Dans le cadre de la liaison cycle 3-6ème Dinan le 19 janvier 2005 Réunion pédagogique Dans le cadre de la liaison cycle 3-6ème Dinan le 19 janvier 2005 Inspection Pédagogique Régionale

De l’école primaire au collège L’évolution du statut des objets mathématiques Le mot « objet » est pris ici au sens large : On parlera des objets et notions géométriques ou numériques, mais aussi des langages Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale La géométrie Inspection Pédagogique Régionale

La géométrie à l’école primaire Différents types d’activités d’ordre essentiellement expérimental : Permettant de : Observer Reproduire Décrire Représenter Construire Localiser Mesurer sur des objets réels Objets usuels Maquettes Patrons Dessins A l’école primaire, la géométrie est « perceptive » : les élèves ont travaillé sur des objets « réels » (matériel pédagogique, maquettes). Les élèves les observent et les décrivent : ils en dégagent quelques unes de leurs propriétés. La géométrie est expérimentale : les propriétés (physiques) –alignement, égalité des longueurs, perpendicularité, axe de symétrie, parallélisme- sont vérifiées à l’aide des instruments : règle graduée, équerre, usage du calque par exemple. Les élèves du primaire ont rencontré des triangles, carrés, rectangles, losanges, cercle et dans l’espace le parallélépipède rectangle Inspection Pédagogique Régionale

La géométrie au collège Différents types d’activités Représentation Construction Argumentation : en s’appuyant sur des définitions et des propriétés Observation Description Sur des : Dessins Figures Objets usuels : solides et patrons Textes Mesures et calculs angles, distances, aires et volumes Au collège, on poursuit ce travail dans le monde des objets mathématiques en conceptualisant: on passe d’une connaissance perceptive de ces objets une connaissance de ces objets appuyée sur leurs propriétés. Différentes compétences sont travaillées : - Observer pour analyser Décrire pour communiquer et mobiliser des connaissances Représenter et construire : pour maîtriser les instruments de géométrie, assimiler et mobiliser des définitions et propriétés Calculer dans le domaine des grandeurs Argumenter et préparer la démonstration Inspection Pédagogique Régionale

De l’école au collège A l’école, les élèves ont travaillé sur les triangles, les quadrilatères, le cercle : description, reconnaissance, tracé, vérification (égalité de distances, parallélisme, angle droit)… Des acquis sur lesquels il faut s’appuyer au collège pour : stabiliser les connaissances des élèves (formalisation) Les structurer et les hiérarchiser Les faire évoluer Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale La conceptualisation Des changements de statut : Le passage de l’objet réel à l’objet mathématique, du dessin à la figure La différenciation progressive tout au long du collège des statuts des énoncés (conjecture, définition, propriété admise, propriété démontrée) La mise en place formalisée de certaines propriétés qui deviennent des outils de résolution de problèmes Une première structuration relative aux objets s’appuyant sur leurs propriétés Il est important d’amener progressivement l’élève à comprendre par exemple qu’une mesure est forcément approchée, donc qu’elle ne peut suffire à apporter la preuve que deux distances sont égales. Il est d’ailleurs intéressant de l’amener à s’interroger sur les causes d’erreurs (épaisseur de la mine de crayon, positionnement de l’instrument –règle, équerre, pointe du compas, centre du rapporteur-). Il doit progressivement percevoir que l’observation faite dans un cas de figure ne donne pas l’assurance qu’elle est générale, mais qu’elle doit être prouvée à l’aide des propriétés formalisées dans le cahier de cours. Etudier des situations où le résultat n’est pas perçu comme une évidence est essentiel. Même si le mot « conjecture » n’est pas introduit en sixième, l’élève doit comprendre qu’il y a différents types d’énoncés n’ayant pas tous le même statut. En primaire, on a travaillé sur des triangles et des quadrilatères. En sixième, on formalise certaines propriétés sur triangle isocèle, équilatéral, carré, rectangle, losange, cerf-volant, parallélogramme (5è) : cela permet de commencer la caractérisation des objets, par classification selon les propriétés communes : en particulier, un carré est un losance particulier, un rectangle particulier, mais un losange peut n’être ni carré, ni rectangle (cf Geoplan) Les programmes de sixième sont en continuité avec ceux du primaire, sans être en redondance : Les objets familiers sont caractérisés : Ex : le cercle est ainsi caractérisé par le fait que -tout point du cercle est à une même distance du centre -tout point situé à cette distance du centre est sur le cercle CF GEOPLAN Inspection Pédagogique Régionale

Des activités mathématiques permettant d’enrichir les langages vocabulaire et notations spécifiques En situation, au service des activités menées codage des données (distances, angles, orthogonalité) figures-clé et images mentales Apport des logiciels : contraintes, sens mathématique De développer : Une certaine maîtrise des instruments de géométrie Des compétences dans le domaine du raisonnement Le vocabulaire est introduit en situation dans des cas décrits par le programme : Figures téléphonées, décrire une figure, jeux du portrait pour trouver la figure choisie par le meneur de jeu dans un lot de figures Maîtrise des instruments avec des constructions aux instruments précisées : médiatrice, bissectrice… Apport des logiciels : Geoplan : Les contraintes : avec un carré Montrer le texte de la figure. Créer un cercle de centre un sommet passant par le milieu d’un côté pour faire apparaître les contraintes du logiciel en harmonie avec les objectifs des programmes. Le sens : image d’un segment par symétrie axiale Faire apparaître la trace de M’ quand M décrit le segment AB Inspection Pédagogique Régionale

Activité de construction Le problème : construire un losange ABCD Données : le côté [AB], la demi-droite [Ax) support de la diagonale [AC] Les points essentiels de l’activité: analyse grâce à une figure à main levée : la figure « visée » pour se représenter la situation Les codages associés L’identification des propriétés pertinentes Les différentes procédures de résolution : par les côtés, par les diagonales La rédaction de la définition ou de la propriété utilisée Les aspects didactiques à privilégier dans les activités de construction Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale Les nombres et le calcul Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale Evolution des nombres A l’école primaire, on rencontre des nombres entiers, Des nombres décimaux (positifs), Des fractions On introduit plusieurs écritures d’un même nombre Au long du collège, on va consolider puis introduire Des nombres rationnels (fractions) Des nombres négatifs (entiers, décimaux, rationnels) Des nombres irrationnels (en troisième) Un obstacle à surmonter : donner le statut de nombre à une fraction, relier les différentes écritures Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale Le statut de quotient A l ’école primaire - Début du travail relatif à la division euclidienne - Fraction : essentiellement en référence à un partage • En sixième - Prolongement de l ’étude de la division euclidienne - Division d’un décimal par un entier, quotient décimal - Nouvelle signification de l’écriture fractionnaire - Utilisation de "fractions" dans les processus de résolution - Au cycle 3, début du travail relatif à la division euclidienne ce qui signifie qu’une bonne partie des élèves présente une maîtrise incomplète: du point de vue du sens du point de vue des procédés de calcul. - Les fractions : référence au partage de l ’unité (4/3 c’est 4 fois le tiers de 1) - En 6ème, poursuite du travail sur le sens et l’interprétation des résultats obtenus - Procédures expertes à travailler sans recherche de virtuosité - Division décimale (2 entiers ou 1 décimal par un entier) - Ecriture fractionnaire: les 3 aspects fondamentaux (cf commentaires) sont à travailler en complémentarité. - En particulier, les "fractions" sont donc des nombres «utilisables » comme on l’a vu dans l’exemple précédent. NB : en 6e, l ’écriture a/b concerne avant tout des nombres entiers. Aucune compétence n’est exigible concernant l ’extension de la notation. Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale Les activités en sixième s'articulent sur trois idées fondamentales : le quotient a/b est un nombre (le nombre par lequel multiplier un nombre donné pour obtenir un résultat donné) le produit de a/b par b est égal à a le nombre a/b peut être approché par un décimal. Par exemple, 7/3 est un nombre que l'on pourra envisager comme 7 fois un tiers, le tiers de 7 ou le nombre qui multiplié par 3 est égal à 7 ; un nombre dont une valeur approchée est 2,33. Inspection Pédagogique Régionale

Inspection Pédagogique Régionale L’égalité des nombres Progressivement, différents statuts Les difficultés à utiliser certaines propriétés de l’égalité Inspection Pédagogique Régionale

Les statuts de l’égalité Les sens mathématiques de l’égalité À l’école primaire : l’égalité « résultat » (comme la touche = de la calculatrice) Utilisée aussi pour décomposer des nombres Au collège : L’égalité « résultat » mais dans le cas où le résultat est exact. la calculette affiche un nombre décimal qui n’est parfois qu’une valeur approchée Progressivement : l’égalité « énoncé d’une proposition » qui peut : être vraie, être fausse avec une difficulté supplémentaire quand on introduit des écritures littérales : des égalités toujours vraies (identités) des égalités parfois vraies (équations) Inspection Pédagogique Régionale

Des égalités « toujours » vraies Compter le nombre de carreaux grisés d’un carré de côté : 6, 10, … n carreaux Plusieurs méthodes donnant des nombres égaux n*n - (n - 2)*(n - 2) 4*n – 4 2*n + 2*(n – 2) Contexte de résolution de problème Activité de dénombrement : dégager une méthode quand on ne peut plus compter un à un. Décrire une procédure. Egalié : Dans les cas numériques : l’égalité est « l’égalité résultat » Quand on confrontera les différentes formules (en 5è par exemple), on aura une égalité traduisant une transformation d’écritures : une expression littérale a plusieurs écritures, qui sont donc « toujours » égales Inspection Pédagogique Régionale

Des égalités « parfois » vraies Trouver le côté d’un carré comme ceux ci-contre tel que le nombre de cases grisées soit égal à 208 Plusieurs façons de formaliser : l’opération à trous … * 4 – 4 = 208 l’équation 4*n – 4 = 208 Induisant des procédures différentes des élèves On va vers la notion d’équation dans laquelle le « trou » ou la lettre devient l’inconnue En sixième, l’opération à trous (addition, soustraction, multiplication) peut être abordée dans le cadre de la résolution de problèmes Exprimer en fonction d’une lettre se fait de façon prudente et limitée, par exemple pour exprimer le périmètre d’un carré en fonction de son côté. Inspection Pédagogique Régionale

Les propriétés de l’égalité la symétrie : une lecture privilégiée de gauche à droite l’égalité « résultat » : j’effectue et je trouve un nombre des activités de décomposition (en somme, en produit…) sont menées à l’école primaire, qu’il faut poursuivre Des exemples de situations intéressantes : document d’accompagnement des programmes de l’école primaire (calculatrices). La transitivité : deux « quantités » égales à une même troisième sont égales entre elles. A priori facile, mais difficile à utiliser en situation : L’exemple du concours des médiatrices des côtés d’un triangle. Beaucoup d’élèves, … ont une lecture de gauche à droite : le résultat est un nombre, donné parfois par la calculatrice, souvent perçu comme la valeur exacte, donc on effectue et on obtient qq chose de plus simple. L’aspect décomposition est présent à l’école : Faire une soustraction : trouver le complément à 10 ou à …en calcul mental, ce qui intervient dans l ‘opération posée. Faire une division : quand on cherche le plus grand multiple d’un diviseur (en 87, combien de fois 7…) Décomposition d’une fraction décimal en un entier (sa partie entière) plus une fraction décimale inférieure à 1. Des activités de cette nature sont dans le document d’accompagnement sur la résolution de problèmes à l’école primaire (faire 15, trouver par essais successifs le nombre de carrés et de triangles marqués sur les Cartes d’un jeu de 18 cartes, sachant qu’il y a 18 cartes… Il est essentiel de continuer à fréquenter ce genre de situation, en exercices de calcul mental au collège, dans le cadre de la résolution de problèmes pour améliorer la connaissance du rapport entre les nombres, qui sera utile pour déterminer un ordre de grandeur, vérifier, simplifier une écriture… Inspection Pédagogique Régionale

De l’école primaire au collège L’évolution du statut des objets mathématiques Le mot « objet » est pris ici au sens large : On parlera des objets et notions géométriques ou numériques, mais aussi des langages Inspection Pédagogique Régionale