La méthode d’Euler pas à pas Au départ, il y a : - une équation différentielle du premier degré y’(t) = d(y(t))/dt = fonction de y(t) qu’on ne sait pas nécessairement résoudre... - une condition initiale : c’est à dire une valeur que l’on connaît : Par exemple : y(0) = y 0

Par définition, y’(t) = lim  t-->0 ([ y(t+  t) - y(t)]/  t) Un peu de math... En physique, pour un intervalle de temps  t suffisamment petit (mais fini et défini) : y’(t)  [y(t+  t) - y(t)]/  t d ’où y(t+  t)  y(t) + y’(t).  t on note  y(t) = y(t +  t) - y(t)  y(t)  y’(t).  t

 y(t) = y(t +  t) - y(t) y(t +  t) = y(t) +  y(t) Reprenons : Tout cela à chaque instant t...  y(t) = y’(t).  t A partir de là : quand le mathématicien écrit  le physicien écrit = ; mais ne perdez pas de vue que le résultat est approché !

 y(t) = y’(t).  t y(t +  t) = y(t) +  y(t) Et n’oublions pas que nous connaissons une équation différentielle du premier degré : donc... y’(t) = fonction de y(t)    Et nous connaissons aussi une valeur de y(t) : c’est la condition initiale : y(0) = y 0 

 y(t) = y’(t).  t y(t +  t) = y(t) +  y(t) y’(t) = fonction de y(t)    Je connais y(0), je calcule y’(0) Je connais y’(0), je calcule  y(0) Je fixe un  t (petit) Je connais y(0) et  y(0), je calcule y(0+  t) Maintenant je connais aussi y(t 1 ) avec t 1 = 0 +  t  Condition initiale y(0)

  Je connais y(t 1 ) Je connais y’(t 1 ) Je connais y(t 1 ) et  y(t 1 ) Maintenant je connais aussi y(t 2 ) avec t 2 = t 1 +  t On continue ?  je calcule y’(t 1 ) je calcule  y(t 1 ) je calcule y(t 1 +  t)

y(t 2 )   y’(t 2 )  y(t 2 ) y(t 2 +  t) Maintenant je connais aussi y(t 3 ) avec t 3 = t 2 +  t  Et ainsi de suite : c’est une méthode itérative

Le mieux est encore d’utiliser un un exemple concret La décharge d’un condensateur chargé

La loi des tensions permet d'écrire à chaque instant que u C + u R = 0 (avec les conventions du schéma) soit u C + RC du C /dt = 0

 u C (t) = u C ’(t).  t y(t +  t) = y(t) +  y(t) u C ’(t) = - (1/RC).u C (t)    u C ’(0)= - (1/RC).u C (0)  u C (0) = - (1/RC).u C (0).  t Je fixe un  t (petit) u C (0+  t) = u C (0) - (1/RC).u C (0).  t t 1 = 0 +  t u C (t 1 ) est connu  Condition initiale u C (0)

Et si on voyait ça avec un tableur ? Ouvrir le fichier Excel