Résoudre une équation du 1er degré à une inconnue

Les équations du premier degré à une inconnue sont des équations dans lesquelles on ne retrouve qu’ une seule inconnue. = 8 a 2 Exemples + 5 = 8 x 2 = 8 x + 5 = 29 2x 4b = 51,2 = x 2 4x + 5 12 2s + 5 = 3s - 29 Dans chacune de ces équations, il n’y a qu’une inconnue. Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité.

Résoudre l’équation consiste donc à trouver la valeur de l’inconnue qui transformera l’équation en égalité. Exemples + 5 = 8 x ici, x = 3 3 + 5 = 8 Égalité. 8 = 8 4b = 51,2 ici, b = 12,8 4 X 12,8 = 51,2 Égalité. 51,2 = 51,2 = x 2 4x + 5 12 ici, x = 2,5 = 2,5 2 4 X 2,5 + 5 12 Égalité. 1,25 = 1,25 Certaines équations sont faciles à résoudre, d’autres sont plus difficiles, mais elles répondent toutes aux mêmes règles algébriques.

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut d’abord bien saisir les termes de l’équation. Exemples x + 3 = 8 Dans l’équation : on retrouve 3 termes. 15 - 7 = x + 6 Dans l’équation : on retrouve 4 termes. Chaque terme est séparé des autres par les signes d’addition ou de soustraction et le signe d’égalité.

x x x Exemples 2x = 8 Dans l’équation : on retrouve 2 termes. Remarque : 2x signifie 2 X x; Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme. 15 = 2 x Dans l’équation : on retrouve 2 termes. 2 x 2 1 x X Remarque : = Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme.

Exemple 16 = 2 x 3x + 8 3 5 Dans l’équation : on retrouve 3 termes. Remarque : 2 X 3x 3 7 = 6x 21 16 = 6x + 8 21 Lorsqu’un nombre est uni à une inconnue par le signe de multiplication, les deux ne forment alors qu’un seul terme.

Pour bien comprendre ces différentes règles, il faut aussi bien saisir ce qu’est une équation. Une balance est une image qui représente bien une égalité ou une équation. On peut déposer les quantités que l’on veut de chaque côté, mais les opérations doivent être équivalentes afin de garder l’équilibre de la balance. Exemples = 4x 28 x + 3 8 10 ÷ 2 2 + 3 2 X 6 12 3 + 5 4 X 2 Avec une égalité ou une équation, il faut donc toujours penser à garder l’équilibre, c’est-à-dire, garder les mêmes quantités de chaque côté.

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = 15 = 3 + 5 + 7 4 X 2

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = = 6 2 X 6 12 ÷ 2

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = = x 5 x + 3 8 - 3

On peut additionner, soustraire, multiplier ou diviser des quantités égales de chaque côté sans changer l’équilibre de la balance. = x 7 = 4 x 28 4 4 C’est le principe général pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Attention Une inconnue est complètement isolée quand : - le numérateur du coefficient est 1; 1 x 1 - le dénominateur du coefficient est 1; + 1 - son exposant est 1; - elle est positive. x On l’écrit alors simplement comme ceci :

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : + 3 = 8, x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, augmenté de 3, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diminuer l’expression + 3 = 8 x de 3. - 3 - 3 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation (la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que : x + 0 = 8 - 3 soit x = 5 Inconnue isolée. Validation : x + 3 = 8 5 + 3 = 8 Égalité.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : - 4 = 9, x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, diminué de 4, donne 9 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc augmenter l’expression - 4 = 9 x de 4. + 4 + 4 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation (la balance), on doit également additionner la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que : x + 0 = 9 + 4 soit x = 13 Inconnue isolée. Validation : x – 4 = 9 13 – 4 = 9 Égalité.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : = 8, 2x quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, multiplié par 2, donne 8 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc diviser le terme = 8 2x par 2. 2 2 Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation (la balance), on doit également diviser la même quantité de l’autre côté du signe égal. Il en résulte que : 2x = 8 2 soit x = 4 Inconnue isolée. Validation : 2x = 8 2 X 4 = 8 Égalité.

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Dans l’équation suivante : x = 30, 5 quelle est la valeur de ? x Cette équation signifie : quel est le nombre qui, divisé par 5, donne 30 ? Pour connaître ce nombre, il faut donc multiplier le terme x = 30 5 5 X X 5 par 5. Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation (la balance), on doit également multiplier la même quantité de l’autre côté du signe égal. x = 30 5 5 X X 5 Il en résulte que : soit x = 150 Inconnue isolée. x = 30 5 Validation : 150 = 30 5 Égalité.

x x x = 5 x = 13 x = 30 x = 4 x = 150 En résumé Pour isoler une inconnue dans une équation, deux situations peuvent se produire. 1) On peut soit annuler un terme qui accompagne le terme contenant l’inconnue. On le fait alors en utilisant les opérations : addition ou soustraction. + 3 = 8 x - 4 = 9 x - 3 + 4 x = 5 x = 13 2) On peut soit simplifier le terme contenant l’inconnue. On le fait alors en utilisant les opérations : multiplication ou division. = 8 2x x = 30 5 5 X X 5 2 x = 4 x = 150

x + 9 = 17 x - 9 = 17 x + 35 = 58 x = 8 x = 26 x = 23 x = 8 x = -10 Trouve la valeur de l’inconnue dans les équations suivantes. x + 9 = 17 - 9 x - 9 = 17 + 9 x + 35 = 58 - 35 x = 8 x = 26 x = 23 3x = 24 -2x = 20 1,5x = 4,5 3 -2 1,5 Ici, il faut diviser par -2, car x doit être positif. x = 8 x = -10 x = 3 Ici, il faut multiplier par -4, car x doit être positif. X 2 2 X x = 23 2 x 2,3 = 5,1 X -4 -4 X -x = 20 4 2,3 X X 2,3 x = 46 x = -80 x = 11,73

Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isoler cette inconnue afin d’en déterminer la valeur. Maintenant, vers l’infini et plus loin encore ! 2x + 6 = 24 Priorités d’exécution : 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue. 2x + 6 = 24 - 6 2x + 0 = 18 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2x = 18 2 x = 9 Validation : 2x + 6 = 24 2 X 9 + 6 = 24 Égalité. 24 = 24

x = 5 3x – 15 = 0 Priorités d’exécution : 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue. 3x – 15 = 0 + 15 3x + 0 = 15 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 3x = 15 3 x = 5 3x - 15 = 0 Validation : 3 X 5 - 15 = 0 Égalité. 0 = 0

5a + 18 = 3 Priorités d’exécution : 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue. 5a + 18 = 3 - 18 5a + 0 = -15 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 5a = -15 5 a = -3 Validation : 5a + 18 = 3 5 X -3 + 18 = 3 Égalité. 3 = 3

x = -3 -9x - 21 = 6 Priorités d’exécution : 1) On annule, en premier, le terme qui ne contient pas l’inconnue. -9x - 21 = 6 + 21 -9x + 0 = 27 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. Ici, il faut diviser par -9, car x doit être positif. -9x = 27 -9 x = -3 Validation : -9x - 21 = 6 -9 X -3 - 21 = 6 27 - 21 = 6 Égalité. 6 = 6

Certaines situations créent des équations dans lesquelles l’inconnue se retrouve de chaque côté du signe égal. Exemple : 7x = 4x + 12 Règles : 1) Le terme contenant l’inconnue doit se retrouver du même côté du signe =. 7x = 4x + 12 - 4x - 4x Ici, on n’isole pas l’inconnue; Pour ne pas changer l’équilibre de l’équation (la balance), on doit également soustraire la même quantité de l’autre côté du signe égal. 3x = 0 + 12 on annule le terme se trouvant de ce côté. 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 3x = 12 3 x = 4 Validation : 7x = 4x + 12 7 X 4 = 4 X 4 + 12 Égalité. 28 = 28

6x + 12 = 4x + 20 Règles : Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe égal et de l’autre côté, les termes qui ne contiennent pas l’inconnue. 6x + 12 = 4x + 20 - 4x 2x + 12 = 20 - 12 2x + 12 = 0 + 20 2x + 0 = 8 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 2x = 8 2 x = 4 Validation : 6x + 12 = 4x + 20 6 X 4 + 12 = 4 X 4 + 20 Égalité. 36 = 36

5x - 17 = x + 4 Règles : 1) Les termes contenant l’inconnue doivent se retrouver du même côté du signe = et de l’autre côté les termes qui ne contiennent pas l’inconnue. 5x - 17 = x + 4 - x 4x - 17 = 4 + 17 4x - 17 = 0 + 4 4x + 0 = 21 2) Lorsque le terme contenant l’inconnue se retrouve seul, on isole l’inconnue. 4x = 21 4 x = 5,25 Validation : 5x - 17 = x + 4 5 X 5,25 – 17 = 5,25 + 4 Égalité. 9,25 = 9,25

Remarque On peut regrouper les termes semblables d’un côté ou l’autre du signe =. Exemple On peut transférer le terme 10 à droite et le terme 5x à gauche. Ou transférer le terme 6 à gauche et le terme 3x à droite. 3x + 10 = 5x + 6 - 10 - 6 3x + 0 = 5x - 4 - 5x 3x + 4 = 5x + 0 - 3x -2x + 0 = 0 - 4 0 + 4 = 2x + 0 Terme négatif. Terme positif. Puis, isoler l’inconnue. Puis, isoler l’inconnue. -2x = - 4 4 = 2x -2 2 x = 2 2 = x Les deux démarches sont bonnes, puisqu’une équation est comme une balance.

Équation avec fractions 2x + 6 = 14 5 Exemple : Les équations avec fractions semblent les plus difficiles à résoudre. Cependant, en utilisant un procédé d’équivalence, on peut résoudre ces équations facilement. Voici la démarche : 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2x + 6 = 14 5 6 14 2x + 5 = 6 1 X 5 30 5 30 14 1 X 5 70 5 70 = = 5 = = 5 X 5 X 5 2x + 30 = 70 2) Enlever les dénominateurs. Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change pas l’équilibre de l’équation.

L’équation 2x + 30 = 70 est équivalente à l’équation 5 Preuve : 2x + 30 = 70 - 30 2x + 0 = 40 2x = 40 2 x = 20 20 20 Validation : 2x + 30 = 70 2x + 6 = 14 5 2 X + 30 = 70 2 X + 6 = 14 5 40 + 30 = 70 70 = 70 40 5 + 6 = 14 8 + 6 = 14 14 = 14 Les équations sont différentes, mais elles sont équivalentes, car la valeur de l’inconnue est la même.

Exemple 4 3 s - 2 5 = + 15 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 20 15 s - 6 = + 4 2) Enlever les dénominateurs. 20s – 6 = 15s + 4 Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change pas l’équilibre de l’équation. 3) Isoler l’inconnue. 20s - 6 = 15s + 4 - 15s 5s - 6 = 0 + 4 + 6 5s + 0 = 0 + 10 5s = 10 5 s = 2

Problèmes a 2 + 4 = 19 5 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 10a 20 + 5a = 95 4a 2) Enlever les dénominateurs. 10a + 5a + 4a = 95 Enlever la même quantité de chaque côté de l’équation, ne change pas l’équilibre de l’équation. 3) Isoler l’inconnue. 19a = 95 19 a = 5

3 (t – 5) = 2 (t + 2) Ici, il faut commencer par développer l’équation. Effectuer une simple distributivité. 3 X t – 3 X 5 = 2 X t + 2 X 2 Isoler l’inconnue. 3t – 15 = 2t + 4 - 2t + 15 t = 19

(7b + 2) 3 (6b - 5) 2 = 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. 2 (7b + 2) 6 3 (6b - 5) = Car, (7b + 2) 3 X 2 2 (7b + 2) Car, (6b - 5) 2 X 3 3 (6b - 5) = 6 = 6 X 2 X 3 2) Enlever les dénominateurs. 2(7b + 2) = 3(6b - 5) 3) Effectuer une simple distributivité. 14b + 4 = 18b - 15 4) Isoler l’inconnue. 14b + 4 = 18b - 15 - 14b + 15 19 = 4b 4 4,75 = b

(5x + 6) (2x + 1) + 4 = 3 2 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. (5x + 6) 3 X 2 2 (5x + 6) 4 1 X 6 24 (2x + 1) 2 X 3 3 (2x + 1) = 6 = 6 = 6 X 2 X 6 X 3 2 (5x + 6) 6 3 (2x + 1) = + 24 2) Enlever les dénominateurs. 2 (5x + 6) + 24 = 3 (2x + 1) 3) Effectuer une simple distributivité. 10x + 12 + 24 = 6x + 3 10x + 36 = 6x + 3 4) Isoler l’inconnue. 10x + 36 = 6x + 3 - 6x - 36 4x = -33 4 x = - 8,25

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre dans une formule. Dans la formule pour calculer l’aire d’un triangle, isole la base. A = B X H 2 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. A = B X H 2 A = 1 X 2 2A 2 X A = B X H 2 A = 2 X 2 2) Enlever les dénominateurs. 2 X A = B X H 2A = BH H 2A H = B 3) Isoler la base.

Les mêmes principes algébriques s’appliquent lorsque l’on veut isoler une lettre dans une formule. Dans la formule pour calculer la vitesse moyenne, isole la distance. Vitesse : Distance temps V D t = 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. V D t = V = 1 X t Vt V = t V t = D t X t 2) Enlever les dénominateurs. V t = D

En électricité, la résistance (R) est égale à la tension (U) divisée par l’intensité (I). R = U I Dans cette formule, isole I. 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. R = U I R = 1 X I I R I I R = U R = I X I 2) Enlever les dénominateurs. I R = U R 3) Isoler l’intensité. I = U R

Dans les formules calculant la circonférence et l’aire d’un cercle, isole le rayon. C = 2 π r A = π r2 2 π π C 2 π = r π A = r2 = r π A

Dans la formule pour trouver l’aire d’un trapèze, isole la grande base (B). A = (B + b) X h 2 1) Créer des termes équivalents ayant tous le même dénominateur. A = (B + b) X h 2 2) Enlever les dénominateurs. 2A = (B + b) X h 3) Isoler la grande base (B). 2A = (B + b) X h h 2A = B + b h ( ) Les parenthèses ne sont plus nécessaires. 2A - b = B + b h 2A h - b = B

Isole x dans cette formule. y = ax + b y = ax + b - b y – b = ax a y – b = x a

Remarque Il y a autant de façons d’écrire une formule qu’il y a de lettres qui la composent. Exemple : V D t = Si on cherche la vitesse. D = V t Si on cherche la distance. D t V = Si on cherche le temps. 3 variables, donc 3 façons différentes d’écrire la même formule. Il suffit d’isoler l’inconnue que l’on cherche.