Géométrie analytique Relations entre deux droites Remarque : Une droite est par définition illimitée dans les deux sens; pour les besoins des démonstrations effectuées dans cette présentation, nous utiliserons des portions de droites limitées dans les deux sens, c’est-à-dire des segments.

- parallèles et disjointes; Dans le plan cartésien, deux droites peuvent avoir, entre elles, différentes positions. 5 10 15 20 25 30 35 y x Elles peuvent être : - parallèles et disjointes; - parallèles et confondues; - sécantes; - sécantes perpendiculairement.

Droites parallèles et distinctes 5 10 15 20 25 30 35 A B C D y x Déterminons l’équation du segment AB : A (5 , 20) B (25 , 30) m (A , B) : x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 20 30 1 2 y = mx + b y = 0,5x + b avec le point (5, 20) 20 = 0,5 X 5 + b 20 = 2,5 + b 17,5 = b Équation : y = 0,5x + 17,5

Déterminons l’équation du segment DC : 5 10 15 20 25 30 35 A B C D y x Déterminons l’équation du segment DC : C (30 , 20) D (10 , 10) m (D , C) : x1 x2 - = y1 y2 10 30 - = 20 1 2 y = mx + b y = 0,5x + b avec le point (10 , 10) 10 = 0,5 X 10 + b 10 = 5 + b 5 = b Équation : y = 0,5x + 5

Droites parallèles et distinctes 5 10 15 20 25 30 35 A B C D y x Droites parallèles et distinctes - les pentes sont égales; m1 = m2 - les ordonnées à l’origine sont différentes. b1 ≠ b2 Équation du segment AB : Équation du segment DC : y1 = 0,5x + 17,5 donc y2 = 0,5x + 5 m1 = m2 b1 ≠ b2

Droites parallèles confondues Prenons les deux équations suivantes : y = - 2x + 5 10x + 5y – 25 = 0 et Ces deux droites représentent deux droites parallèles confondues. Pour mieux observer, écrivons les deux droites sous une même forme. y1 = - 2x + 5 10x + 5y – 25 = 0 5y = -10x + 25 y2 = -2x + 5 On constate que les deux équations ont les mêmes pentes : m1 = m2 et les mêmes ordonnées à l’origine : b1 = b2 Elles sont donc une par-dessus l’autre.

Déterminons l’équation de AB : Droites sécantes 5 10 15 20 25 30 35 A B C y x Déterminons l’équation de AB : Pente AB : 5 y = mx + b avec A (10 , 5) y = 5x + b 5 = 5 X 10 + b 5 = 50 + b - 45 = b Équation de AB : y = 5x - 45 Déterminons l’équation de BC : Pente BC : - 5 3 30 = + b - 75 3 y = mx + b 30 = - 25 + b avec B (15 , 30) y = x + b - 5 3 55 = b y = x + 55 - 5 3 30 = X 15 + b - 5 3 Équation de BC :

- les pentes sont différentes; 5 10 15 20 25 30 35 y x Droites sécantes - les pentes sont différentes; m1 ≠ m2 - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. y2 = x + 55 - 5 3 Équation de AB : y1 = 5x - 45 Équation de BC : m1 ≠ m2 b1 ≠ b2

Droites perpendiculaires 5 10 15 20 25 30 35 A B C D y x Deux droites perpendiculaires sont nécessairement sécantes; nous leur donnons un nom particulier du fait qu’elles se croisent selon un angle précis, c’est-à-dire un angle droit (900). Déterminons l’équation du segment AB : A (5 , 20) B (25 , 30) m (A , B) : x1 x2 - = y1 y2 5 25 - = 20 30 1 2 y = mx + b 20 = 5 + b 2 avec le point (5 , 20) y = x + b 1 2 20 = 2,5 + b 17, 5 = b 20 = X 5 + b 1 2 y = x + 17,5 1 2 Équation :

Déterminons l’équation du segment DC : 5 10 15 20 25 30 35 A B C D y x Déterminons l’équation du segment DC : D (10 , 30) C (20 , 10) x1 x2 - = y1 y2 m (D , C) : 10 20 - = 30 - 20 10 = - 2 y = mx + b y = - 2x + b avec le point (10 , 30) 50 = b 30 = - 2 X 10 + b Équation : y = - 2x + 50 30 = - 20 + b

Droites perpendiculaires 5 10 15 20 25 30 35 y x A B C D - les pentes sont inverses et opposées; m1 = - 1 m2 - les ordonnées à l’origine peuvent être différentes ou égales. Équation du AB : y1 = x + 5 1 2 Équation du DC : y2 = - 2x + 50 m1 = - 1 m2 b1 ≠ b2 Remarque : m1 = - 1 m2 peut aussi s’écrire : m1 X m2 = -1.

- parallèles disjointes : m1 = m2 En résumé 5 10 15 20 25 30 35 y x Droites : - parallèles disjointes : m1 = m2 b1 ≠ b2 - parallèles confondues : m1 = m2 b1 = b2 - Sécantes : m1 ≠ m2 - Perpendiculaires : m1 = - 1 m2 De ces quatre positions relatives entre des droites, deux sont particulièrement intéressantes, car elle nous permettent de déterminer certaines informations : - droites parallèles entre elles; - droites perpendiculaires entre elles.

Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point (4 , 3) et qui est parallèle à une autre droite d1 passant par les points (3 , 7) et (6 , 13) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 . m (P1 , P2) : x1 x2 - = y1 y2 3 6 - = 7 13 6 3 = P1 (3 , 7) P2 (6 , 13) 2 Remarque : Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 . La droite d2 est parallèle à la droite d1 , donc elle a la même pente. y = mx + b y = 2x + b avec le point (4 , 3) 3 = 2 X 4 + b 3 = 8 + b -5 = b Équation : y = 2x - 5

Problème Quelle est l’équation d’une droite d2 passant par le point (10 , 41) et qui est perpendiculaire à une autre droite d1 passant par les points (2 , 15) et (6 , 31) ? Étape 1 : Calculer la pente de la droite d1 . m (P1 , P2) : x1 x2 - = y1 y2 2 6 - = 15 31 16 4 = P1 (2 , 15) P2 (6 , 31) 4 Remarque : Il n’est pas nécessaire de déterminer l’équation de d1 . Étape 2 : Déterminer l’équation de la droite d2 . La droite d2 est perpendiculaire à la droite d1 , donc sa pente est inverse et opposée : - 1 4 y = mx + b 41 = 0 + b - 1 4 y = x + b avec le point (10 , 41) - 1 4 41 = - 2,5 + b 43,5 = b 41 = X 10 + b - 1 4 Équation : y = x + 43,5 - 1 4