Partie I : Propagation guidée 31- Titre Partie I : Propagation guidée

Plan du cours Partie I : Propagation guidée Domaine des lignes de transmission équations des télégraphistes régime en régime sinusoïdal ligne fermée sur une charge utilisation de l’abaque de Smith paramètres S systèmes d’adaptation régime impulsionnel

I. LIGNES DE TRANSMISSION (Généralités)

I.1.a. La ligne bifilaire et l’expérience de Hertz 34- Propag I.1. Phénomène de propagation I.1.a. La ligne bifilaire et l’expérience de Hertz Lorsque L >> l, les lois classiques de l’électricité ne s’appliquent plus. Ce phénomène a été mis en évidence par Hertz ligne bifilaire. Ligne ouverte 100 MHz

I.1.b. Courants stationnaires ou propagés 35- Quasi-stationnaire I.1. Phénomène de propagation I.1.b. Courants stationnaires ou propagés x M symétrie M’ Système symétrique : courants à la même distance égaux et opposés si L << l, courants constants quel que soit x (à to donné) stationnaire (vitesse ) si L >> l, variations de courant suivant x propagation

I.2.a. Courants quasi-stationnaire I.2. Équation des télégraphistes I.2.a. Courants quasi-stationnaire dx i v Si on décompose une ligne de grande longueur en segments de longueur dx (telle que dx<< l), on peut alors considérer des courants quasi-stationnaires.

I.2.b. Théorie de Kirchhoff I.2. Équation des télégraphistes I.2.b. Théorie de Kirchhoff Ldx Rdx Schéma équivalent d’un tronçon de ligne Cdx Gdx

I.2. Équation des télégraphistes 38- Kirchhoff exemple I.2. Équation des télégraphistes Quelques exemples Ldx Rdx Gdx Cdx Petits calculs : Calculez la longueur d’onde pour le courant à 50Hz, puis pour les fréquences vocales entre 300Hz et 4kHz. Enfin calculez la longueur d’onde pour une fréquence GSM à 900MHz. Prise en compte d’un modèle à constantes localisées dépend de la longueur de la ligne voulue et de la fréquence de l’application

39- Paramètres primaires I.2. Équation des télégraphistes I.2.c. Paramètres primaires d’une ligne i(x) i(x+dx) Ldx Rdx v(x) v(x) Cdx v(x+dx) Gdx Pertes dans les conducteurs L : inductance linéique H/m R : résistance linéique /m Pertes dans les diélectriques G : conductance linéique -1/m C : capacité linéique F/m

Conventions de notations I.2. Équation des télégraphistes Conventions de notations ligne de transmission Récepteur Émetteur x y=l-x Grandeurs physiques instantanées : v(x,t), i(x,t), z(x,t) v(y,t), i(y,t), z(y,t)

Calcul sur une ligne entière 41- Notation I.2. Équation des télégraphistes Calcul sur une ligne entière Quand on crée une différence de potentiel à l’entrée d’une ligne (branchement d’une source), on peut alors calculer les courants et tensions induits sur chaque tronçon élémentaire pour en déduire la propagation du signal.

I.2.d Equations variationnelles (tension) I.2. Équation des télégraphistes I.2.d Equations variationnelles (tension) i(x) i(x+dx) Ldx Rdx v(x) Cdx v(x+dx) Gdx Chute de tension sur dx or

Equations variationnelles (courant) I.2. Équation des télégraphistes Equations variationnelles (courant) i(x) i(x+dx) Ldx Rdx v(x) v(x+dx) Cdx Gdx Chute de courant sur dx or

Equations des télégraphistes I.2. Équation des télégraphistes Equations des télégraphistes

I.3.a. Solutions pour une ligne sans pertes I.3. Solutions de l’équation I.3.a. Solutions pour une ligne sans pertes Ldx Rdx Cdx Gdx Ligne sans pertes : pas de résistance ni de conductance Nouvelles équations :

I.3. Solutions de l’équation 46- i+ i- I.3. Solutions de l’équation On pose (dimension d ’une vitesse) Solutions particulières : f(t-x/u) et g(t+x/u) Le courant peut donc être vu comme la superposition d ’un de deux courants i+ et i- i+ se propage dans le sens des x positifs avec la vitesse de phase courant incident i- se propage dans le sens des x négatifs avec la vitesse de phase courant réfléchi

I.3. Solutions de l’équation On intègre par rapport à t Fonction arbitraire de x Cela donne alors Or d’où

Zc est l ’impédance caractéristique de la ligne I.3. Solutions de l’équation On a bien alors i = i+ + i- = f(t- x/u) + g(t+ x/u) et v = v+ + v- = Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) ) avec Zc est l ’impédance caractéristique de la ligne Remarque : si on est dans le vide,

I.4. Exemples de lignes réelles 49- Rappels I.4. Exemples de lignes réelles Introduction Rappels Perméabilité et permittivité du vide µ0= 4p.10-7 H.m -1 e0= 10-9/(36p) F.m -1 Vitesse de la lumière dans le vide

I.4. Exemples de lignes réelles 50- Bifilaire I.4. Exemples de lignes réelles I.4.a. La ligne bifilaire Caractéristiques m0,s d e,tan(d) D

I.4. Exemples de lignes réelles 51- Utilisation I.4. Exemples de lignes réelles Utilisation - Liaisons interurbaines entre centraux téléphoniques (signaux multiplexés => HF). - Liaisons abonné-commutateur : signal vocal - DSL (Digital Suscriber Line) câbles de cuivre, diamètre d= 0,5 à 2mm diélectrique (polyéthylène ou papier sec).

I.4. Exemples de lignes réelles 52- Paramètres I.4. Exemples de lignes réelles Paramètres primaires Diélectrique : Pertes actives dans le diélectrique négligeables Paramètres primaires Conducteur : 100k 10k L1w W/km BF :R1>>L1w 1k R1 100 10 HF :R1<<L1w f 1 1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz

Paramètres primaires en HF 53- Paramètres HF I.4. Exemples de lignes réelles Paramètres primaires en HF

Paramètres primaires en BF 54- Paramètres BF I.4. Exemples de lignes réelles Paramètres primaires en BF 0,1mH/km

I.4. Exemples de lignes réelles 55- Coax I.4. Exemples de lignes réelles I.4.b. La ligne coaxiale Caractéristiques Conducteur intérieur s1 d1 d2 Conducteur extérieur s2 (tresse) Isolant, er

I.4. Exemples de lignes réelles 56- Utilisation I.4. Exemples de lignes réelles Utilisation Liaisons interurbaines entre centraux téléphoniques (signaux multiplexés => HF). câbles 2.6/9.5mm (diélectrique=air) : Df=4MHz, 960 voies Df=12MHz, 2700 voies Df=60MHz, 10800 voies fmin 160kHz 1.2MHz 16.8MHz 1 voie=4kHz

I.4. Exemples de lignes réelles 57- Paramètres I.4. Exemples de lignes réelles Paramètres primaires En général : s1=s2.

I.5.a. Ligne fermée sur une charge 58- Réflexion I.5. Réflexion, transmission I.5.a. Ligne fermée sur une charge Zr Quand on cherche à transmettre un signal à une charge, la tension créée par le générateur se propage le long de la ligne. On calcule la propagation de proche en proche sur des tronçons élémentaire jusqu’à atteindre la charge. Là, les conditions imposées au courant et à la tension changent (discontinuité), créant une tension et un courant réfléchis.

Calcul d’une ligne fermée sur Zr 59- Réflexion I.5. Réflexion, transmission Calcul d’une ligne fermée sur Zr i+ V Zr i- On a vu que V = Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) ) Quand on place une charge, on a alors Vr = Zr( i+ + i- ) soit V = Zr ( f(t- x/u) + g(t+ x/u) )

I.5.b. Coefficient de réflexion I.5. Réflexion, transmission I.5.b. Coefficient de réflexion D’où Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) ) = Zr ( f(t- x/u) + g(t+ x/u) ) On a alors Coefficient de réflexion

I.5.c. Coefficient de transmission I.5. Réflexion, transmission I.5.c. Coefficient de transmission Coefficient de transmission

I.5. Réflexion, transmission 62- Cas particulier I.5. Réflexion, transmission I.5.d. Cas particuliers Zr = Zc Pas d’onde réfléchie, cas d’une onde progressive Ligne adaptée, toute la puissance est transmise à la charge Zr =  Toute la puissance est réfléchie Ligne infiniment longue pas d’onde réfléchie, R=0