Le gaz ionisé Chapitre 3 Le gaz ionisé dans le MIS est produit par le rayonnement UV des étoiles chaudes (hn > 13.6 éV), par des chocs, des rayons-x ou des particules chargées énergétiques. Nous distinguerons dans ce chapitre les régions HII et le gaz interstellaire diffus et chaud.

Plan… 3.1 Les régions HII 3.1.1 Les étoiles qui les génèrent 3.1.2 Mécanisme d’ionisation de la nébuleuse 3.1.3 Degré d’ionisation 3.1.4 Taille d’une région HII 3.1.5 Bilan énergétique/température d’une région HII 3.1.6 Émission continue L’émission libre-lié L’émission libre-libre

Chapitre 3.1 Les régions HII 3.1.1 Les étoiles qui les génèrent Autour d'une étoile chaude, Il y a une région de gaz photoionisée qu’on appelle: région HII. Il s’agit de grandes nébuleuses brillantes visibles en optique dans le continu (radiation libre-libre), dans des raies de recombinaison radio ou optiques telle, Hal6562Å (1.9 éV) et dans les raies de structure fine. On les retrouve à proximité d'étoiles jeunes et massives (par exemple, la nébuleuse d'Orion, M42).

Chapitre 3.1 Les régions HII -- Orion

Chapitre 3.1.1 Les étoiles qui les génèrent La forme, la taille et la luminosité d’une région HII dépendent du type de l'étoile excitatrice et de la densité du milieu environnant. Bien qu’il soit rare qu’elles aient une forme sphérique nous le supposerons quand même…en première approximation, La figure ci-contre présente le nombre de photons Lyman du continu, NLyman, émis par seconde pour des étoiles de différents types spectraux (ou température effective).

Chapitre 3.1.1 Les étoiles qui les génèrent Si on appelle, fLyc, la fraction de l'énergie totale de l'étoile émise à n>3.2x1015 Hz (=912Å) : Par exemple, on trouve que pour les étoiles plus tardives que B0, fLyc < 0.1. Les régions HII sont bornées soit: par l'ionisation: tous les photons Lyc sont absorbés par le gaz proche ou par la densité: la masse de gaz qui entoure l'étoile est inférieure à celle qu'elle peut ioniser, donc des photons Lyc s'échappent.

Chapitre 3.1.2 Mécanisme d’ionisation de la nébuleuse Voyons de quelle façon une étoile affecte son milieu environnant: Des photons au-dessus de la limite de Lyman sont émis et la plupart des atomes d‘H dans le gaz qui entoure l‘ étoile sont dans l’état fondamental. Lorsqu’un photon d’énergie (Ee=hn) > (IH =13.6 éV) ionise un atome d’H libérant un électron, l'énergie de ce dernier sera Ee= hn - IH. Cet électron, selon son énergie, a une probabilité plus ou moins grande de se recombiner avec un ion ou de se "thermaliser". Quelle est l'énergie moyenne d'un électron qui vient d’être arraché à son atome d’hydrogène (photo-électron)?

Chapitre 3.1.2 Mécanisme d’ionisation de la nébuleuse Appelons S(n) le nombre de photons émis par seconde et par intervalle de fréquence pour une étoile de rayon R* . Le nombre de photons capable d’ioniser l‘H est : où nous utilisons un fonction de Planck pour décrire S(n) : L’énergie moyenne des photo-électrons sera :

Chapitre 3.1.2 Mécanisme d’ionisation de la nébuleuse Or, on peut montrer, qu’en faisant l'approximation que hn >> kTeff ,(valide à ces énergies), on trouve que : Pour une étoile B5 (voir la figure ci-dessus) on a Teff = 15500 K, <Ee>=1.3 éV et pour une étoile O5, on a Teff = 40000 K,  <Eé> = 3.2 eV. À ces énergies, l'électron ne peut que se "thermaliser", la probabilité de recombinaison étant des ordres de grandeur plus faible que celle des collisions avec les électrons "thermiques". Le photoélectron cède ainsi une partie de son énergie au gaz d'électrons, jusqu'à ce que son énergie soit suffisamment faible pour que la probabilité de recombinaison soit grande. Il libère alors un photon dit de recombinaison, d'énergie s'il se recombine sur le niveau n, avec une énergie de départ Te.

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation On voit que les photons de recombinaison issus d'une recombinaison sur le fondamental ont une énergie: Ce sont donc des photons ionisants, au même titre que les photons stellaires. La température Te introduite ici est la température cinétique qui caractérise la distribution de vitesse des électrons d'une région HII. 3.1.3 Degré d'ionisation Avec les notations introduites ci-dessus, le nombre de photons ionisants f(r) qui traversent par seconde l'unité de surface d'une sphère de rayon r centrée sur l'étoile, détermine le nombre d'ionisations par seconde dans l'élément de volume unité, dues aux photons stellaires:

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation où sI est la section efficace de photoionisation de HI (sI ≈ 6 x 10-18 cm2 à 912 Å (a n -3)). Le nombre de recombinaisons par seconde, dans le même élément de volume s'écrit où a1 est le coefficient de recombinaison sur le fondamental et a (2) sur tous les niveaux sauf n = 1. Les unités de ces coefficients sont: cm3 s-1. On a aussi que : , (voir par exemple, Spitzer, 1978, p. 105).

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation Le nombre total d'ionisations par seconde, en tenant compte de celles engendrées par les photons de recombinaison est donc: . Ce qui donne: . À l’équilibre, le nombre de photo-ionisations est égal au nombre de recombinaisons. On a alors,

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation On peut maintenant définir, x, le degré d'ionisation de l'hydrogène comme : où . Or ce qui donne, Car ne=n(HII).

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation Si (ici on néglige l’absorption des photons stellaires par la poussière) et en utilisant l’expression pour a(2), on obtient :  Ou plus simplement: avec, .

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation On voit donc que le degré d'ionisation de l‘H dans une région HII est partout très voisin de 1. De plus, on peut montrer que la zone où x décroît vers 0 est extrêmement fine. En effet, en géométrie plane, la variation de f(r) n'est due qu'à l'absorption de photons Lyc par les atomes d’hydrogène neutres: Or, ce qui donne que : De plus, est le libre-parcours moyens d'un photon Lyc dans un milieu d'hydrogène neutre à densité nH. Notre équation différentielle devient donc :

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation Donc, on voit que la variation du nombre de photons ionisants se fait sur un distance de l’ordre de quelques libres parcourt moyens (car ici x1). On sait aussi que f et x sont reliés par: Pour un 

Chapitre 3.1.3 Degré d’ionisation L’équation différentielle pour le degré d’ionisation est donc : Si on définit la variable sans dimensions: ,on a finalement: Cette équation différentielle a pour solution (voir par exemple Dyson & Williams p. 84):

Chapitre 3.1.4 Taille d’une région HII L'épaisseur de la zone de transition est donc extrêmement faible: et surtout très petite devant la taille d'une région HII. 3.1.4 Taille d’une région HII Le flux de photons Lyc émis par seconde par l'étoile peut s'exprimer, pour un quelconque rayon r interne à la région HII comme la somme de deux termes:

Chapitre 3.1.4 Taille d’une région HII Le premier terme est le nombre de photons Lyc non absorbés dans le volume qui traversent la sphère de rayon r. Le second est le nombre de photons Lyc effectivement absorbés dans ce même volume. Ici il ne faut tenir compte que des recombinaisons sur les niveaux supérieurs ou égal à 2 car nous avons vu que les recombinaisons sur le niveau fondamental produisent un photon qui ionisera le premier atome qu’il rencontrera. Nous ne devons donc pas les compter. On définit un rayon RS par:

Chapitre 3.1.4 Taille d’une région HII C’est le rayon de Strömgren pour le sphère ionisée. On a que x ≈ 1 partout pour r < RS et nH = constante = n0 est la densité initiale du gaz autour de l'étoile. Numériquement: ce qui montre que d << RS et justifie le terme front d'ionisation souvent utilisé.

Chapitre 3.1.4 Taille d’une région HII La quantité U=RSnH2/3, représente le pouvoir ionisant de l’étoile (donné en pc cm-2/3) et est souvent donnée dans la littérature. Les photons ayant une énergie un peu > 13.6éV sont surtout absorbés par les atomes d’H. Il en va de même des autres atomes; l’élément absorbant le plus efficace pour un photon donné est celui dont le seuil d’ionisation est juste un peu < à cette énergie. Ceci vient du fait que les sections efficaces d’ionisation dépendent fortement de la fréquence (a n-3). En conséquence, il se forme une structure d’ionisation dans une nébuleuse de densité relativement uniforme. En principe, il est très rare de trouver une région HII sphérique et isolée. Le MIS et en conséquence les régions HII sont plutôt hétérogènes. En fait, les étoiles massives se forment souvent en bordure des nuages moléculaires. La région HII fera éclater la bordure du nuage et à cause de sa pression élevée se répandra à l’extérieur (P=nkT). C’est ce que l’on appelle l’effet champagne.

Chapitre 3.1.4 Différents types de régions HII

Chapitre 3.1.4 Différents types de régions HII

Chapitre 3.1.4 Différents types de régions HII – M17 Rayons-x Optique IR

Chapitre 3.1.5 Bilan énergétique et T d’une région HII 3.1.5 Bilan énergétique/température d’une région HII Si l'on raisonne de façon simpliste et on suppose que l'énergie (environ E ≤ 18 éV) du photon Lyc incident se partage simplement entre: 1.3 éV à 3 éV: énergie cinétique du photoélectron, perdue lors de sa thermalisation avec le gaz d'électrons thermiques à Te, donc intégralement utilisée à chauffer ce gaz et le reste E - (1.3 à 3 eV) ≤ 15 eV rayonné dans les raies de recombinaison (Lya: 10.2 éV, Ha: 1.9 eV, ...) donc perdu pour le gaz, on obtient une température Te d'équilibre bien supérieure à celle observée qui est Te ≈ 104 K .

Chapitre 3.1.5 Bilan énergétique et T d’une région HII En effet, le coefficient de chauffage (erg cm-3 s-1) est donné par: et le coefficient de refroidissement est: si on suppose que le photoélectron ne se recombine que lorsqu'il s'est "thermalisé". En écrivant que le gaz d'électrons est à l'équilibre thermique (L = G ) et qu'il y a partout équilibre d'ionisation (NI = NR) on obtient

Chapitre 3.1.5 Bilan énergétique et T d’une région HII En fait, l’explication est très simple. Nous n’avons tout simplement pas tenu compte de tous les processus qui se produisent dans le nuage. Tout d’abord, une partie de l'énergie du photoélectron est rayonnée par radiation Brehmsstrahlung, c’est-à-dire des transitions libres-libres. De plus, l’énergie du photoélectron servira à exciter par collisions des transitions qui peuvent évacuer de manière radiative d'importantes quantités d'énergie par l’entremise des raies "interdites" d'ions comme NII, OII et OIII dont les niveaux excités sont à quelques 0.1 - 1 éV au-dessus de l’état fondamental. Nous allons maintenant discuter de ces deux type de rayonnement en plus de détails.

Plan… 3.1 Les régions HII 3.1.1 Les étoiles qui les génèrent 3.1.2 Mécanisme d’ionisation de la nébuleuse 3.1.3 Degré d’ionisation 3.1.4 Taille d’une région HII 3.1.5 Bilan énergétique/température d’une région HII 3.1.6 Émission continue L’émission libre-lié L’émission libre-libre

Chapitre 3.1.6 L’émission continu 3.1.6 Émission continue L’émission continue des nébuleuses ionisées est produite par plusieurs mécanismes et est observable dans un large intervalle du spectre électromagnétique (de l’ultraviolet aux ondes radio). L’émission libre-libre Lorsqu’un électron passe à proximité d’un ion mais n’est pas capturé par ce dernier, il perd de l’énergie et est donc freiné d’où l’appellation radiation de freinage ou Brehmsstrahlung (en Allemand).

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Si on a des électrons dont la distribution de vitesses est maxwellienne, on peut montrer que l’émissivité, la quantité d’énergie émise par unité de volume à une fréquence donnée est : où les unités dans la seconde partie sont des ergs s-1 cm-3 Hz-1 ster-1 nn est l’indice de réfraction du plasma (1 pour les régions HII) Z est la charge des ions (1) ni la densité des ions (nine) gff est le facteur de Gaunt Pour une démonstration, voir par exemple Rohlfs & Wilson (2000), Tools of Radio Astronomy, 3ième éditon, Springer-Verlag, Berlin.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Le facteur de Gaunt représente l’intégration sur les paramètres d’impact (limites finies) de l’électron qui passe près de l’ion : Avec , aux conditions habituelles des régions HII. Dans le visible, ce facteur est près de 1. On peut aussi définir le coefficient d’absorption pour l’émission libre-libre : où Bn est la fonction de Planck.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Dans le radio, on peut utiliser l’approximation de Rayleigh-Jeans (hn <<< kT): . Notre coefficient d’absorption devient alors : Ce qui nous permet d’écrire la profondeur optique comme : où est la mesure d’émission.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Le facteur de Gaunt, gff, s’écrit dans le radio comme : L’émission libre-lié Un rayonnement continu est aussi produit lorsque les électrons libres se recombinent avec les ions. Pour l’atome d’H par exemple, la recombinaison sur les différents niveaux produits des discontinuités dans le spectre : La discontinuité de Balmer correspond aux recombinaison sur le niveau n=2 La discontinuité de Paschen correspond aux recombinaison sur le niveau n=3

Chapitre 3.1.6 L’émission continu n=1  Lyman n=2  Balmer n=3  Paschen n=4  Brackett n=5  Pfund

Chapitre 3.1.6 L’émission continu La figure ci-contre montre un spectre d’émission libre-libre + libre-lié pour un gaz d’hydrogène à Te=7x103K.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Calculons maintenant le coefficient d’émissivité libre-lié. Normalement, nous avons une distribution thermique d’énergie ou de quantité de mouvement (Ee=pe2/2me, pe=mev) pour l’électron libre et donc la distribution est donnée par l’équation de Maxwell-Boltzmann. Pour une température T on a donc : Le nombre de recombinaisons spontanées par cm3 par seconde au niveau n dues à des captures d'électrons avec une quantité de mouvement dans l'intervalle à = N :

Chapitre 3.1.6 L’émission continu où , Ne est le nombre d’électrons, Ni le nombre d’ions et sn(v) est la section efficace de recombinaison au niveau n (d’énergie In=hnn) donnée par l’équation de Milne : et an(n) est la section efficace de photoionisation à partir du niveau fondamental par exemple (n en général), gn est le poids statistique pour le niveau n et gion pour l’état ionisé.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu En remplaçant ces expressions dans notre équation pour N on trouve: En utilisant hdn=mevdv (hn=Ecin+In) on trouve :

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Finalement, l’énergie émise par cm3 par seconde due aux recombinaisons au niveau n de photons dans l’intervalle de fréquences n à n+dn dans l'angle solide dW est donné par Nhn qui s’écrit comme : Or, l’énergie émise par cm3 par seconde dans l’intervalle de fréquences n à n+dn due aux recombinaisons au niveau n est aussi donnée par  NeNien(n) dn où en(n) est l’émissivité libre-lié (au niveau n), ce qui nous permet d’écrire finalement:

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Dans cette expression, on a que : De plus, pour un atome de type "hydrogène" on a pour n ≥ nn et an(n)=0 pour n < nn . Ici, g(n,n) est le facteur de Gaunt. Numériquement, on a : pour n ≥ nn .

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Plus spécifiquement, pour l’hydrogène on a que : Et en intégrant sur toutes les fréquences on a finalement l’émissivité libre-lié total du continu :

Chapitre 3.1.6 L’émission continu L’émission à deux photons Il n’y a pas qu’une façon pour un électron de passer d’un niveau à un autre. En effet, il peut passer directement au niveau inférieur en émettant un seul photon ou par l’intermédiaire d’un niveau virtuel (non quantifié) avec l’émission de deux photons dont la somme des énergies est égale à l’énergie de la transition en question. La probabilité d’une telle transition est très petite mais parfois, lorsque la densité est faible et que les collisions ne peuvent pas dépeupler les niveaux, ce type de transitions peut devenir important. Exemple: l’H peut se recombiner au niveau 2 2S1/2 , qui lui ne peut se désexciter que par l’émission de deux photons, car la transition dipolaire électrique vers le niveau 1 2S1/2 est interdite. La radiation continue ainsi produite augmente vers l’UV. Ce continu UV est plus intense que le continu libre-libre ou libre-lié.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu La figure ci-contre montre l’émission libre-lié pour l’HI, HeI et HeII ainsi que la contribution du rayonnement à deux photons, g0(2q). Soit A2s,1s le coefficient d’Einstein pour l’émission spontanée à deux photons (n1+n2=nLyman). L’équilibre statistique pour N(2 2S1/2) est : où a2Sc est le coefficient de recombinaison pour peupler le niveau 2 2S1/2 (direct ou niveau sup) et q(2s,2p) est la section efficace de recombinaison vers le niveau 2p à partir du niveau 2s, suite à une collision avec un é (changement de moment orbital, L=01). On aurait aussi pu tenir compte des transitions de désexcitation par collision vers le niveau 1 2S1/2 ou des collisions avec des pr., mais elles sont beaucoup plus faibles.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu L’énergie émise par cm3 par seconde dans le continu par le processus à deux photons dans l’intervalle d’énergie hn à hn+hdn est, quant à elle, donnée par : Le terme de droite dans cette équation représente le nombre de transition du niveau 2 2S1/2 par cm3 par seconde multiplié par la probabilité d’émission d’un photon d’énergie hn, multipliée par l’énergie du photon. Posons y=n/nLyman . Si P(y) est la probabilité d’émettre un photon de fréquence y=n/nLyman . (l’autre photon aura une énergie égale à 1-n/nLyman), et Si est la probabilité d’obtenir un photon (quelque soit la fréquence)

Chapitre 3.1.6 L’émission continu alors A2s,1s est donné par : (le facteur ½ est dû au fait que l’on compte la même paire de photon deux fois). La probabilité d’émettre un photon d’énergie hn sera : De plus, notre équation d’équilibre statistique nous permet d’écrire :

Chapitre 3.1.6 L’émission continu Notre équation d’équilibre devient donc : Posons maintenant: . On a finalement : .

Chapitre 3.1.6 L’émission continu La radiation provenant des poussières Les nuages de gaz ionisés contiennent aussi des grains de poussière. Ces poussières contribuent à la radiation continue des nébuleuses de gaz ionisé. La lumière des étoiles excitatrices se trouvant dans le nuage est diffusée par les grains et produit de la radiation dans le domaine ultraviolet. De plus, en absorbant également une partie de la lumière continue des étoiles ainsi que la radiation Lyman  provenant de la nébuleuse, les grains sont chauffés et ré-émettent ensuite de la lumière dans l’infrarouge moyen et lointain. Cette lumière peut être assez intense comparativement aux autres sources discutées ci-dessus.

Chapitre 3.1.6 L’émission continu L’énergie totale émise dans le continu L’heure est au bilan!!! Si on néglige pour le moment la radiation provenant des poussières, l’énergie totale émise dans le continu par une nébuleuse de gaz ionisé est : Radiation libre-libre: Radiation libre-lié: n=n0 à ∞ Radiation à deux photons :

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison L’énergie totale émise par cm3 par seconde dans l’intervalle de fréquence à n+dn est donc : 3.1.7 Les raies de recombinaison Le spectre d’une nébuleuse de gaz ionisé contient de nombreuses raies d'émission. Lorsqu’un électron se recombine à un état excité de l’atome, il s’en suit une cascade radiative, d’où l’origines des raies.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Hypothèses de base: a) Région de faible densité, donc on peut négliger les collisions. b) Champ de radiation dilué, donc on peut négliger les recombinaisons induites par radiation c) Milieu optique transparent, on néglige les transitions entre les niveaux liés élevés dues aux photons d) Hypothèse de la nébuleuse extrême: la densité est si faible et le champ radiatif si dilué que toutes les photoionisations se produisent depuis le niveau fondamental

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Voici encore le diagramme de Grotrian pour l’H avec les différentes raies:

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Cas optiquement épais au raies de Lyman Si la nébuleuse est optiquement épaisse dans les raies de Lyman, toute recombinaison donne nécessairement un photon dans une raie ou dans le continu de Balmer : Si la recombinaison se fait au niveau n=1, le photon émis sera un photon du continuum de Lyman. Ce photon ionisera immédiatement le premier atome d’hydrogène qu’il rencontra et il n’y a pas d’effet net. Si la recombinaison se fait au niveau n=2, le photon émis sera un photon du continuum de Balmer. Par la suite, ce niveau pourra se désexciter et l’atome émettra un photon dans la raie de Lyman a. Ce photon ira peupler le niveau n=2 de l’atome d’hydrogène voisin. Si un électron de ce niveau se désexcite, le même processus se reproduira. Effet net : émission d’un photon dans le continu de Balmer.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Si la recombinaison se fait au niveau n=3, le photon qui sera émis sera un photon dans le continu de Paschen. Si ce niveau se désexcite, il pourra le faire → soit au niveau n=2 dans quel cas il y a émission d’un photon dans la raie de Balmer Ha. Si ce niveau se désexcite à son tour, il le fera en émettant un photon de Lyman a qui ira immédiatement exciter l’atome voisin, du fondamental au niveau n=2. Effet net : émission d’un photon dans le continu de Paschen et d’un photon dans la raie de Balmer Ha. → soit au niveau n=1 dans quel cas il y a émission d’un photon dans la raie de Lyman b. Ce photon ira immédiatement exciter l’atome voisin du niveau fondamental au niveau n=3. Effet net : émission d’un photon dans le continu de Paschen.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Etc. On voit que chaque recombinaison dans une nébuleuse optiquement épaisse (aux raies de Lyman) donne nécessairement soit un photon dans le continu (Balmer ou autre) ou dans les raies de Balmer ou autres. On peut ainsi, en observant les raies ou le continu de Balmer, estimer le nombre de recombinaisons, donc d’ionisation. Cas optiquement mince Les raies de recombinaison sont toujours optiquement minces. Donc pour calculer leur intensité nous n’avons qu’à connaître la population de leur niveau supérieur. L’intensité de la raie sera simplement nuAulhnul. La fréquence de la raie pour un atome de type "hydrogène" est: où nl et nu sont les nombres quantiques principaux des niveaux supérieur et inférieur, RM est la constante de Rydberg ( ), M est la masse de l’atome et Z est sa charge.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Voici des valeurs pour quelques atomes : Pour l’hydrogène, voici quelques valeurs pour les forces d’oscillateur des raies de Balmer (n=2):

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison On définit souvent les populations des niveaux par un coefficient qui mesure l’écart par rapport à l’ETL, bn. Plus précisément, ce coefficient est le rapport de la population réelle à celle qu’on aurait à l’ETL, donnée par la loi de Saha : Pour un état d’équilibre où la population des niveaux est stable dans le temps, il nous faut considérer les processus suivants qui peulent et dépeuplent les niveaux : Transitions radiatives de l à u, Nlu À l’ETL: Relation entre Blu et Alu Relation entre Alu et f

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison On peut remplacer In par une fonction de Planck à température T et diluer la radiation en multipliant Bn par R*2/d2, où R* est le rayon de l’étoile et d est la distance à l’étoile. Cependant, en général vaut mieux utiliser un spectre stellaire provenant d’un modèle. Par exemple Schaerer & de Koter (1997, A & A, 322, 598).

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Leur modèles Co-star incluent des effets : du gradient de vitesse dans le vent stellaire des effets géométriques (pour la formation du continu) du "line-blanketing"

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Transitions radiatives de u à l, Nul On a que :  Les ionisations radiatives à partir du niveau l par exemple, Pl,k Le taux de recombinaisons au niveau l par exemple Le taux de recombinaison sur le niveau l est : Ici, K est une constante et cl est le potentiel d’ionisation à partir du niveau l.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison Cas spéciaux On peut résoudre ce système d’équations mais c’est assez complexe. Cependant, il y a deux cas pour lesquels on peut simplifier les équations  CAS A L’étoile n’émet pas dans les raies de Lyman. Et la nébuleuse est optiquement mince dans les raies de Lyman. Tous les photons émis s'échappent sans être absorbés, donc sans causer de transitions vers le haut. De telles nébuleuses doivent ainsi contenir relativement peu de gaz et sont donc faibles et difficiles à observer. Casc sur n, recomb sur n = casc de n, photoi de n

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison CAS B L’étoile n’émet pas dans la raie de Lyman et la nébuleuse est optiquement épaisse dans les raies de Lyman. Il s’agit du cas que l’on retrouve généralement dans les nébuleuses. Pour chaque transition d'un niveau élevé directement au niveau n = 1, l'inverse se produit également. (N1n=Nn1) où maintenant on néglige les photo-ionisations pour n2 qui sont beaucoup moins peuplés.

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison À partir des équations pour chaque contribution données ci-dessus, on peut estimer l’intensité des raies de recombinaison et en particulier le décrément de Balmer, c’est-à-dire le rapport des intensités des diverses raies de Balmer à Hb. Par exemple Hummer & Storey (1987, MNRAS, 224,801) ont calculé les intensités des raies de Balmer (n→2), Paschen (n→3), Brackett (n→4) et Pfund (n→5) pour le cas B pour ne=104 cm-3 et Te=104K :

Chapitre 3.1.7 Les raies de recombinaison On peut utiliser ces valeurs calculées pour estimer le rougissement interstellaire et donc l’extinction dans la direction de la nébuleuse. En particulier, l’extinction visuelle est reliée au rapport entre les valeurs théoriques et observationnels des raies Ha et Hb par l’équation suivante :