ATHENEE ROYAL GATTI DE GAMOND 65, rue du Marais 1000-Bruxelles L’ARC-EN-CIEL Projet présenté par les élèves de 5ème et 6ème générales et de 6ème technique tourisme pour le Printemps des Sciences à l’ULB dans le cadre de l’OPERATION CHERCHEURS D’EAU 2004. Parrain: Jean Drabbe, Professeur Emérite à l’Université Libre de Bruxelles Professeur: Chantal Randour-Gabriel

Certains élèves ont réalisé des diaporama. INTRODUCTION Qui n’a pas rêvé après une pluie d’été, de découvrir un trésor au pied de l’arc-en-ciel déployé comme l’écharpe d’une déesse, ou de passer sous l’arche afin d’en percer le mystère? Ce rêve nous a entraînés dans un voyage à travers diverses disciplines. Une recherche en bibliothèque et sur internet nous a permis de découvrir divers aspects scientifiques, artistiques et philosophiques de l’Iris. Nous avons assisté à une présentation par Monsieur Eric Fierens, professeur à Gatti de Gamond, des divers mouvements artistiques depuis la Renaissance afin de mieux situer les peintres de l’arc-en-ciel. Chacun d’entre-nous a découvert un de ces artistes de manière plus approfondie. Nous avons visité l’experimentarium de l’ULB pour observer les phénomènes optiques. Monsieur John W.Turner, chercheur à l’ULB, nous a expliqué la physique de l’arc-en-ciel. Nous avons assisté à une table ronde mettant en présence les professeurs de cours philosophiques de Gatti sur le thème du Déluge et cherché les origines de ce cataclysme. Les élèves de l’option Tourisme ont parcouru Bruxelles à la découverte de l’iris, symbole de la ville et nom de la déesse qui incarnait le phénomène de l’arc dans la culture grecque.Ils ont réalisé une recherche sur les artistes bruxellois du XVIème siècle et l’architecture bruxelloise du début du XXème siècle. Certains élèves ont réalisé des diaporama. Nous avons enfin surtout étudié les aspects mathématiques de l’arc grâce aux conseils scientifiques de Monsieur Jean Drabbe, professeur Emérite de l’ULB. Nous avons crée des simulations à l’aide du logiciel Cabri-Géomètre TM et des modèles pour expliquer nos travaux aux visiteurs du Printemps de Sciences. Parc de Bruxelles, septembre 2004

Elèves ayant participé au projet: ACHERCKI Hanane AFLAH Hafsa BALKAR Gurpreet BEN ABID Mohammed BILGE Burçin BOJJALAB Mohammed BRUNO Alexandra BUELENS Virginie CASTANO Diana CHATCHOUA Milie CHELLAI Adil CHERIF Sabri CINAL Selda COSTERS Julie DE SCHUYTENEER Nora DIALLO Aissatou DIANZEYI Arnauld DOBRA Rexhep EL AZZOUTI Hamza EL BOUHLALI Sofeyan EL MADYOUNI Motacim ESSOH Laetitia FARRAG Mustapha GURI Lirim HAMANE Emilie HAMEL Fatima KASSAMBA Oumou KONE Aissata KUBULANA Jordan LETTANY Laeticia MERTENS Marie-laure MEULEMANS Nicolas MILEMBA Emilie MWANZA Cedric NASIM Asia NDOYE Fatou OBLIE Abu REGRAGUI Siham SABIR Aschar SAROUT Jamila SOUICI Amine TASPINAR Ozman VANBELLE Sidney VUZANTOKO Patrick

Madame Françoise Dupuis, Ministre de l’Enseignement supérieur, de l’Enseignement de Promotion sociale et de la Recherche scientifique en visite à notre stand.

OPERATION CHERCHEURS D’EAU 2003-2004 TITRES DES PROJETS PRESENTES PAR LES ELEVES DE GATTI DE GAMOND Les mathématiques de l’arc-en-ciel Les peintres de l’arc-en-ciel Bruxelles aux iris Le déluge et l’arc-en-ciel Les posters de l’exposition Quelques photos du Printemps des sciences à l’ULB

LES MATHEMATIQUES DE L’ARC-EN-CIEL Ce document présente les diverses constructions réalisées par les élèves avec Cabri-GéomètreTM. En cliquant sur les figures vous avez accès au fichier Cabri correspondant si vous disposez du logiciel.

L’arc-en-ciel est une illusion d’optique due à la dispersion de la lumière du soleil sur un mur d’eau. Pour apercevoir l’arc, il faut tourner le dos au soleil. On peut observer parfois un arc intérieur et un arc extérieur moins lumineux séparés par une bande foncée appelée bande sombre d’Alexandre, du nom du philosophe grec Alexandre d’Aphrodisias (200 av.J.C.). La lumière est réfléchie et réfractée à l’intérieur des gouttelettes. Comme l’indice de réfraction varie pour les différentes couleurs formant la lumière blanche, elles se séparent à la sortie de la goutte comme à la sortie d’un prisme.

Diffraction de la lumière blanche à travers un prisme

LA REFLEXION Arundel castle Turner

La lumière se réfléchit en empruntant aussi le plus court chemin. REFLEXION L’oiseau désire prendre le plus court chemin pour se rendre à son nid en passant boire à la rivière. Voici la solution optimale. cabri La lumière se réfléchit en empruntant aussi le plus court chemin.

LA REFRACTION Un sauveteur S cherche le plus court chemin pour sauver une personne N qui se noie. Le sauveteur court 2 (v) fois plus vite qu’il ne nage! Il y a une seule solution. Représentons la courbe du temps mis par le sauveteur pour atteindre le noyé, en fonction de x. Observons que cette courbe passe par un minimum qui correspond à l’intersection des fonctions sin i et v.sin r quand i est l’angle d’incidence et r l’angle de réfraction.

Lorsque la lumière passe d’un milieu dans un autre, elle change de vitesse. Elle cherche à minimiser le temps parcouru, comme le sauveteur.

Démontrons que le temps mis par le sauveteur passe par un seul minimum qui correspond à sin i = v.sin r

REFLEXION ET REFRACTION Les lois de la réflexion de la lumière sont connues depuis l' Antiquité. Héron d'Alexandrie les justifie par le principe du chemin minimum auquel Fermat (17ème siècle) fera appel pour l'étude de la réfraction. La formulation qu'en donne Isaac Newton dans l'édition du 1730 de son Opticks est déja une formulation moderne. Voici un extrait du Premier Livre (basé sur des définitions et des axiomes ) : DEFIN[ITION] IV . The Angle of Incidence is that Angle, which the Line described by the incident Ray contains with the Perpendicular to the reflecting or refracting Surface at the point of Incidence. DEFIN[ITION] V . The Angle of Reflexion or Refraction, is the Angle which the line described by the reflected or refracted Ray containeth with the Perpendicular to the reflecting or refracting Surface at the Point of Incidence. AX[IOM] I . he Angles of Reflexion and Refraction, lie in one and the same Plane with the Angle of Incidence. AX[IOM] II . The Angle of Reflexion is equal to the Angle of Incidence. AX[IOM] V. The Sine of incidence is…in a given Ratio to the sine of Refraction.

L’ARC PRIMAIRE Le rayon lumineux entre dans la goutte et se réfléchit une fois au fond de la goutte avant de ressortir. Christoffer Wilhem Eckersberg peintre néoclassique danois 1783-1853 Thorvaldsen ’s boat arriving in Copenhagen 1838 Thorvaldsens Museum Copenhague

Les rayons incident et émergent sont situés dans le plan du rayon incident comprenant le centre de la goutte puisque la normale à la surface de la goutte est un de ses rayons. Rayon solaire incident Rayon sorti de la goutte après 1 réflexion

Les diverses couleurs ayant des indices de réfraction différents, les couleurs émergent dans différentes directions. cabri

En dessinant les chemins parcourus par 3 rayons lumineux parallèles assez proches, on s’aperçoit que les rayons émergents correspondants ne restent pas parallèles sauf aux abord d’un angle particulier (ici 59°6) comme sur la page suivante.

Dans ce cas l’énergie lumineuse du rayon incident sera mieux conservée à la sortie. Comment trouver mathématiquement ce « meilleur » angle d’incidence?

L’angle phi de déviation entre le rayon incident et le rayon émergent varie en fonction de l’angle d’incidence. Il passe par un angle im minimum. C’est pour cet angle que la déviation étant minimale, des rayons incidents ayant des angles d’incidence proches émergeront en faisceau parallèle et donneront une meilleure visibilité.

Calcul de l’angle d’incidence donnant la déviation minimale

Chaque couleur a son meilleur angle d’incidence!

détail de La jeune fille aveugle 1856 ARC SECONDAIRE Le rayon lumineux entre dans la goutte et se réfléchit deux fois dans la goutte avant de ressortir. John Everest Millais 1829-1896 détail de La jeune fille aveugle 1856

La déviation entre le rayon incident et le rayon émergent passe par un minimum pour un angle incident im. Dans ce cas le rayon émergent sera plus lumineux.

ARC SECONDAIRE Pour chaque couleur un angle incident particulier donnera la plus forte luminosité au rayon émergent pour former l’arc secondaire.

Calcul de l’angle incident donnant la déviation minimale entre le rayon incident et le rayon émergent dans l’arc secondaire pour n donné.

Chaque couleur possède son angle d’incidence donnant la meilleure intensité lumineuse au rayon émergent pour l’arc primaire et au rayon émergent pour l’arc secondaire (qui sera bien sûr plus faible). Les rayons qui arrivent dans l’oeil de l’observateur forment un cône dont le demi-angle au sommet vaut 180°- phim (où phim est la valeur minimum prise par la déviation entre rayons incident et émergent).

Les couleurs des 2 arcs sont inversées!

La figure Cabri permet de fabriquer les demi-cônes pour avoir un modèle des arcs primaire et secondaire en 2 couleurs

Voici une représentation 3d montrant les rayons rouges de l’arc primaire arrivant dans l’oeil d’un observateur.

BIBLIOGRAPHIE SLICING PIZZAS,RACING TURTLES, AND FURTHER ADVENTURES IN APPLIED MATHEMATICS Robert B.Banks Princeton University Press 1999 THE RAINBOW, FROM MYTH TO MATHEMATICS Carl B.Boyer 1959 THE BOOK OF RAINBOWS, ART, LITERATURE, SCIENCE, & MYTHOLOGY Richard Whelan First Glance Books 1997 THE RAINBOW BRIDGE, RAINBOWS IN ART, MYTH, AND SCIENCE Raymond L.Lee, Jr., and Alistair B.Fraser Pennsylvania State University Press 2001 http://sol.sci.uop.edu/~jfalward/physics17/chapter12/chapter12.html RETOUR AU MENU