Enseigner / apprendre le calcul mental… Les principes à faire partager : Distinguer deux aspects complémentaires dans le calcul mental : mémorisation des tables (des faits numériques) automatisation des procédures (ce qui suppose quelles soient explicitement enseignées). Le savoir expert : c’est la procédure personnelle que l’élève choisit parmi les procédures expertes qu’il a apprises ; celle-ci est dépendante des relations particulières entre les nombres en présence. Les tables sont enseignées en classe ; l’apprentissage de la mémorisation est conduit par l’enseignant (à la maison on reprend, révise…) Les procédures spécifiques de calcul mental (à distinguer des techniques opératoires : on ne pose jamais une opération « dans sa tête ») sont identifiées et enseignées chacune explicitement, découvertes, identifiées, nommées, institutionnalisées (cahier « outil ») produites enfin. Le passage à l’écrit (calcul en ligne, arbres à calcul, droite graduée) est une étape incontournable de tout début d’apprentissage des procédures (et un support important de l’explicitation de tout élève relatant sa procédure…) Le niveau expert en fin d’école élémentaire (à décliner à chaque niveau de l’école) : c’est la capacité de choix (y compris celui de renoncer à une procédure automatisée…) tenant compte de l’identité et des relations des nombres en présence au regard des techniques apprises et maîtrisées (lien important avec la « numération ») : « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » groupe math - 2012/13

45 + 17 Faire du calcul mental… Ex. Calculer mentalement : Un exemple : ce calcul proposé permet de solliciter directement les stagiaires. Comment chacun résout-il mentalement ce calcul ? Noter les propositions (diapo suivante) groupe math - 2012/13

Enseigner les procédures 45+17 = 45+10+7 = 55+7 = 62 45+17 = 45+5+12 = 50+12 = 62 45+17 = 45+15+2 = 60+2 = 62 45+17 = 2+43+17 = 2+60 = 62 45+17 = 40+5+10+7 = 50+12 = 62 Les propositions les plus probables sont relevées ici. (plus loin, elles feront l’objet d’une analyse systématique) On peut faire observer qu’à la base, chez l’expert, la mémorisation des faits numériques relève de l’implicite (ça va de soi : le savoir est immédiatement DISPONIBLE) et que l’absence (ou le fait qu’il faille les rappeler par des cheminements plus ou moins lourds) est un obstacle majeur (c’est encore plus explicite dans des situations de multiplication… l’obstacle des tables est quasi insurmontable pour 37 x 7 – impossible, très lourd pour le moins, pour les tables de multiplication… alors qu’on peut reconstruire les sommes). On peut évoquer le « paradoxe de l’automatisme » (Denis Butlen – « le nombre au cycle 2 ») La majorité des élèves interrogés répondent qu’ils « ont posé l’opération dans leur tête » : « … lorsque les connaissances de l’élève sont plus limitées, il va se réfugier dans les procédures apparemment plus sûres, mais beaucoup plus coûteuses et conduisant souvent à l’échec. » Le paradoxe de l’automatisme (transposition des techniques opératoires au calcul mental) doit être déconstruit et doit conduire à un enseignement de procédures spécifiques au calcul mental. REMARQUE : on lira plus loin la différence sensible entre le calcul réalisé mentalement et l’écriture canonique en ligne des égalités successives qui en rendent compte. 45+17 = 45+20-3 = 65-3 = 62 groupe math - 2012/13

Automatisation des procédures « Notion » de nombre : - Habileté dans la décomposition - Estimation Mémorisation des faits numériques Doubles Compléments à 10 Tables add. et mult. 25 (x2, 3 et 4) 50 (x2) Passage à la dizaine supérieure Distributivité … La maîtrise du calcul mental repose sur trois piliers : La mémorisation des faits numériques (l’exemple des précédentes évaluations nationales – réussir 8 réponses sur 10 pour avoir le code « 1 » - montre le niveau d’appropriation attendu : c’est une compétence qui ne se satisfait pas de quelques réponses « justes » – par exemple, la « traditionnelle » notation de 6/10 dans une interrogation n’est pas une évaluation de cette compétence. L’automatisation des procédures : elles doivent avoir été identifiées par l’enseignant puis enseignées afin que l’élève acquiert un répertoire de procédures disponibles, connues. La prise en compte des nombres en présence : les habiletés dans le domaine des nombres et de la numération (décompositions – relations entre les nombres…) sont indispensables car elles déterminent le choix d’une ou de la procédure la plus adaptée choisie à bon escient dans un contexte numérique donné. Remarque : L’estimation nécessite une attention soutenue dans la logique de l’anticipation qu’elle permet. Elle relève d’une fonction spécifique qui n’est pas suffisamment entraînée à l’école, issue d’une intuition qu’il faut davantage solliciter (ex. 37 + 42 plus près de 50 ou de 100… sans passer par le calcul exact!) - cf. Stanislas DEHAENE – « la bosse des maths 15 ans après » – vidéo Ifé – http://www.canal-u.tv/video/ecole_normale_superieure_de_lyon/08_bull_l_intuition_en_mathematiques_et_les_demarches_algorithmiques_que_sait_on_en_neurosciences.8592 La distinction entre la mémorisation des faits numériques et l’automatisation de procédures précises doit organiser une logique d’enseignement qui n’est pas toujours très clairement identifiée et conforter l’étroite liaison que les programmes ont établi entre nombre et calcul. L’apprentissage des tables ne ressemble pas à l’apprentissage des procédures (voir plus loin). La mémoire des faits numériques ne doit engendrer aucun calcul ! C’est à l’école qu’elles s’apprennent (et se révisent à la maison). L’interrogation sur les tables (réponses rapides) l’interrogations sur les procédures ne résument pas le calcul mental à l’école ; des séances d’enseignement sont à concevoir. La progressivité des apprentissages pose la question des étapes intermédiaires : Exemple au CP : la réponse à 8 + 7 Surcomptage (procédure de maternelle) Complément à 10 : 8 et 2 (décomposition de 7 en 2 + 5) Double : de 8 (moins 1) – de 7 (plus 1) Le passage de la procédure à la mémorisation des faits demande un enseignement précis et progressif. REMARQUE: Le travail du CP doit rapidement mettre à distance le surcomptage pour faire entrer les élèves dans le registre du calcul. 12 = 10 + 2 12 = 2 x 6 12 = 2 x 2 x 3 9 = 10 – 1 25 = 100 / 4 …

Dans un contexte numérique donné… Mémoire des faits numériques - tables - doubles - compléments à 10 - … Répertoire de de procédures automatisées - ajout de 10, 100 - calcul par la gauche Mémoriser les faits numériques / Automatiser les procédures Il n’y a pas symétrie de ces deux champs mais complémentarité : on ne peut identifier, reconnaître, ni produire une procédure sans la fonder sur des « faits numériques » établis. La mémorisation doit avoir pour objectif de rendre les faits numériques disponibles : les associations (un couple de nombres : sa somme, son produit) produisent immédiatement un résultat. A une étape antérieure, ils ne sont que mobilisables : un retour explicite est nécessaire (reconstruction, recours, pour les tables d’addition à une petite décomposition – 9 et 9 devient 9 et 1 et 8 ; c’est plus difficile pour les tables de multiplication – l’élève alors reprend la récitation de la table concernée pour trouver le résultat) ; c’est une difficulté très sensible qui fait obstacle à la mise en œuvre des procédures.

Enseigner les faits numériques : 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 1 + 7 1 + 8 1 + 9 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 3 + 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 7 4 + 1 4 + 2 4 + 3 4 + 4 4 + 5 4 + 6 5 + 1 5 + 2 5 + 3 5 + 4 5 + 5 6 + 1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 Rappel (repères pour la progressivité des apprentissages) : CP : -Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (“table d’addition”). - Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés des nombres pairs inférieurs à 20. - Connaître la table de multiplication par 2. Le constat de l’ambition de ces premiers repères justifie de penser les étapes de la progressivité : comment passer du dénombrement, du surcomptage (efficaces dans le champ des nombres jusque 20) à la mémorisation ? Comment en montrer l’intérêt aux élèves ? La question de la « table de 10 » pour la multiplication est latente dès lors qu’on aborde la numération décimale ex. 58 = 5x10 + 8 Elle n’est explicite ni au CP, ni au CE1… CE1 : - Connaître les doubles et moitiés de nombres d’usage courant. - Mémoriser les tables de multiplication par 2, 3, 4 et 5. CE2 : Mémoriser et mobiliser les résultats des tables d’addition et de multiplication. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. CM2 - … et décimaux. Au CM la formule générique « consolider… » s’applique à la fois aux faits numériques et aux procédures. Elle reste bien générale ! Michel FAYOL : « L’acquisition du nombre » - Que sais-je ? « La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation » : Ex 4+3 ? Du surcomptage « 4…5, 6,7 » à la restitution « 4 et 3 ->7 » ; le passage n’est pas « naturel » seul un enseignement peut assurer le saut qui s’impose. « La mémorisation nécessite que les 3 composantes (les deux opérandes et le résultat) puissent être présents simultanément dans la mémoire temporaire malgré le traitement. Or, plus le second opérande est grand, plus les calculs sont difficiles et la probabilité faible de le mémoriser (en particulier lorsque le second opérande est grand » Quelques exemples d’outils supports de mémorisation… CP : Les « maisons de nombres » construites au CP permettent de repérer les décompositions des premiers nombres, jusque 20. Ici une première forme (jusque 10) où on met en valeur les décompositions à mémoriser après avoir effacé celles qui relèvent de la numération (on connaît le successeur) et celles qui sont redondantes (commutativité) en veillant à mettre en valeur la priorité des compléments à 5 et surtout à 10.

Enseigner les faits numériques : + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 L’exemple de la « table » d’addition est transposable à la multiplication. Le tableau est économique pour récapituler toutes les informations sur une surface minimale, mais ce n’est pas le support à privilégier pour les premiers apprentissages (on préfèrera les présentations traditionnelles des tables en particulier pour les tables de multiplication). Il est recommandé d’éviter la charge inutile des [+0] ou [+1] : le 0, élément neutre de la somme, est un fait à reconnaître ; le [+1] doit être assimilé à la recherche du successeur : ce n’est pas du calcul mais de la numération. Inutile d’encombrer la mémoire ! Il est judicieux de procéder à des repérages… dans cette grille. groupe math - 2012/13

Enseigner les faits numériques : + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer - La commutativité (on réduit de moitié les faits à mémoriser) Les doubles Les décompositions de 10 Les calculs sans passage à la dizaine supérieure Les sommes avec passage à la dizaine (le mot « retenue » a trait au calcul posé) groupe math - 2012/13

Enseigner les faits numériques : + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A repérer avec les élèves la commutativité (il ne reste que la moitié –environ- des cas à mémoriser !) A enseigner : La transposition… Le cas « 3 + 4 = 7 » peut-il être reconnu par un élève débutant dans… « soixante-quatorze plus treize » ? « trente plus quarante » ? Cela s’enseigne, s’accompagne : « Où est caché 3+4 dans le calcul de 30+40 ? » groupe math - 2012/13

Enseigner les faits numériques : Exemple d’un outil d’élève : table en cours d’apprentissage au CP ou CE1 (seul les résultats « résistants » apparaissent) + 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Un outil individualisé : Une grille lacunaire peut donner à chaque élève le panorama de ses connaissances à un moment donné. Sur ce type de support, chaque élève ne laisse apparaître que les résultats qu’il ignore (au fur et à mesure des interrogations, l’élève gomme les résultats qu’il connaît, réécrit ceux qu’il a oubliés). C’est bien entendu la partie en bas à droite qui regroupe les résultats les plus incertains. groupe math - 2012/13

Enseigner les faits numériques : 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 = 21 8 x 3 = 24 9 x 3 = 27 Doubles : 2 x 3 = 6 4 x 3 = 12 8 x 3 = 24 2x30 = 60 4x30 = 120 Triples : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 2 x 3 = 6 6 x 3 = 18 20x3= 60 … Enseigner les tables de multiplication relève d’un fin travail d’OBSERVATION et d’EXPLORATION : Quelques exemples : - Pairs / impairs Doubles (4x3 est le double de 2x3) et triples Les transpositions 2 x 3 / 2 x 30 / 20 x 3 … doivent s’enseigner ! On peut recommander de présenter séparément la « table des carrés » groupe math - 2012/13

Interroger sur les tables (addition) : Alterner : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) 6 + 7 ? + 7 = 13 et ? + 6 = 13 13 - 6 et 13 - 7 13 - ? = 7 et 13 - ? = 6 Combien manque-t-il à 6 (ou 7) pour aller à 13… Complète 6 (ou 7) pour arriver à 13… Remarques applicables aux deux diapositives suivantes… La récitation des tables ne doit pas faire l’objet d’un travail trop systématique : il favorise la mémorisation d’un bloc (qu’il faudra alors réciter, en entier, pour retrouver un résultat). Les interrogations doivent être variées, diverses (formes) et fréquentes (quotidiennes – des temps courts). Le seul écrit autorisé est le résultat du calcul. Une variable des interrogations est essentielle : Oral / Ecrit Les mécanismes en jeu, l’organisation en mémoire de travail y sont très différentes : ces deux types d’entraînement sont très complémentaires. Exemple d’interrogations : dix calculs écrits au tableau – SILENCE TOTAL (pas de lecture, pas de murmures) dix calculs dits (aucun support visuel) Réponse des élèves : Ardoise (La Martinière - gros succès d’école…) vitesse, visibilité directe du maître. On doit interroger l’efficacité de cette méthode… Cahier : les résultats écrits sur le « cahier du jour » (cahier de l’entraînement des élèves) permettent la concentration (pas d’arrêt entre les calculs, pas de déperdition d’attention). La liste des calculs et des réponses est fournie et permet à l’élève de connaître son taux de réussite (d’intervenir au niveau de sa table « lacunaire » personnelle) La présence sur le cahier permet le suivi du travail quotidien dans ce domaine (l’enseignant, l’élève, les parents). Remarque sur la « correction » : On sait que beaucoup de temps est consacré à la « correction ». Est-il utile, nécessaire, de corriger chaque cas ? L’objectif étant la mémorisation, on peut douter qu’un travail ponctuel lié aux aléas des interrogations participe à cet ancrage qui relève d’un travail spécifique et structuré. Cet avis n’englobe pas la mise en commun dans les séances où les procédures sont en jeu. On y revient un peu plus loin. Enseigner les analogies : 6 + 7… 16 + 7 26 + 7 36 + 7… 6 + 7… 6 + 17 6 + 27 6 + 37 6 + 7… 60 + 70 600 + 700… groupe math - 2012/13

En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x 70 140 : 2 Interroger sur les tables (multiplication) : Oral (sans écrit) Ecrit (sans oral) Alterner : 2 x 7 ? x 7 = 14 et 2 x ? = 14 14 : 2 (dès le CE1) et 14 : 7 En 14 combien de fois 2 (de fois 7) 20 x 7 2 x 70 140 : 2 (voir commentaires de la diapositive précédente) Une remarque (Stanislas DEHEANE – « La bosse des maths – 15 ans après » Pour l’expert, les QCM associant les résultats de la somme et du produit des deux nombres présentent une difficulté sensible dans les choix (il y a une grande proximité de ces deux connaissances). Remarque annexe : il en est de même lorsque l’on propose des résultats successifs des tables (par exemple, pour 6x7, 42 – 49 – 56 ou 36 – 42 – 48 …) Suite des nombres de … en … (croissante, décroissante) QCM 2 x 7 = 9 ? 14 ? groupe math - 2012/13

Enseigner les procédures 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Décomposition du 2nd nombre 45+17 = 45+5+12=50+12=62 45+17 = 45+15+2=60+2=62 45+17 = 2+43+17=2+60=62 Passage à la dizaine supérieure 45+17 = 40+5+10+7=50+12=62 L’enseignement des procédures est une priorité, complémentaire de l’apprentissage des tables, mais peu explicite dans les programmes. RAPPEL CP Calculer mentalement des sommes et des différences. - Calculer en ligne des sommes, des différences CE1 Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes, des différences et des produits. - Calculer en ligne des suites d’opérations. C’est au CE1 qu’apparaît le terme spécifique de « procédures de calcul mental » ; elles ne sont pas spécifiées. « Le nombre au cycle 2 » (Denis BUTLEN) retient quelques propositions à recommander (reprises dans une diapositive - voir plus loin) CE2 Calculer mentalement des sommes, des différences, des produits. CM1 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. - Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. - Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. La multiplication par 10, 100… (et division au CM2) est la seule procédure explicitement évoquée dans les programmes. On lira plus loin (diapositive ) quelques propositions non exhaustives (mais qui doivent être considérées comme complémentaires de celles du cycle 2 (« à consolider » comme le recommandent les programmes!) Le statut de l’estimation dans les programmes d’enseignement n’a ni la place ni l’enseignement qu’elle mérite : il s’agit également d’enseigner des techniques d’estimation. CM2 Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. - Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, 1 000. En reprenant l’exemple précédent, parmi les procédures utilisées, on en retiendra quelques-unes sur les bases suivantes : 1- Une analyse comparée : Calcul dit ou pensé par rapport à ce qui est écrit (mathématiquement – règles d’écriture / symboliquement – représentation) Calcul dit : Ex. « quarante-cinq plus dix cinquante-cinq plus sept soixante-deux » Nb. Ainsi, si on demande à l’élève d’écrire ce calcul on lui « impose » une écriture erronée : 45+17=45+10=55+7=62 Calcul écrit : Ex. 45+17 = 45+10+7=55+7=62 Le calcul écrit en ligne (pas la technique opératoire) mérite une approche spécifique (algébrique) : l’enseignant traduit en ligne le choix des décompositions permettant d’utiliser des relations privilégiées connues des élèves (cet exemple est transposable dès le CP : les valeurs seront adaptées). Calcul représenté : .Les arborescences permettent une représentation des calculs partiels .La ligne numérique doit être un support privilégié des représentations 2 – Une analyse comparée du « coût » en mémoire de travail : en reprenant quelques procédures on peut facilement analyser ce qu’on traite, ce qu’on met en mémoire pour un traitement ultérieur. Ex1. si je traite 45+10, je mets en mémoire 7 donc je devrai associer le résultat à 7 soit deux entités à mémoriser Ex2. si je procède à la décomposition des deux nombres 40+5+10+7 et traite 40+10 je dois mémoriser 5 et 7 et le résultat de la première somme, soit un nombre plus élevé de faits. Ex3. si je pose l’opération « dans ma tête », la comptabilité des faits à mémoriser – avec des indications spatiales très structurées – montre que cela devient un obstacle majeur pour les élèves (retenue, traitement de nombres à trois chiffres en particulier). On peut recommander de « déconstruire » ce recours (« j’ai posé l’opération dans ma tête ») très fréquemment reconnu par des élèves… peut-être à défaut d’ordres modèles. 3 – Avec les élèves, on nommera ces procédures (la diapositive propose des exemples) étudiées, retenues. Dans l’exemple, on fait le choix de ne pas retenir la « décomposition des deux nombres » trop lourde. Elle ne sera pas étudiée. Les autres seront enseignées (diapo suivante) affichées, présentes sous cette forme sur le cahier mémoire des élèves. La dénomination permet une catégorisation, une modélisation essentielles à la structuration et à l’automatisation des procédures. Décomposition des 2 nombres 45+17 = 45+20-3=65-3=62 Ajout de dizaine et soustraction

Enseigner les procédures (2) Une semaine sur la procédure 1 Une semaine sur la procédure 2 Passage à la dizaine supérieure Ajout de dizaines et soustraction Une semaine sur la procédure 3 ADAPTATION Une semaine où l’élève a le choix de l’utilisation … Le processus d’enseignement consiste à construire progressivement les automatismes correspondant à chacune des procédures retenues… La semaine 1, quatre séances courtes imposent un passage systématique par la procédure « ajout de dizaines et soustraction » dans diverses situations où l’élève doit transposer (mentalement) : l’enseignant écrit à chaque fois la somme en ligne correcte, peut représenter ce calcul (utiliser les arborescences ou la ligne numérique pour les figurer). La semaine 2 c’est une autre procédure (avec quelques rappels de celle de la semaine précédente) Et ainsi de suite… ADAPTATION : c’est la phase essentielle pour construire des « PROCEDURES PERSONNELLES ». Une semaine est en effet consacrée à inviter les élèves à effectuer un choix personnel (parmi les procédures apprises, celle qui lui semble la plus adaptée) qu’il doit justifier. Ce sont les nombres en présence qui induisent le plus souvent ce choix, mais on ne négligera pas l’écoute des procédures justifiées par les élèves : 56 + 19 (procédure 1 - le passage à 20 est plus aisé – on retire 1, c’est le prédécesseur) 59 + 16 (procédure 2 – le passage à la dizaine supérieure [60 + 15] facilite la tâche) … C’est dans cette phase que se construisent et concrétisent les « procédures personnelles ». Décomposition du 2nd nombre groupe math - 2012/13

…c’est une initiative, un choix ! Etre expert, c’est CHOISIR une procédure personnelle ! c’est être capable de choisir parmi les procédures apprises celle qui est la plus adaptée aux singularités, à la « personnalité » des nombres en présence celle qui est la plus adaptée aux performances acquises à un moment de sa scolarité « Ce sont les nombres en présence qui déterminent les choix sous réserve que plusieurs procédures aient été enseignées, apprises, retenues, donc automatisées. Les procédures personnelles émanent des techniques expertes enseignées étroitement dépendantes des connaissances sur le nombre et la numération. Ces procédures doivent être identifiées, nommées, formalisées, exercées systématiquement ; l’automatisation consiste pour l’apprenant expert à choisir dans un répertoire acquis. C’est « l’intelligence du calcul » souvent citée dans la « conférence nationale sur l’enseignement des maths » ! …c’est une initiative, un choix !

Niveau expert ? 37 x 8 37 + 8 37 x 2 x 2 x 2 (on double trois fois de suite) 30 x 8 + 7 x 8 37 + 3 + 5 30 + 7 + 8 25 x 12 50 x 12 Ces exemples portent sur « l’intelligence du calcul » Ici Exemples 1 et 2 : La décomposition de 8 est très différente dans l’un et l’autre des cas : pratique dans 37x8, 2x2x2 est totalement inefficace dans 37 + 8 Exemples 3 et 4 : la décomposition de 12 est liée au premier nombre – la seconde procédure montre que la distributivité peut elle être appliquée dans de nombreux cas de multiplication… Si elle est enseignée ! 25 x 4 x 3 25 x 10 + 25 x 2 50 x 2 x 6 50 x 10 + 50 x 2

La construction de « procédures personnelles » est la combinaison : de procédures apprises (des automatismes) d’une mémoire réactive des faits numériques (connaissances disponibles) d’une habileté à utiliser une décomposition pertinente des nombres de la capacité à s’adapter aux nombres en présence (l’initiative) d’une bonne estimation des grandeurs groupe math - 2012/13

Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 « L’acquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification » Les travaux conduits dans le domaine « Nombres et calcul » concourent dans leur diversité à construire la notion de nombre : par la construction de la numération par le calcul qui s’opère dans cette structure (la décomposition d’un nombre, le passage à la dizaine supérieure… ne peuvent être envisagés séparément, indépendamment) par la capacité à estimer des ordres de grandeurs, à arrondir (l’estimation des grandeurs est un puissant facteur des connaissances numériques). - par les problèmes de la vie courante : le calcul mental y étant permanent, mais pas toujours explicite, ni conscient… Malgré la technologie qui ne dispense pas d’un contrôle ou d’une anticipation ! Programmes 2008 – CP, CE1, CE2, CM1, CM2 groupe math - 2012/13

Procédures : repères pour le calcul mental – « Le nombre au cycle 2 » Compléter à 10 à la dizaine supérieure Compléter à 100 à la centaine supérieure Trouver le complément quand il s’agit de 10, multiples de 10, 100… Ajouter, retirer 10, 100 Calculer des additions en ligne Décomposition additive d’un nombre Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine ou centaine supérieure Compléter des égalités de type : 37 +18 = 47 + … A enseigner : 123 – 56 = 127 - 60 Extrait de « Le nombre au cycle 2 » groupe math - 2012/13

Procédures : repères pour le calcul mental – Cycle 3 ESTIMATION Distributivité (somme et différence par rapport au produit et quotient) Associativité 25 x 12 = 25 x 4 x 3 = 25 x 2 x 6 25 x 12 = 12 x 5 x 5 Multiplication, division par 10, 100… Multiplication par multiples de 10 Quotient et reste Multiples et diviseurs Extension au calcul avec les décimaux (voir C2 et ci-dessus) Compléter un décimal au naturel immédiatement supérieur, à la dizaine supérieure Des propositions…