Et NOMBRES TRIANGLE Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Découverte Junior – Gérard Villemin SOMME DES ENTIERS Et NOMBRES TRIANGLE Exemple: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 + 4 6 + 3 3 + 2 1 Arithmétique Junior – Chapitre 7 Par Clément (9 ans) – Août 2011

La somme des entiers de 1 à 4 est le nombre triangle numéro 4 (T4). 2 3 4 5 10 1 4 2 3 1 + 2 + 3 + 4 = 10 La somme des entiers de 1 à 4 est le nombre triangle numéro 4 (T4).

La somme des entiers de 1 à 9 est le nombre triangle numéro 9 (T9). 2 3 4 5 6 7 8 9 1 9 2 8 3 7 4 6 40 5 45 1 + 2 + 3 + 4 + 5 6 + 7 + 8 + 9 = La somme des entiers de 1 à 9 est le nombre triangle numéro 9 (T9).

n S 2 S SOMME de 1 + 2 + … + n = ? 2S = 9 x 10 et si 9 devient n Ici, n vaut 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S 2 S 2S = 9 x 10 et si 9 devient n 2S = n . (n+1) S = n . (n+1) / 2 S = 9 . (9+1) / 2 = 9 x 10 /2 = 9 x 5 = 45 L’astuce, c’est d’écrire une deuxième fois tous les nombres dans l’autre sens. C’est la méthode de Gauss (1777-1855).

Sn = n . (n+1) / 2 n = 11 => s11 = 11 x 12 / 2= 66 Je sais calculer facilement 1 + 2 + … jusqu’à n’importe quel nombre (n) avec cette formule: Sn = n . (n+1) / 2 Exemples: n = 11 => s11 = 11 x 12 / 2= 66 n = 50 => s50 = 50 x 51 / 2= 1 275 n = 70 => s70 = 70 x 71 / 2= 2 485 n = 99 => s99 = 99 x 100 / 2= 4 950 n =100 => s100 =100 x 101 / 2= 5 050 S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … 99 + 100 = 5 050. La somme des entiers de 1 à 100 est le nombre triangle numéro 100 (T100).

Les points et les traits +2 +3 +4 1 3 points 3 traits 4 points 6 traits 5 points 10 traits Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits Un en moins

Calcul de la quantité de traits selon le nombre de points (n) Avec 5 points, il y a 1+2+3+4 = 10 traits Avec 6 points, il y a 1+2+3+4+5= 15 traits Avec n points, il y a (n – 1) . n / 2 Un en moins Somme des entiers de 1 à (n-1) Avec 5 points, il y a (5 – 1) x 5/2 = 10 Avec 11 points, il y a (11 – 1) x 11/2 = 55 La quantité de traits pour 11 points est le nombre triangle numéro 10 (T10).

Table des nombres triangle Je m’amuse à y ajouter les carrés, les cubes et les puissances 4, 5 et 6. J’ai fait ces calculs à l’aide d’un tableur. Je remarque que, pour un même nombre n, son carré est plus grand que son nombre triangle: n² > Tn