Extraction Automatique de formes complexes : Application à la création de modèle anatomique de la tête J. Piovano, T. Papadopoulo Séminaire Odyssee 9, 10, 11 Mai 2005 Jérôme Piovano Projet Odyssee Mardi 10 Mai 2004

Motivations (1) Observation de l’activité cérébrale grâce à l’imagerie fonctionnelle Imagerie à résonance magnétique fonctionnelle (IRMf) Magneto/Electro encéphalographie (MEG/EEG) Besoins de modèles géométriques des structures du cerveau Interface de la peau, du crâne, du cortex, de structure sub-corticales d’intérêts …

Motivation (2) IRM fonctionnelle MEG/EEG Projection des cartes d’activation sur la surface du cortex MEG/EEG Modélisation de la conductivité de la tête pour le problème direct et inverse

Segmentation(1) Méthode des ensemble de niveaux Équation d’évolution : Interface représentée par le niveau 0 d’une «fonction distance» f de dimension supérieure Équation d’évolution :  = 1 : grass fire  = H : mean curvature motion  = H + f(I – I0) : signed pressure force EDP à résoudre Différents schémas numériques possibles (algorithmes par bande, Fast Marching) t + | r  | = 0

Segmentation(2) Inconvénients critère d’arrêt difficile à trouver Pas d’évolution fixe Si le pas trop grand, le niveau 0 sortira de la bande … Réinitialisations périodiques de la fonction distance nécessaires Nombreux effets de bords le plus souvent ignorés Schéma classiques par différences finies limités Possibilité d’amélioration dans le domaine du calcul scientifique, notamment grâce à la méthode des éléments finis

Méthode des Éléments Finis (1) On cherche à résoudre une équation A(u) = 0 On approxime la solution u de l’EDP par une solution û choisie dans un espace de fonctions continues de dimension finie, tel que: Formulation faible On va utiliser un théorème d’analyse fonctionnelle pour reformuler le problème Détermination du système d’équations à résoudre û étant représenté par n valeurs ui , i = 1..n, il nous faut alors choisir n fonctions « w » pour obtenir un système d’équations de n équations a n inconnues, que l’on peut résoudre par une descente de gradient. Système à résoudre : Méthode de Galerkin : prendre les fonctions de bases (d’interpolation) pour les wi

Méthode des Éléments Finis (2) Differents éléments possibles, entrainant des patitions de l’espace differentes (maillage)

Méthode des Éléments Finis (3) Application de la méthode des éléments finis au calcul d’ensemble de niveaux 2D Maillage simplexe 2D anisotrope Maillage simplexe 2D isotrope Maillage quadrangulaire 2D Application aux ensemble de niveaux 3D Maillage tétraédrique 3D : Difficulté de partitionnement de espace Anisotropie que l’on ne peut corriger Maillage hexaédrique 3D

Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis Modélisation Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis Soit u l’approximation de la fonction distance  par élément finis u définie par 2 facteurs : Espacement constant entre ses différents niveaux : équation Eikonale Vitesse d’évolution Résolution de ces 2 équations simultanément par la méthode des éléments finis (rxu)2 - 1 = 0 ut -  = 0

Algorithmique Application sur un maillage 2D quadrangulaire puis 3D hexaédrique pour faciliter le partitionnement de l’espace. Représentation de la fonction distance par un maillage en forme de «bande » au voisinage du niveau 0. Dynamique d’évolution en ajoutant/supprimant des éléments au maillage.

Avantages Le calcul du système d’équations a résoudre se limite a faire un parcours sur les éléments d’un maillage. Propriétés du calcul de dérivée par élément fini (transformation d’intégrale par théorème de Green) La bande contenant l’interface est mise a jour dynamiquement, et peut avoir une taille effective de 1. Relativement simple a mettre en oeuvre Plus stable que les schemas numériques par difference finies Pas de réinitialisation de bande, et cout mémoire diminué

Application Segmentation d’IRMs T1 en utilisant la « signed pressure force » sur un maillage hexaédrique pour la création de modèles de la tête Segmentation basée région pour la recherche dynamique des différentes intensités de tissus (nécessite d’un seuillage pour stopper l’évolution du Level Set) Segmentation par apprentissage de forme du crâne dans des IRMs T2

Questions ???