Mathématiques Appliquées Réalisé par: Missaoui Ilham

Plan 1/ Systèmes de numérations 2/ Algèbres de Boole 3/ Dénombrement 4/ Probabilités 5/ Statistiques

1. Système de numérations

Introduction Toutes l’information qui circule dans un ordinateur est représentée par des nombres binaire Le codage permet d’établir la relation entre la représentation externe et la représentation binaire Exemple de codage : ASCII La lettre A est représentée par le nombre : (101)8

Introduction Les nombres, Les lettres, Les images, Le son, … Exemples d’information: Les nombres, Les lettres, Les images, Le son, …

Systèmes de numérations Définition La numération est une science qui traite de la dénomination et de la représentation graphique des nombres. Exp : 10, 22, 100101,… La représentation des nombres se fait chiffre par chiffre, la valeur du chiffre dépend de la valeur de la base et de la position du chiffre

Systèmes de numérations 5 8 3 B = La Base a b c 5x102 3x100 8x101 bxB1 cxB0 axB2 Généralement : Soit une base B (avec B Є IN ) et x Є IN Alors la x= ( an,an-1 ,…,a1, a0 )B Avec an,an-1 ,…,a1, a0 a-1,…, a-p Є IN et an,an-1 ,…,a1, a0 , a-1,…, a-p <B Et (x)B = an * Bn +an-1 * Bn-1 +…+a1 *B1 +a0 * B0 + a-1 * B-1 +…+ a-p * B-p

Systèmes de numérations Remarques: En électronique numérique, les systèmes les plus utilisés sont : - le système binaire - le système octal - le système hexadécimal

Systèmes de numérations Système décimale Dans le système décimale la valeur de la base est 10 Les éléments de la base sont (0,1,2,3,…,9) Exemple: 2012= 2*1000 + 0*100 + 1 * 10 + 2* 1 17,205 = 1 × 101 + 7 × 100 + 2 × 10-1 + 0 × 10-2 + 5 × 10-3 103 102 101 100

Systèmes de numérations Système binaire Dans le système binaire la valeur de la base est 2 Les éléments de la base sont (0,1) Exemple: (1011) 2 = 1* 23 + 0* 22 + 1 * 21 + 1* 20 = (11)10

Systèmes de numérations Système binaire Toute communication à l'intérieur de l'ordinateur est faite avec des signaux électriques Pour la simplicité et fiabilité, ces signaux ont deux états seulement : 0éteint (absence de signal électrique) 1allumé (présence de signal électrique) Une unité d'information (0 ou 1) est appelée bit (de l'anglais binary digit)

Systèmes de numérations Système octal Dans le système octal la valeur de la base est 8 Les éléments de la base sont (0,1,…,7) Exemple: (700)8 = 7* 82 + 0* 81 + 0 * 80 = (448)10

Systèmes de numérations Système hexadécimal Dans le système hexadécimal la valeur de la base est 16 Les éléments de la base sont (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F) Exemple: (5AF) 2 = 5* 162 + 10 * 161 + 15* 160 = (1455)10

Systèmes de numérations Représentation binaire: Dans un système binaire avec une capacité de n bits on peut coder jusqu’à 2n nombres Le plus grand nombre étant 2n -1 Exemple : Soit un système binaire avec une capacité n=5  on peut coder 25 (=32) nombres Le plus grand nombre étant : 31 dont la représentation est: (11111)2

Systèmes de numérations Représentation binaire:

Résumé BASE 10 BASE 2 BASE 8 BASE 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Résumé BASE 10 BASE 2 BASE 8 BASE 16 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 16 E 1111 17 F 10000 20

Systèmes de numérations Exercice: 1) Ecrire les nombres suivant dans les bases indiquées (2)10 = (?) 2 (8)10 = (?) 8 (16)10 = (?) 16 (45)10 =(?)2 (260)10 = (?)8 (1234)10 = (?)16 (523)10 = (?)2 (346)10 = (?)8 2) Ecrire les nombres suivant dans la base décimale: (10110)2 , (1100)2 , (110)2 , (102)8 , (701)8 ,(11F)16 , (200A)16

Correction de l’exercice

Systèmes de numérations Conversion d’une base décimale vers une base binaire: 13 2 1 6 3 Sens de lecture (13)10=(1101)2

Systèmes de numérations Conversion d’une base décimale vers une base octale: 13 8 5 1 (13)10 =(15)8

Systèmes de numérations Conversion d’une base décimale vers une base hexadécimale: 173 16 13 10 (173) 10=(AD) 16

Systèmes de numérations Conversion d’une base binaire vers une base octale ou hexadécimale: 1. BinaireOctale Grouper les bits par blocs de 3 à partir du bit de poids faible Convertir ensuite directement ces blocs en octal Exemple : ( 110 101 110 001,001 111)2 = (6561,17)8

Systèmes de numérations 2. Binaire hexadécimale Grouper les bits par blocs de 4 à partir du bit de poids faible Convertir ensuite directement ces blocs en hexadécimal Exemple : ( 1101 0111 0001)2 = (D71)16 D 7 1

Systèmes de numérations Conversion d’une base octale ou hexadécimale vers une base binaire: 1. OctaleBinaire 2. HexadécimaleBinaire Traduire chaque chiffre du nombre en base 8 en nombre de 3 bits en base 2 Exemple : (3157)8 = ( 011 001 101 111 )2 3 1 5 7 Traduire chaque chiffre du nombre en base 16 en nombre de 4 bits en base 2 Exemple : (BC34)16 = ( 1011 1100 0011 0100 )2 B C 3 4

Systèmes de numérations Conversion d’une partie fractionnaire de la base 10 vers une base B Multiplier la partie fractionnaire du nombre à convertir par la base B Soustraire et Conserver sa partie entière Répéter le processus à partir de la nouvelle partie fractionnaire obtenu Arrêter lorsque la précision désirée est atteinte Exemple : (0,75)10 = ( ? )2 0,75  2 = 1,5 (on garde 1 et reste 0,5) 0,5  2 = 1,0 (on garde 1 et reste 0 : terminé) (0,75)10 = 1  2-1 + 1  2-2 = (0,11)2

Systèmes de numérations Exemple2 (0,65)10 = ( ? )2 0,65  2 = 1,3 on garde 1, reste 0,3 0,3  2 = 0,6 on garde 0, reste 0,6 0,6  2 = 1,2 on garde 1, reste 0,2 0,2  2 = 0,4 on garde 0, reste 0,4 0,4  2 = 0,8 on garde 0, reste 0,8 0,8  2 = 1,6 on garde 1, reste 0,6 …. (0,65)10 = (0,101001)2

Exercices

Les Opérations arithmétiques Système de numération La prochaine séance les opérations arithmétiques Les Opérations arithmétiques

La capacité en mémoire Bites : c’est l’unité élémentaire d’information qui prend deux valeurs 0 ou 1 Octet : c’est un nombre de huit bits « byte en anglais ». On exprime généralement la capacité mémoire d’ordinateur en kilo-octet (Ko) « Kilo-octet » 1Ko = 1 024 Octets = 210 octets « Mega-octet » 1Mo = 1024 Ko = 210 Ko =210 x 210 octets = 220 octets « Giga-octet » 1Go = 1024 Mo = 210 x 220 Octets = 230 Octets « Téra-octet » 1To = 1024 Go = 210 x 230 Octets = 240 Octets

Exercice Convertir les capacités suivantes en octet: Correction 256 Mo , 8Ko, 2Go Correction 256 Mo= Ko 8Ko= To 2Go=

Les opérations arithmétiques L’addition On procède comme en décimal. Quand le résultat de la somme d'une colonne est supérieure à 1 (utilise plus de 1 bit), on passe ce bit au voisin de gauche. Exemple

Les opérations arithmétiques La soustraction Dans la soustraction binaire, on peut procéder comme en décimal : Quand la quantité à soustraire est supérieure à la quantité dont on soustrait, on « emprunte » 1 au voisin de gauche. En binaire, le « 1 » emprunté va ajouter « 2 » à la quantité dont on soustrait, tandis qu'en décimal il ajoute « 10 ». Exemple

Les opérations arithmétiques La multiplication Dans la multiplication binaire, on procède comme en décimal. Exemple

Les opérations arithmétiques La division La division binaire s'effectue à l'aide de soustractions et de décalages, comme la division décimale, sauf que les digits du quotient ne peuvent être que 1 ou 0. Le bit du quotient est 1 si on peut soustraire le diviseur, sinon il est 0. Exemple

Exercice Réaliser les additions suivantes: 1100 + 0011; 1111 + 0101; 10101010 + 00110011; 11001101 + 11100011 Réaliser les soustractions suivantes: 1111 – 0101; 1100 – 0011; 10101010 – 00110011; 11001101 - 01100011 Réaliser les multiplications suivantes: 00001100*00000010 00010101*00000100 10101000*00000110 Réaliser les divisions suivantes: 11000000/10 11001100/1000 110101/111

Représentation des nombres signés Le binaire signé Un entier relatif est un entier pouvant être négatif. Il faut donc coder le nombre de telle façon que l'on puisse savoir s'il s'agit d'un nombre positif ou d'un nombre négatif, et il faut de plus que les règles d'addition soient conservées. 1. La représentation signé-valeur: Le signe d’un nombre est modélisé par le bit le plus fort Le bit 0  positif et le bit 1  négatif

Représentation des nombres signés Le binaire signé 1. La représentation signé-valeur: Binaire 4 Bits Décimal 0111 + 7 0110 + 6 0101 + 5 0100 + 4 0011 + 3 0010 + 2 0001 + 1 0000 + 0 1000 - 0 1001 - 1 1010 - 2 1011 - 3 1100 - 4 1101 - 5 1110 - 6 1111 - 7

Représentation des nombres signés Le binaire signé 1. La représentation signé-valeur: Inconvénients 2 zéro

Représentation des nombres signés Complément à 1: 12 est nombre codé sur 4 bits, le 5ème bit est un bit de signe (le bit de poids fort) 0  positif 1  négatif (12) =(01100)2 -(12)=(10011)2

Représentation des nombres signés Complément à 2: Cette méthode est la seule utilisable mathématiquement, Elle permet une utilisation des nombres signés avec une représentation unique du zéro et la possibilité d'effectuer des calculs. Exemple: (17)10=(010001)2 -17= C2 (17) =C1 (010001) + 1= 101110+1=101111 Calculez l’opération suivante : 3-4 en binaire

Le dépassement en capacité 1. Retenue externe en binaire pur. 1000 0000 1000 0001 1 0000 0001 128 +129 257 Retenue Externe 1 CF = 1 FAUX : pacque ça dépasse les 8 bits CF : Carry Flat

Le dépassement en capacité 2. Débordement en Complément à deux Retenue interne une retenue interne : du bit bn-2 vers bn-1 Exemple: Retenue externe retenue externe du bit bn-1 vers CF sans interne de bn-2 vers bn-1. 64  0100 0000 +65  +0100 0001 129 CF=0 1000 0001 = -129 - 64 - 65 - 129 1100 0000 + 1011 1111 CF = 1 0111 1111

Le dépassement en capacité Le débordement est un dépassement de capacité en complément à 2. Il est signalé par un bit spéciale appelé OF « Over Flat ».

Etude de quelques codes

Code Gray Le système binaire naturel n’est pas accommodé à l’électrique Le code GRAY pallie efficacement à l'un des plus gros problèmes de l'électronique : la non-simultanéité. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Miroire1 avec pas de 1 Miroire1 avec pas de 2

Code DBC Le code DCB (Décimal Codé Binaire) est une méthode de représentation du code décimal en binaire. Il est pratiquement exclusivement utilisé dans l'affichage des données en provenance d'instruments de mesures. Ainsi, le codage se fait par décomposition en polynômes du nombre décimal, puis par traduction des coefficients de ce polynôme en binaire. Exemple: (1024)10 = (0001000000100100)BCD

Algèbre de Boole

Introduction De nombreux dispositifs électronique, électromécanique, (mécanique, électrique, pneumatique, etc...) fonctionnement en TOUT ou RIEN. Ceci sous-entend qu’ils peuvent prendre 2 états. Exemple : · arrêt marche · ouvert fermé · enclenché déclenché · avant arrière · vrai faux · conduction blocage Utilisation de 2 variables ne possédant que deux valeurs mathématique (0 ou 1)  Système binaire

Quelques notions Variable logique ou variable binaire Fonction logique La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs qui sont repérées habituellement 0 ou 1. Cette variable binaire se note par une lettre comme en algèbre. Fonction logique Une fonction logique est le résultat de la combinaison d'une ou plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations mathématiques Booléennes bien définies. La valeur résultante de cette fonction ne peut être que 0 ou 1. Une fonction logique possède donc une ou des variables logiques d'entrée et une variable logique de sortie.

Quelques notions Table de vérité Table de correspondance entre les variables binaires traitées par une fonction logique et le résultat de la fonction logique. Exemple de fonction logique : la fonction interrupteur I est la valeur de l'interrupteur, 1 pour ouvert, 0 pour fermé. L est l'état de la lampe située après l'interrupteur. I L 1

Quelques notions Exemple2: La salle a deux fenêtres, protégés par des volets. Elle n'est éclairée que lorsqu'au moins une fenêtre est ouverte. a représente l'ouverture de la première fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). b représente l'ouverture de la deuxième fenêtre (0 pour fermée, 1 pour éclairée). S représente l'éclairage de la salle (0 pour non éclairée, 1 pour éclairée). La table de vérité est : a b S 1

Quelques notions La forme canonique On reprend la table de l’exemple précédent Donc S peut s’écrire de la manière suivante: _ _ S=a.b+a.b+a.b Cette écriture est appelée forme canonique a b S 1 S=1 si a=1 et b=1 ou a=1 et b=0 ou a=0 et b=1

Les fonctions logiques fondamentales La fonction Non Son symbole: a F a F 1 _ F= a

Les fonctions logiques fondamentales La fonction OU (Or) Ou encore : X = a b ==> disjonction : a ou b (ou les deux) Son symbole: a F b a b F 1 F=a+b

Les fonctions logiques fondamentales La fonction OU (Or) Ou encore : X = ab ==> conjonction: a et b (ou les deux) Son symbole: a F b a b F 1 F=a.b

Simplification des fonctions logiques Deux méthodes pour simplifier l'écriture d'une fonction logique Utiliser les propriétés de l'algèbre de Boole Utiliser la méthode des tableaux de Karnaugh

Les Lois d’algèbre de Boole Pour simplifier des circuits logiques, on a besoin de connaître les lois de Boole. Pour trouver ces lois on utilise les tables de vérité des opérateurs ET, OU, NON l’identité  1.A=A & 0+A=A Nullité  0.A=0 & 1+A=1 Associativité  (A.B).C=A.(B.C) & (A+B)+C=A+(B+C) Commutativité  A.B=B.A & B+A=A+B Distributivité  A.(B+C)=A.B+A.C Idempotence A.A=A & A+A=A Inversion A. A = 0 A+A =1 Absorption A.(A+B)=A & A+A.B=A Loi de Morgan (A.B)= A + B & (A+B) = A.B

Tableau de Karnaugh La méthode du tableau de Karnaugh va nous permettre d'effectuer des simplifications beaucoup plus rapidement sans avoir à écrire de longues équations. C'est un tableau de 2n cases, n étant le nombre de variables. Sur les lignes et colonnes, on place l'état des variables d'entrée codées en binaire réfléchi (code Gray)

Tableau de Karnaugh Exemple : a b F 1 1 b\a 0 1 1 1 2

Tableau de Karnaugh Lecture du tableau: Le premier cadre: a=0 et b prend deux valeurs (0 ou 1)  on garde a Le deuxième cadre: b=0 et a prend deux valeurs (0 ou 1)  On garde b Le résultat de la simplification et la disjonction des termes trouvés Le résultat est donc f(a,b) = a+b

Tableau de Karnaugh Exemple 2: a b c F 1

Tableau de Karnaugh c\ab 0 0 01 11 10 1 1