Les OPÉRATIONS sur les fonctions Mathématiques SN Les OPÉRATIONS sur les fonctions

Mathématiques SN - OPÉRATIONS sur les fonctions - Tout comme les transformations géométriques, nous pouvons « combiner » plusieurs fonctions consécutives à l’intérieur d’une seule (appelé la « composée » dans les transformations géométriques). Opérations Soit deux fonctions f(x) et g(x) : (f + g) (x) = f(x) + g(x) (f – g) (x) = f(x) – g(x) (f • g) (x) = f(x) • g(x) f g f(x) g(x) (x) =

Exemple : Soit deux fonctions f(x) = 6x et g(x) = 2x + 1 . Déterminer la fonction résultante de : a) f + g Donc pour x = 3 dans f(x) + g(x) … (f + g) (x) = f(x) + g(x) f(3) + g(3) = 6(3) + (2(3) + 1) = 6x + (2x + 1) = 18 + (7) = 8x + 1 = 25 Avec la fonction résultante (f + g) (x) … (f + g) (3) = 8(3) + 1 = 25 b) f – g Donc pour x = 3 dans f(x) – g(x) … f(3) – g(3) = 6(3) – (2(3) + 1) (f – g) (x) = f(x) – g(x) = 6x – (2x + 1) = 18 – (7) = 6x – 2x – 1 = 11 = 4x – 1 Avec la fonction résultante (f – g) (x) … (f – g) (3) = 4(3) – 1 = 11

c) f • g Donc pour x = 3 dans f(x) • g(x) … (f • g) (x) = f(x) • g(x) f(3) • g(3) = 6(3) • (2(3) + 1) = 6x • (2x + 1) = 18 • (7) = 12x2 + 6x = 126 Avec la fonction résultante (f • g) (x) … (f • g) (3) = 12(3)2 + 6(3) = 108 + 18 = 126

d) f  g f g f(x) g(x) 6x 2x + 1 - 3 2x + 1 (x) = = = + 3 6x 2x + 1 - 3 2x + 1 – (6x + 3) 3 3 reste - 3 3 + - 3 Donc pour x = 3 dans f(x)  g(x) … f(3) g(3) 6(3) 2(3) + 1 18 7 = = Avec la fonction résultante (f  g) (x) … f g - 3 2(3) + 1 - 3 7 - 3 7 21 7 18 7 (3) = + 3 = + 3 = + =

Mathématiques SN - OPÉRATIONS sur les fonctions - Compositions Soit deux fonctions f(x) et g(x) : (f ○ g) (x) = f(x) ○ g(x) On « introduit » la fonction g dans la fonction f . = f ( g(x) ) c’est-à-dire… On remplace les « x » de la fonction f par la fonction g . Ce symbole se nomme « rond »

Exemple : Soit deux fonctions f(x) = 6x et g(x) = 2x + 1 . Déterminer : a) f ○ g (f ○ g) (x) = f(x) ○ g(x) = 6x ○ (2x + 1) = 6(2x + 1) = 12x + 6 b) g ○ f (g ○ f) (x) = g(x) ○ f(x) = (2x + 1) ○ 6x = 2(6x) + 1 = 12x + 1

Exemple : Soit deux fonctions f(x) = 6x et g(x) = 2x + 1 . Déterminer : c) (f ○ g) (3) (f ○ g) (3) = f(3) ○ g(3) OU (f ○ g) (x) = 12x + 6 = f ( g(3) ) (f ○ g) (3) = 12(3) + 6 = f ( 2(3) + 1 ) = 36 + 6 = f ( 7 ) = 42 = 6 ( 7 ) = 42

Exemple : Soit deux fonctions f(x) = 6x et g(x) = 2x + 1 . Déterminer : d) (g ○ f) (3) (g ○ f) (3) = g(3) ○ f(3) OU (g ○ f) (x) = 12x + 1 = g ( f(3) ) (g ○ f) (3) = 12(3) + 1 = g ( 6(3) ) = 36 + 1 = g ( 18 ) = 37 = 2 ( 18 ) + 1 = 37

Mathématiques SN - OPÉRATIONS sur les fonctions - Réciproque Exemple #1 : Soit la fonction f(x) = 3x + 2 . Trouver sa réciproque. f(x) = 3x + 2 On inverse le x et le f(x). x = 3 f-1(x) + 2 x – 2 = 3 f-1(x) Ensuite, on isole f-1(x). x – 2 3 = f-1(x) f-1(x) se nomme réciproque de f(x)

Exemple #2 : Soit la fonction f(x) = -x – 5 + 10 . Trouver sa réciproque. f(x) = - x – 5 + 10 x = - f-1(x) – 5 + 10 x – 10 = - f-1(x) – 5 (x – 10)2 = - f-1(x) – 5 (x – 10)2 + 5 = - f-1(x) - (x – 10)2 – 5 = f-1(x)