PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

Dérivation numérique Introduction Dérivation numérique Différences finies Polynômes d’interpolation et d’approximation Exemple: Cotes boursières

Introduction Dans plusieurs problèmes nous avons besoin de calculer la dérivée d’une fonction Deux approches existent pour résoudre ce problème Une première, qui estime les valeurs de la dérivée lorsqu’une fonction est connue mais dont sa dérivée ne peut pas être déduite analytiquement L’estimation de la dérivée peut se faire par une approche aux différences finies de la forme:

Introduction Une seconde approche est de calculée la dérivée des polynômes d’interpolation ou d’approximation dont nous pouvons déduire la forme analytique

Dérivation numérique (différences finies) Les méthodes aux différences finies découlent de la série de Taylor: Si nous éliminons les termes d’ordre supérieur ou égal à 2 nous obtenons En isolant le terme dérivé nous obtenons Différence avant d’ordre 1

Dérivation numérique (différences finies) L’approximation d’ordre 2 de la dérivée première de f(x) est obtenue en incluant un second terme à la série de Taylor: Nous devons estimer d’abord la dérivée seconde en utilisant une méthode aux différences finies de la forme:

Dérivation numérique (différences finies) Si nous substituons le résultat de l’estimation de la dérivée première par différence finie d’ordre 1 nous obtenons: Approximation de premier ordre de la dérivée seconde Nous pouvons alors déduire une approximation d’ordre 2 de la dérivée première:

Dérivation numérique (différences finies) La dérivée seconde d’ordre 2 est alors déduite par: En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première:

Dérivation numérique (différences finies) En utilisant une méthode aux différences finies arrières nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde:

Dérivation numérique (différences finies) En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée première:

Dérivation numérique (différences finies) En utilisant une méthode aux différences finies centrées nous obtenons les approximations d’ordre 1 et 2 suivantes pour la dérivée seconde:

Dérivation numérique (différences finies) Illustration des méthodes aux différences (dérivée première)

Dérivation numérique (différences finies) Illustration des méthodes aux différences (dérivée seconde)

Dérivation numérique (différences finies) Implémentation du calcul de la dérivée première par différence finie (Algorithme de Ridders dans Numerical Recipes in C) ……….

Dérivation numérique (Polynômes) Les splines cubiques prennent la forme: Leurs dérivées premières donnent: Leurs dérivées secondes donnent:

Dérivation numérique (Polynômes) Polynômes d’approximation (degré 1) Polynômes d’approximation (degré 2)

Dérivation numérique (Polynômes) Polynômes d’approximation (degré 3)

Dérivation numérique (Polynômes) Polynômes d’approximation (degré 4)

Exemple: Cotes boursières Dérivation de polynômes d’approximation (Cas APPLE VS MICROSOFT)

Exemple: Cotes boursières Résultats attendus (approximation optimale)

Exemple: Cotes boursières Résultats attendus (dérivée première)