Taux ponctuel, valeur limite Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous développerons une approche algébrique pour évaluer le taux de variation ponctuel.

Taux de variation ponctuel DÉFINITION Taux de variation ponctuel (c+∆x; f(c+∆x)) Soit f une fonction et (c; f(c)) un point du graphique de cette fonction. Le taux de variation ponctuel (TVP) de la fonction f au point d’abscisse a est la valeur limite des taux de variation moyens sur un intervalle [c; c+∆x] lorsque la largeur ∆x de l’intervalle s’approche de 0. ∆y (c; f(c)) ∆x On se souvient que le taux de variation moyen dans [c; c + ∆x] est : Le taux de variation ponctuel au point d’abscisse c est : dy dx c ∆y ∆x [c; c+∆x] f(c + ∆x) – f(c) ∆x lim ∆x® 0 = Lorsque le point Q s’approche du point P, la sécante pivote autour du point P et à la limite, lorsque ∆x devient nul, la sécante devient la tangente au point (c; f(c)). Graphiquement, c’est la pente de la tangente au point (c; f(c)). S S

Évaluation algébrique du taux de variation ponctuel PROCÉDURE d’évaluation algébrique du taux de variation ponctuel 1. Évaluer f(c). 2. Évaluer f(c+∆x). 3. Évaluer la variation ∆y = f(c+∆x) – f(c) en effectuant les simplifi-cations pertinentes. 4. Évaluer le TVM dans l’intervalle [c; c+∆x] et effectuer les opérations algébriques pertinentes. 5. Évaluer la limite du TVM lorsque ∆x tend vers 0. Pour alléger l’écriture dans les manipulations algébriques, on représente souvent la variation ∆x par la lettre h.

Exemple 3.3.1 Déterminer le taux de variation ponctuel en c = 2 de la fonction définie par la règle de correspondance : f (x) = 2x2 – 3 1. f(2) = 2(2)2 – 3 = 5 2. f(2 + h) = 2(2 + h)2 – 3 = 2(4 + 4h + h2) – 3 = 8 + 8h + 2h2 – 3 = 5 + 8h + 2h2 3. ∆y = 5 + 8h + 2h2 – 5 = 8h + 2h2 4. = 8 + 2h 5. Selon cette procédure, le taux de variation ponctuel au point (2; 5) est égal à 8. S S S

Exemple 3.3.2 Trouver le taux de variation instantané de la position d’une balle lancée verticalement avec une vélocité de 20 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par : s = 20t – 4,9t2 mètres 1. s(3) = 20´3 – 4,9(3)2 = 15,9 m 2. s(3+h) = 20(3+h) – 4,9(3+h)2 = 20(3+h) – 4,9[9 + 6h + h2] = 15,9 – 9,4h – 4,9h2 3. ∆s = –9,4h – 4,9h2 4. = –9,4 – 4,9h 5. Selon cette procédure, le taux de variation ponctuel à t = 3 s est de –9,4 m/s. La balle retombe à une vitesse de 9,4 m/s. S S S

Exemple 3.3.3 Le chimiste anglais Robert Boyle (1627-1691) a réalisé une expérience qui a permis de montrer que le volume occupé par un gaz à température constante est inversement proportionnel à la pression exercée sur ce gaz. L’expérience consistait à emprisonner un gaz dans un tube de verre recourbé comme dans l’illustration. Le rayon du tube étant constant, la hauteur de la colonne de gaz permet de trouver son volume. De plus, en ajoutant du mercure, la pression exercée sur le gaz augmente et la mesure de cette pression est donnée par la différence de hauteur h en pouces de mercure. En répétant l’expérience, on a obtenu : où V est le volume (po3) et p est la pression (po de mercure dont le symbole est Hg). S S

Exemple 3.3.3 Trouver le taux de variation ponctuel du volume lorsque la pression est de 30 po de Hg. Interpréter selon le contexte. 1. 2. 3. 4. 5. = –1,56 Le volume de gaz emprisonné dans le tube de verre tend à diminuer de 1,56 pouces cubes pour une augmentation de 1 pouce de mercure de la pression lorsque la différence de hauteur est de 30 po. S S S

Exemple 3.3.4a Évaluer le taux de variation à t = 0 de la fréquence de rotation d’une roue d’inertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : h h –0,5 –0,26629 0,5 –0,23501 v = 300 e– 0,25t t/min –0,1 –0,25315 0,1 –0,24690 1. v(0) = 300 e 0 = 300 t/min –0,01 –0,25031 0,01 –0,24699 –0,001 –0,25003 0,001 –0,24998 2. v(0 + h) = 300 e–0,25h = 300 e–0,25h t/min 3. ∆v = 300 e–0,25h – 300 = 300 (e–0,25h – 1) t/min 4. Il n’y a pas de simplification possible de cette expression et si on substitue 0 à h, on obtient 0/0, ce qui est indéterminé. Pour évaluer la limite, nous devons prendre une approche numérique. Pour simplifier le travail, on peut considérer seulement le rapport : S S S

Exemple 3.3.4a Évaluer le taux de variation à t = 0 de la fréquence de rotation d’une roue d’inertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : v = 300 e– 0,25t t/min 1. v(0) = 300 e 0 = 300 t/min 2. v(0 + h) = 300 e–0,25h = 300 e–0,25h t/min 3. ∆v = 300 e–0,25h – 300 = 300 (e–0,25h – 1) t/min 4. 5. = 300´–0,25 = –75 t/min2 L’accélération angulaire, à l’instant initial, est de –75 t/min2, ce qui signifie qu’à cet instant, la fréquence de rotation de la roue tend à diminuer de 75 t/min par minute. S S S

Exemple 3.3.4b Évaluer le taux de variation à t = 2 de la fréquence de rotation d’une roue d’inertie si cette fréquence, t minutes après la mise hors tension, est : Certains limites particulières, une fois évaluées, vont nous servir pour développer une approche plus générale de recherche de la tangente à la courbe. v = 300 e– 0,25t t/min 1. v(2) = 300 e–0,5 t/min 2. v(2 + h) = 300 e–0,5 –0,25h = 300 e–0,5 e–0,25h t/min 3. ∆v = 300 e–0,5 e–0,25h – 300e–0,5 = 300e–0,5 (e–0,25h – 1) t/min 4. 5. = 300e–0,5´–0,25 = –45 t/min2 L’accélération angulaire à la deuxième minute est de –45 t/min2, ce qui signifie qu’à cet instant, la fréquence de rotation de la roue tend à diminuer de 45 t/min par minute. S S S

Conclusion Nous avons développé une approche algébrique pour calculer le taux de variation ponctuel. Cependant, cette procédure soulève une question fondamentale : Peut-on vraiment simplifier l’expression obtenue à l’étape 4, puisqu’en posant h = 0, on obtient 0 divisé par 0? Cette procédure semble vicieuse. Est-il possible de lui donner un fondement solide? C’est ce que nous saurons dans les prochains épisodes.

Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.3, p.90-98. Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, Section 3.4, p. 99-102.