Modélisation Bond Graph 4- Mécanique 4.1 Systèmes plans 4.2 Dynamique du solide – Multi-Bond graph PAG + FM

4.1 Systèmes plans Pendule de longueur variable r x,y positions du centre de masse m En introduisant les vitesses : Utiles au PFD Le BG contiendra donc les trois jonctions suivantes Permet de calculer l’élongation et donc l’effort dans le ressort Introduction de Vr uniquement par commodité d’expression effort ressort : représentation redondante ( variables x et y auraient suffit ) MAIS !! Aux conditions initiales qui doivent satisfaire la relation r=f(x,y) 1 : Vx I : m Se : mg 1 : Vy I : m 1 : Vr C : 1/K ! Les vitesses Vx, Vy et Vr sont liées entre elles

Construction de la vitesse vr par une jonction 0 et transformateurs modulés ( mx, my) MTF : mx Fx 1:vx ∫  x MTF : my Fy 1:vy ∫  y 0:Fr Fr vr 1:vr x et y sont nécessaires au calcul de mx et my

∫  x ∫  y BG global : I : m 1:vx MTF : mx 0:Fr C : 1/K 1:vy MTF : my Fx ∫  x 1:vx MTF : mx Fr Fr 0:Fr C : 1/K vr Fy ∫  y 1:vy MTF : my Fr Se : mg I : m Trois variables d’état au lieu de deux  redondance par soucis de simplification traduction comportement ressort / BG non minimum (rang) Simulations  !CI

Suspension 2D Déplacements notés Y, θ, x1 et x2. Vitesses : vx1 , vx2 , vy , ω Déplacement du centre de masse uniquement selon Y Hypothèse des petits angles Relations géométriques : Le BG contiendra donc les jonctions suivantes 1 : ω I : J R:b1 1 : Vx1 C : 1/K1 R:b2 1 : Vx2 C : 1/K2 Se : Mg 1 : Vy I:M

Première traduction possible des relations géométriques Transformateur multi-lien : 1 : Vx1 1 : Vy TF : mij 1 : ω 1 : Vx2 Ecriture qui correspond à la dérivée des relations géométrique Traduction causalité : vx1 et vx2 calculés et vy , oméga imposés Les flux VY et ω sont imposés Les flux Vx1 et Vx2 sont calculés

C:1/K1 I : M 1 : Vx1 R:b1 Se:Mg 1 : Vy TF : mij I : J 1 : ω R:b2 1 : Vx2 C:1/K2

C:1/K2 I : M 0 : Fx2 1 : Vx2 R:b2 Se:Mg 1 : Vy R:b1 TF : b 1 : Vx1 0 : Fx1 TF : 1/a 1 : ω I : J Quatre éléments sont en causalité intégrale C:1/K1

seconde traduction possible des relations géométriques C:1/K2 I : M 1 : Vy 0 : Fx1 TF : m2 1 : Vx2 R:b2 Se:Mg TF : m1 TF : n2 R:b1 1 : Vx1 0 : Fx2 TF : n1 1 : ω C:1/K1 I : J Deux solutions possibles de causalité intégrale

Toutes deux mènent à une boucle de causalité (orientation dans le même sens sur tous les liens) : implique qu’une variable dépend d’elle-même Difficultés de résolution Pour « casser » cette boucle  impose causalité dérivée sur l’élément I:J Aucune boucle de causalité mais I;J est en causalité dérivée : il existe donc une relation algébrique entre les vitesses comme pour la boucle de causalité Première méthode meilleure (pas de boucle de causalité) Plusieurs BG peuvent représenter le même système physique. Règle : on impose les vitesses qui dépendent des éléments intertiels et on en déduit les vitesses génératrices dans les éléments R et C Pour des systèmes plus complexes, cette règle est plus délicate à appliquer, il faut «essayer»plusieurs BG.

Énergie stockée fonction de n variables de moment généralisé Elément I multiporte Énergie stockée fonction de n variables de moment généralisé p°2 f2 p°1 p°n I fn f1 Illustration : suspension 2D Fx1=p°1 Fx2=p°2 I Vx1=f1 Vx2=f2

Énergie stockée fonction de n variables de déplacement Elément C multiporte Énergie stockée fonction de n variables de déplacement e2 q°2 e1 en C q°n q°1 Illustration : Condensateur à armature mobile F u F C q°=i x°=v x Énergie stockée fonction de deux variables de déplacement q,x Armature fixe avec

C R GY : Gij ELEMENTS DE MULTI-BOND GRAPH Eléments multi-porte de stockage e e e C R f f f Gyrateur multi-porte n liens e1 e2 GY : Gij f1 f2 m liens

Transformateur multi-porte n liens e1 Tij e2 f1 f2 m liens nx1 mx1 e11 e21 mxn 1 TF : t11 1 f21 f11 TF : tn1 TF : tn1 e1m e2n 1 1 TF : mn f1m f2n Les coefficients de la matrice T peuvent être modulés par une ou plusieurs variables

Jonctions m(1) n n nxm TABLEAU de jonction 0 n fois m(n) Elément multi-porte 0 1 m m

4.2 DYNAMIQUE DU SOLIDE But :étude du mouvement d’un solide dans l’espace Repère des axes principaux d’inertie Repère attaché au corps solide indéformable. Il passe par le centre de gravité G du solide. Dans ce repère, les produits d’inertie sont nuls. La matrice d’inertie est diagonale positive. Equations d’Euler V: vitesse du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie. ω: vitesse de rotation du centre de gravité par rapport à un repère fixe et exprimée dans le repère des axes principaux d’inertie.

F: force appliquée au solide exprimée dans repère des axes principaux d’inertie. Γ: couple appliqué au solide exprimé dans repère des axes principaux d’inertie. Equations d’Euler ( dans ce repère) Modélisation par BG Les liens matérialisent les efforts et le flux  vecteurs de dimension 3. De même un signal vectoriel (ici, de dimension 3) est représenté par un double trait terminé par une flèche pleine.

1:VG 1:ω I:M I:J 0:F 0:C EJS-F EJS-C I:M désigne la matrice masse diagonale, chaque terme diagonal vaut m. EJS-C signifie EulerianJunctionStructure pour les couples, et EJS-F EulerianJunctionStructure pour les forces. La «bulle» EJS-C du BG, calcule les termes non linéaires de l’équation d’Euler. EJF-F calcule les termes de l’équation d’Euler (Forces) contenant les produits de vitesse de rotation par vitesse de translation. Il faut donc fournir le vecteur signal ω matérialisé par la flèche pleine.

I:Jx Jz K Se:Гx 1:ωx MGY MGY K Jx Se:Гy 1:ωy MGY 1:ωz Se:Гz K Jy I:Jy I:Jz La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien

I:Mx Se:Fx 1:Vx MGY MGY Se:Fy 1:Vy MGY 1:Vz Se:Fz I:My I:Mz La jonction EJS-C est représentée en BG mono-lien I:Mx ωy ωz Mz K K My Se:Fx 1:Vx MGY MGY Se:Fy 1:Vy MGY 1:Vz Se:Fz Les gains K : Mx, My et Mz représentent la même masse Le BG précédant permet le calcul des composantes de la vitesse de rotation qui sont transmises sous formes de signaux Mx K I:My I:Mz ωx Des forces fixes comme la gravité ne peuvent pas être appliquées directement sur ces BG car dans ces BG les vecteurs (force, vitesse, couple)sont exprimés dans le repère des axes principaux d’inertie et pas la gravité.

CHANGEMENT DE REPERE Généralités Notons rkV un vecteur colonne V exprimé dans le repère Rk Passage du repère de départ 1 au repère d’arrivée 2. Notons A12 la matrice associée au changement de base: r1v = A12.r2V Connaissant le vecteur r2V calculé dans la base d’arrivée (2) cette relation calcule les coordonnées r1V du même vecteur exprimées dans la base de départ (1). A12 commence donc par l’indice de la base de départ A12 est formée des cosinus directeurs des vecteurs de base du repère 2 exprimés par rapport au repère 1.

Notation : s =sinus et c =cosinus Exemple : Considérons la rotation autour de l’axe z et d’angle ψ> 0 qui transforme le repère de départ 1 en repère 2. y2 y1 x2 ψ x1 La matrice de passage A1 possède en première colonne les cosinus directeurs du vecteur i2 de la base 2 dans la base 1. La deuxième colonne est formée à partir des cosinus directeurs du vecteurj2. Le déterminant d’une matrice de rotation est égal à 1. Remarques :L’inverse d’une matrice de rotation est égale à la matrice transposée. La composition de plusieurs rotations de même centre est une rotation. A23A12 A13 Connaissant un vecteur dans la base de départ, il est souvent utile de calculer ce même vecteur dans la base d’arrivée. Si la transformation est une rotation, Il suffit alors de changer le signe de l’angle de rotation :V1r12AV1r12AV1r12AV2rT-1 Modélisation BG ENSAM Paris ( M. Vergé) 8 Notation : s =sinus et c =cosinus

Ce signal « transporte » donc une matrice à 9 composantes. Modélisation BG : Changement de base par rotation se représente en BG par un transformateur modulé alimenté par un signal ayant pour composantes les termes de A12. Noter la causalité Ce signal « transporte » donc une matrice à 9 composantes. Signal = matrice r1v = A12.r2V Applications : coordonnées eulériennes : passage R0 fixe à R3 attaché au solide (repère axes principaux d’inertie) (transformation rotation sur z angle phi, rotation sur x angle teta, rotation sur z angle psi Coordonnées Lacet Roulis Tangage (véhicule, aérospacial) Coordonnées de Cardan : roulis lacet tangage 1: r2V MTF: A12 1: r1V r1V=A12.r2V Remarque :il y a conservation de puissance, car : r2F=A12T.r1F r2FT . r2V = r1FT . A12 . r2V = r1FT . r1V

SOLIDE INDEFORMABLE en Mouvement Représentation d’un solide par BG, on effectue trois étapes: •Représenter les vitesses (étude cinématique). •Connecter les vitesses par des liens, des jonctions et des MTF  exprimer les relations entre les vitesses absolues de deux points d’un même solide (indéformable)  représenter la cinématique du solide •Étudier la dynamique en incluant les sources d’effort (inerties et forces extérieures)  introduction des équations d’Euler. Présence de produits vectoriels  transformateurs (matrices associées au produit vect.)