Analyse structurelle des systèmes, une approche graphique Christian Commault et Jean-Michel Dion Gipsa-Lab, DépartementAutomatique Université de Grenoble –FRANCE

Introduction But de la présentation Motivation d’une approche structurelle des systèmes Les systèmes structurés, propriétés génériques et graphe associé Le cas particulier de l’observabilité Autres problèmes - Autres modèles Classification des capteurs Indice de criticité Conclusion

Motivation Observations Les systèmes, en particulier s’ils sont construits par l’homme, présentent souvent une structure Relations fixes entre variables : absence de relation (sous-systèmes en série ou en parallèle), dérivées, … Lors de la modélisation puis de l’étude des propriétés, cette structure est souvent masquée ou au moins inexploitée Les variables reliées entre elles, le sont à-travers des paramètres mal connus et/ou variant dans le temps Dans les calculs on suppose que tout est connu 3

Motivation Souhaitable Prendre en compte la structure dans le modèle (en particulier l’absence de relation entre variables) Etudier les propriétés du système quels que soient les paramètres variables (ou presque) Essayer d’éviter des inconvénients comme l’aspect conservatif des résultats (études de robustesse) ou la complexité de calcul excessive (calcul formel) 4

Colonne de Distillation Exemple CONDENSEUR Perturbations ACCUMULATEUR L D , X D Colonne de Distillation Reflux Produit de tête Alimentation Commandes Sortie L , X F F Vapeur V REBOUILLEUR B , X B Produit de fond

Exemple

Systèmes Structurés Classe de systèmes linéaires paramétrés pour lesquels les coefficients des matrices d’état sont soit : des zéros des paramètres indépendants Propriétés génériques : valides pour presque toute valeur des paramètres

Graphe associé Graphe associé : Ensemble de sommets : sommets d’entrée, d’état et de sortie Ensemble d’arcs : correspondent aux coefficients non nuls des matrices (autant d’arcs que de paramètres l i)

Graphe associé Exemple x1 x2 u1 y1 u2 y2 x3

Propriété Générique Variété algébrique = Zéros communs d’un Propriété vérifiée l3 Variété algébrique = Zéros communs d’un ensemble de polynômes en les paramètres Propriété non vérifiée Variété algébrique l2 l1

Rang générique d'une matrice structurée M une matrice carrée structurée de taille n Colonnes lignes

Rang générique d'une matrice structurée Permutation sans zéro = couplage complet sur le graphe Pas de couplage complet implique det(M) = 0 Un couplage complet implique det(M) ≠ 0 génériquement En général rang générique (M) = dimension couplage maximum sur le graphe

Rang générique d'une matrice structurée Colonnes Lignes Rang Générique = 4

Rang générique d'une matrice de transfert Rang générique de T(s) = Nombre maximal de chemins entrées-sorties disjoints (Maximal linking) Van der Woude, 91 Commault, Dion, Perez, 91

Rang générique d'une matrice de transfert Exemple 1 Rang générique = 2

Rang générique d'une matrice de transfert Exemple 2 x6 y1 x1 u1 x4 u2 y2 x2 u3 x5 x3 y3 Rang générique = 2

Observabilité générique Theorème (Lin, 74) Le système est génériquement observable si et seulement si: 1) Il existe un chemin de tout sommet d’état à un sommet de sortie: connexion à la sortie 2a) Il n’existe pas de contraction dans le graphe OU 2b) La matrice [AT, CT]T est génériquement de rang n V1 V2 Contraction: d(V1)> d(V2)

Exemples Pas de connexion à la sortie Connexion à la sortie et pas de contraction Contraction Non observable Non observable Observable

La colonne à distiller Connexion à la sortie Pas de contraction 8 Connexion à la sortie Pas de contraction 9 7 6 10 5 11 Observable 4 12 3 13 2 14 y 2 y 1 1 15

Autre problème Système Générateur de résidus Détection et localisation des défauts Commande u x1 Sortie Observateur 1 r1 Défaut y Système x2 Observateur 2 r2 f xr Résidu r Observateur r rr q Perturbation Générateur de résidus

Autre problème Théorème : Détection et localisation des défauts (FDI) Théorème : Le problème a une solution si et seulement si : Le système est génériquement observable k = kd + r Où : k = nombre maximal de chemins (perturbations/défauts-sorties) sans sommet commun kd = nombre maximal de chemins (perturbations-sorties) sans sommet commun r = nombre de défauts

Complexité Rang générique d’une matrice structurée : problème de couplage maximum dans un graphe biparti Rang générique d’une matrice de transfert : problème de linking maximum dans un graphe Ces problèmes se réduisent à des problèmes de type flot maximum Complexité polynomiale

Pour en savoir plus Ouvrages : Reinschke 88, Murota 87 Survey : Dion, Commault, van der Woude 03 Les articles dédiés à certains problèmes : Commandabilité : Lin 74, Shields-Pearson 76, … Découplage : Linneman 83, Dion-Commault 93 Rejet de perturbations : van de Woude 91, Commault-Dion-Perez 91 Diagnostic : Commault-Dion 07

Pour en savoir plus Autres types de modèles structurés : Avec constantes : Murota 87 Modèle variables/contraintes : Blanke et al Systèmes bilinéaires : Boukhobza 07 Systèmes singuliers : Boukhobza 06

Observations Localisation de capteurs x1 y x3 x4 x2 x8 x5 x7 z x9 x6

Localisation/Classification des capteurs Considérons un système muni d’un ensemble de capteurs et une propriété P La propriété P n’est pas vérifiée avec l’ensemble de capteurs donné : localisation de capteurs, combien de capteurs rajouter, quelles variables mesurer ? La propriété P est vérifiée avec l’ensemble de capteurs donné : classification de capteurs, quel est l’impact de la perte de capteurs sur la propriété ?

Classification des capteurs Propriété P vérifiée pour l’ensemble de capteurs initial Ensemble admissible de capteurs: sous-ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V Intérêt pour caractériser l’importance de la perte éventuelle de capteurs 27

Classification des capteurs yi est inutile si pour tout ensemble admissible de capteurs V contenant yi, V \ {yi} est un ensemble admissible de capteurs Capteurs utiles : pas inutiles yi est essentiel si yi appartient à tout ensemble admissible de capteurs I U E 28

Classification des capteurs Minimal Sensor Set (MSS), Staroswiecki et al 2004 Sous-ensemble de capteurs V tel que P est vraie pour V et fausse pour tout sous-ensemble propre de V. Classification : yi est inutile : n’appartient à aucun MSS Capteur utile : appartient à au moins un MSS yi est essentiel si yi appartient à tous les MSS 29

Classification des capteurs Dans la suite, P sera la connexion à la sortie Problème : Classification des capteurs pour P en fonction de leur importance (essentiel, utile, inutile) Quantification de la « criticité » de chaque capteur

Exemple x4 u2 y5 y4 x3 u1 y3 y2 x2 y1 x1 y1 essentiel

Exemple x4 u2 y5 y4 x3 u1 y3 y2 x2 y1 x1 y2 inutile 32

Exemple x4 u2 y5 y4 x3 u1 y3 y2 x2 y1 x1 y3, y4, y5 utiles 33

Ensemble des configurations Contient 2m éléments de (y1, y2, …, ym) à F Structure de treillis pour l’inclusion d’ensembles Propriété de connexion à la sortie monotone : si une configuration est un ensemble admissible, tout sur-ensemble est admissible 34

Exemple Configurations minimales (MSS) 12345 1234 1235 1245 1345 2345 125 135 145 12 14 Configurations minimales (MSS) 35

Indice de criticité d'un capteur Taux de couverture pour la propriété P = (nombre de configurations admissibles) / (nombre de configurations) : tP(Y) Indice de criticité du capteur yi pour la propriété P : mP(yi) = 1 - tP(Y/yi)/tP(Y) 36

Indice de criticité d'un capteur Exemples de calcul : mP(y1) = 1 - t(y1)/t(F) = 1 – (0/16)/ (10/32) = 1 mP(y2) = 1 - t(y2)/t(F) = 1 – (5/16)/ (10/32) = 0 mP(y3) = 1 - t(y3)/t(F) = 1 – (4/16)/ (10/32) = 1/5 37

Exemple x4 u2 y5 y4 x3 u1 y3 y2 x2 y1 x1 Indice de criticité mP(y5) = 1/5 mP(y4) = 3/5 mP(y3) = 1/5 mP(y2) = 0 mP(y1) = 1 x4 u2 y5 y4 x3 u1 y3 y2 x2 y1 x1 38

Conclusion Systèmes structurés : modélisation simple de l’aspect relation/pas de relation entre variables Représentation graphique : visualisation de la structure et résultats génériques intuitifs. Complexité : de nombreux problèmes sont résolus de manière polynomiale. Classification des capteurs très générale. Mesure de la criticité des capteurs 39