Analyse des structures par éléments finis Par Mr : KH.Zakaria

Introduction Pourquoi le calcul des structures ? Besoin d’expliquer les accidents et de prévoir le comportement des futures structures. Besoin d’expliquer les accidents et de prévoir le comportement des futures structures. Qu'est-ce que la méthode des éléments finis ? C'est une méthode mathématique d'intégration numérique des équations aux dérivées mises sous forme variationnelle. C'est une méthode mathématique d'intégration numérique des équations aux dérivées mises sous forme variationnelle.

Introduction

Le Calcul des structures par éléments finis est un outil de simulation numérique qui connaissant : les matériaux La géométrie l’environnement de la structure les contraintes les déplacements Permet d’en déterminer

Introduction On peut décomposé un problème de calcul par éléments finis en 4 étapes principales : Étape 1 Modélisation Étape 2 Discrétisation (maillage) Étape 3 Calcul Étape 4 Visualisation des Résultats

Introduction  Quelques outils du marché : Ansys Ansys Abaqus Abaqus Nastran Nastran Samcef Samcef Catia Generative Structural Analysis Catia Generative Structural Analysis SolidWorks Simulation SolidWorks Simulation …

Procédure d'analyse numérique Logicielinformatique Oui Non Comparer

Exposé du problème On veut concevoir un support moulé en fonte ductile pouvant supporter une masse statique de 100 kg. Un concept préliminaire est illustré à la figure ci-contre. NB: Ici, pour faciliter la présentation, on n'analysera que la tige du support,

Les dimensions sont données ci-dessous Procédure d'analyse numérique Exposé du problème

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Contexte Pédagogique. La présente étude vise à se familiariser avec la notion de convergence dans l'analyse statique par éléments finis. Pratique. Un support en fonte ductile soutenant une masse statique de 100 kg doit être conçu. Objectif Sachant que le matériau utilisé pour la tige est ductile et que le problème est statique, l'objectif de l'étude est de vérifier le critère de résistance de Von Misès est par la suite de déterminer le facteur de sécurité.

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Dimensions S A = m 2 S B = m 2

Propriétés de matériau Les fontes utilisées typiquement dans des applications du genre sont les fontes ductiles. Les propriétés de cette fonte seront utilisées dans l'analyse. Procédure d'analyse numérique

Hypothèses On fait l'hypothèse d'un état plan de contrainte; parce que le support est généré par projection d'un profil 2D et que les efforts sont appliqués uniformément dans le plan On fait l'hypothèse d'un état plan de contrainte; parce que le support est généré par projection d'un profil 2D et que les efforts sont appliqués uniformément dans le plan Dans l'analyse, on néglige les guides situés à l'extrémité de la tige qui servent à stabiliser la courroie supportant la masse. Ces guides ont des dimensions très faibles devant les dimensions de la tige et n'ont aucun rôle structural. Dans l'analyse, on néglige les guides situés à l'extrémité de la tige qui servent à stabiliser la courroie supportant la masse. Ces guides ont des dimensions très faibles devant les dimensions de la tige et n'ont aucun rôle structural. La tige à une longueur 10 fois supérieure aux dimensions transversales. Par conséquent, on peut négliger, pour le calcul classique, l'effet du cisaillement transverse. La tige à une longueur 10 fois supérieure aux dimensions transversales. Par conséquent, on peut négliger, pour le calcul classique, l'effet du cisaillement transverse. La tige fait kg. Cette masse est négligeable par rapport à la masse de 100 kg supportée à l'extrémité de la tige. Par conséquent, l'effet de la gravité sera négligé. La tige fait kg. Cette masse est négligeable par rapport à la masse de 100 kg supportée à l'extrémité de la tige. Par conséquent, l'effet de la gravité sera négligé. Procédure d'analyse numérique

Gravité On utilise une accélération gravitationnelle de 10 m/s² pour calculer le poids de la masse. Le poids est donc de : Le poids est donc de : 100 kg * 10 m/s² = N. 100 kg * 10 m/s² = N. Procédure d'analyse numérique

Effet des concentrations de contrainte sur la fonte La fonte est un matériau avec beaucoup de porosités incluses. Ce qui a pour effet, du moins en statique, de réduire les concentrations de contrainte. Par conséquent, les résultats obtenus par la méthode des éléments finis devront être interprétés en conséquence et ne pas surévaluer l’importance des concentrations de contrainte. Procédure d'analyse numérique

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Qualitatifs Soumise à la masse de 100 kg, la tige fléchira vers le bas. Soumise à la masse de 100 kg, la tige fléchira vers le bas. Les fibres supérieures seront en tension et celles inférieures en compression. Les fibres supérieures seront en tension et celles inférieures en compression. Autour du trou, il y aura des contraintes plus élevées puisqu'il y a moins de matière. Autour du trou, il y aura des contraintes plus élevées puisqu'il y a moins de matière. À l'encastrement, les déplacements et les rotations doivent être nuls. À l'encastrement, les déplacements et les rotations doivent être nuls. Procédure d'analyse numérique

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Type de problème On fera une analyse statique afin de calculer les déplacements et les contraintes. On ne peut pas modéliser la tige avec des éléments de poutre à cause du trou dans la tige. On ne peut pas modéliser la tige avec des éléments de poutre à cause du trou dans la tige. Cependant, les efforts agissant suivant l'épaisseur de la tige, la tige présentera un état plan de contrainte. On peut donc réduire le problème physique 3D à un problème numérique 2D. Cependant, les efforts agissant suivant l'épaisseur de la tige, la tige présentera un état plan de contrainte. On peut donc réduire le problème physique 3D à un problème numérique 2D. Une modélisation 3D serait ici inutile et beaucoup plus fastidieuse en termes de mise en œuvre, de convergence et de temps de calcul Une modélisation 3D serait ici inutile et beaucoup plus fastidieuse en termes de mise en œuvre, de convergence et de temps de calcul Procédure d'analyse numérique

Modèle géométrique Le modèle géométrique qui sera utilisé pour simuler la tige est présenté ci- dessous. Il s'agit typiquement d'un rectangle troué. Les congés à l'encastrement et les guides sont négligés pour les raisons mentionnées dans la section "Hypothèses" présentée plutôt. Procédure d'analyse numérique

Maillage Les types de maillage Procédure d'analyse numérique

Maillage Le maillage de la géométrie utilisera principalement des éléments 2D quadrangles paraboliques et quelques éléments 2D triangles paraboliques. Les raisons du choix des éléments sont : analyse 2D en état plan de contrainte → éléments 2D analyse 2D en état plan de contrainte → éléments 2D forme rectangulaire → éléments quadrangles (convergent mieux que triangles) forme rectangulaire → éléments quadrangles (convergent mieux que triangles) forme arrondie due au trou → éléments triangles (aide à minimiser distorsion) forme arrondie due au trou → éléments triangles (aide à minimiser distorsion) flexion dans le plan → éléments paraboliques (représentent mieux la flèche) flexion dans le plan → éléments paraboliques (représentent mieux la flèche) Procédure d'analyse numérique

Conditions aux frontières : chargement Le seul chargement considéré est le poids de P=1000 N transmis à la tige par la courroie. La courroie agit sur toute l'épaisseur de la tige et sur une largeur L de 1 cm. Par conséquent, on modélisera la force comme illustré ci-dessous. Procédure d'analyse numérique q = P/ L = (1000 N) / (1 cm) = 100 kN/m

Conditions aux frontières : encastrement La modélisation de l'encastrement de la tige passe par le blocage des translations et des rotations à l'extrémité gauche. Procédure d'analyse numérique q = P/ L = (1000 N) / (1 cm) = 100 kN/m

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Logicielinformatique L’utilisateur construit le modèle d'éléments finis du système mécanique étudié à l'aide des outils conviviaux du logiciel. À partir du modèle discrétisé, le logiciel construit et résout le système matriciel [K]{u}={F}. À partir de la solution {u}, le logiciel calcule des variables dérivées (d{ui}/dxi, d²{ui}/dxi², …) et peut faire des combinaisons (Σd{ui}/dxi). L’utilisateur peut alors visualiser les résultats sous différentes formes : graphique, contour, déformée, animation.

1.Modèle géométrique 2.Définition des propriétés de matériau (E,α,ρ,ν,…) 3.Définition des propriétés physiques (h,I,x,J,…) 4.Maillage (ou discrétisation spatiale) du modèle 5.Définition des forces de volume et conditions aux limites 6.Assemblage et construction du système matriciel 7.Résolution du système matriciel [K]{u}={F} 8.Calcul des variables dérivées 9.Visualisation des résultats Logicielinformatique Procédure d'analyse numérique

1. Modèle géométrique Procédure d'analyse numérique

2.Propriétés de matériau

Dans le cas 2D étudié, la seule propriété physique, ou de section, est l'épaisseur. On définit donc ici une seule propriété physique Épaisseur : 0.02 m Procédure d'analyse numérique 3.Propriétés physiques

Procédure d'analyse numérique 4.Maillage du modèle Le maillage de la géométrie utilisera principalement des éléments 2D quadrangles paraboliques,

5.Forces de volume et conditions aux limites Une charge équivalente au poids de la masse est répartie sur la rainure. Une charge équivalente au poids de la masse est répartie sur la rainure. Les translations et les rotation sont bloquées à l'extrémité gauche. Les translations et les rotation sont bloquées à l'extrémité gauche. Procédure d'analyse numérique

6.Assemblage et construction Vecteur force élémentaire Matrice de raideur élémentaire

Procédure d'analyse numérique 7.Résolution du système matriciel

Procédure d'analyse numérique

9.Visualisation des résultats

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Les résultats vérifient bien tous les résultats qualitatifs anticipés. Les résultats vérifient bien tous les résultats qualitatifs anticipés. La flèche maximale est comme anticipée, La flèche maximale est comme anticipée, La contrainte à la section A-A est bien comme anticipée. La contrainte à la section A-A est bien comme anticipée. Procédure d'analyse numérique

Conclusion sur les résultats du premier modèle La bonne comparaison des résultats d'éléments finis et des résultats anticipés montre la validité du modèle. Il reste donc à faire une étude de convergence. Il reste donc à faire une étude de convergence. Procédure d'analyse numérique

Étude de convergence Identification des zones critiques La contrainte de Von Misès doit être plus petite que la limite d’écoulement de 331 MPa. La contrainte de Von Misès doit être plus petite que la limite d’écoulement de 331 MPa. Ici, la zone critique est près de l'encastrement aux fibres supérieurs et inférieurs. Ici, la zone critique est près de l'encastrement aux fibres supérieurs et inférieurs. On doit donc étudier la convergence des contraintes dans la région de l'encastrement. On doit donc étudier la convergence des contraintes dans la région de l'encastrement.

Procédure d'analyse numérique Étude de convergence Modèles grossier grossiermoyenfin

Procédure d'analyse numérique Étude de convergence Analyse de la convergence On constate que la singularité est ponctuelle. On constate que la singularité est ponctuelle. Les contraintes autours de la singularité converge bien. Les contraintes autours de la singularité converge bien. La contrainte maximale est de l'ordre de 152 MPa. La contrainte maximale est de l'ordre de 152 MPa. Donc on a des résultats qui sont satisfaisants. Donc on a des résultats qui sont satisfaisants.

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