x + 3 ≤ log 52x – 1 . (x + 3) • log (1/2) ≤ (2x – 1) • log 5 (x + 3) • (- 0,3) ≤ (2x – 1) • (0,7) - 0,3x – 0,9 ≤ 1,4x – 0,7 - 0,2 ≤ 1,7x - 0,12 ≤ x Réponse : x  [ - 0,12 , +

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Base naturelle « e » et logarithme naturel « ln » Il existe un nombre irrationnel (comme ) qui se nomme : e ≈ 2,7182818… C’est une constante mathématique très utilisée en science et que l’on retrouve dans de nombreuses modélisations de phénomènes naturels. Donc, lorsque ce nombre constitue la base d’un nombre exponentiel, on a que : ex = y x = loge y Cependant, lorsque la base « c » du logarithme est e, on écrit ln x au lieu de loge x. loge x = ln x

De plus, nous pouvons ln au lieu du log afin de résoudre des équations ou inéquations exponentielles. Exemple : Avec LOG Avec LN 3x = 2x – 1 3x = 2x – 1 log 3x = log 2x – 1 ln 3x = ln 2x – 1 x • log 3 = (x – 1) • log 2 x • ln 3 = (x – 1) • ln 2 x • (0,477) = (x – 1) • (0,3) x • (1,1) = (x – 1) • (0,7) 0,477x = 0,3x – 0,3 1,1x = 0,7x – 0,7 0,177x = – 0,3 0,4x = – 0,7 x = – 1,7 x = – 1,7 Réponse : x  { -1,7 } Réponse : x  { -1,7 }

Mathématiques SN - La fonction LOGARITHMIQUE - Résolutions d’une situation à l’aide des LOG Exemple : Une bactérie double toutes les 5 heures. S’il y avait 500 répliques de cette bactérie au départ, après combien de temps y en aura-t-il plus de 100 000 ? f(x) = 500 (2)x/5 100 000 = 500 (2)x/5 200 = (2)x/5 x 5 = log2 200 x 5 = 7,64 x = 38,2 Réponse : Après 38,2 heures.