Écart moyen et écart type

L’écart moyen et l’écart type sont des mesures statistiques servant à mesurer la dispersion ou la concentration des données d’une distribution statistique. Les deux expriment l’écart des données par rapport à la moyenne d’une distribution. L’écart moyen noté EM se calcule par: L’écart type noté σ se calcule par: EM = ∑ │xi – μ │ n σ = ∑ (xi – μ )2 n Regardons comment calculer chacun.

∑ signifie additionner toutes les données, L’écart moyen Prenons une distribution représentant les résultats d’un groupe de 14 étudiants à un examen. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 La première étape consiste à déterminer la moyenne de cette distribution. μ = ∑ xi n μ signifie la moyenne; xi signifie chacune des données; ∑ signifie additionner toutes les données, c’est le symbole de sommation; n signifie le nombre de données. 616 14 Dans cette distribution, μ = = 44

La deuxième étape consiste à calculer en valeur absolue, l’écart entre chacune des données et la moyenne. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 │xi – μ │ 3 Exemple: │xi – μ │ 13 3 14 20 12 46 4 2 15 7 Individu 1 : │ 41 – 44 │ = │- 3 │ = 3 Individu 2 : │ 57 – 44 │ = │13 │ = 13 et ainsi de suite.

∑ │xi – μ │ ∑ │xi – μ │ : ∑ │xi – μ │ La dernière étape consiste à additionner tous ces écarts et à diviser par le nombre de données. ∑ │xi – μ │ n Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 │xi – μ │ 3 13 ∑ │xi – μ │ : 3 14 20 12 46 4 2 15 7 ( 3 + 13 + 3 + 14 + 20 + 12 + 46 + 4 + 2 + 15 + 20 + 2 + 3 + 7 ) = 164 ∑ │xi – μ │ n 164 14 = ≈ 11,71 EM = ∑ │xi – μ │ n ≈ 11,71 L’écart moyen est donc la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne.

Voici une distribution représentant les notes au deuxième examen du même groupe. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 67 │xi – μ │ 8,8 3,8 8,2 0,2 7,2 5,8 0,8 2,2 1,2 1,8 4,8 3,2 μ ≈ 63,8 EM ≈ 4,2

Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 │xi – μ │ 20 46 15 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 67 │xi – μ │ 8,8 3,8 8,2 0,2 7,2 5,8 0,8 2,2 1,2 1,8 4,8 3,2 EM ≈ 11,71. EM ≈ 4,2 Plus EM est petit et plus les données sont concentrées autour de la moyenne.

L’écart type L’écart type est un procédé qui ressemble à celui de l’écart moyen. Exemple: Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 ( xi – μ )2 Reprenons la distribution représentant les résultats du groupe de 14 étudiants au premier examen. 9 169 µ = 44 9 196 400 144 2 116 16 4 225 49 Au lieu de calculer l’écart de chaque donnée à la moyenne en utilisant la valeur absolue, on le fait en indiquant l’écart au carré. Exemple: ( xi – μ )2 Individu 1 : ( 41 – 44 )2 = ( -3 )2 = 9 Individu 2 : ( 57 – 44 )2 = ( 13 )2 = 169 et ainsi de suite.

La prochaine étape consiste à faire la somme des ces écarts au carré et à diviser par le nombre de données. ∑ (xi – μ )2 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 ( xi – μ )2 169 196 400 144 2 116 16 225 49 ( 9 + 169 + 9 + 196 + 400 + 144 + 2 116 + 16 + 4 + 225 + 400 + 4 + 9 + 49 ) = 3 750 ∑ (xi – μ )2 n 3 750 14 = ≈ 267,86 La dernière étape consiste à extraire la racine carrée de ce total. σ = ∑ (xi – μ )2 n ≈ 267, 86 ≈ 16,4 Remarque: En statistique, la somme des écarts au carré ( avant l’extraction de la racine carrée ) s’appelle la variance.

Le fait de calculer au carré les écarts à la moyenne de chaque donnée, nous assure pour chaque calcul un résultat positif. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 ( xi – μ )2 169 196 400 144 2 116 16 225 49 Exemple: Individu 1 : ( 41 – 44 )2 = ( -3 )2 = 9 Cependant, le résultat n’est plus dans la même unité de mesure. Dans l’exemple ci-contre, chaque écart ne représente par une différence de notes avec la moyenne mais une différence de notes au carré. C’est pourquoi, une fois la moyenne des écarts au carré calculée, on extrait la racine carré pour revenir à la même unité de mesure.

L’écart type est donc la racine carrée de la moyenne des valeurs au carré des écarts à la moyenne. Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 67 Reprenons la distribution représentant les résultats du groupe de 14 étudiants au deuxième examen. ( xi – μ )2 77,44 14,44 67,24 0,04 51,84 33,64 0,64 4,84 1,44 3,24 23,04 10,24 μ ≈ 63,8 σ ≈ 5,03

Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 41 57 30 24 32 90 40 42 29 64 47 37 ( xi – μ )2 169 196 400 144 2 116 16 225 49 Individus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Notes 55 60 72 64 71 58 63 66 65 62 59 67 ( xi – μ )2 77,44 14,44 67,24 0,04 51,84 33,64 0,64 4,84 1,44 3,24 23,04 10,24 σ ≈ 16,4 σ ≈ 5,03 Plus σ est petit et plus les données sont concentrées autour de la moyenne.

Remarque: Ce sont surtout des raisons de facilité de calcul qui ont amené les statisticiens et statisticiennes à utiliser l’écart type. L’analyse d’une fonction du second degré est plus simple que celle d’une valeur absolue.

Le tableau ci-dessous indique le nombre de points en saison régulière de 5 équipes de la Ligue nationale de hockey. Classe ces équipes par ordre croissant de leur moyenne de points en saison régulière. Équipe: μ Canadiens 91,4 Maple Leafs 93 Avalanche 98 Sénateurs 105,4 Red Wings 114,2

Laquelle de ces équipes a été la plus constante au cours de ces 5 saisons ? Pour répondre à cette question, il faut calculer l’écart type. Équipe: σ Canadiens 8,64 Maple Leafs 6,9 Sénateurs 7,17 Red Wings 5,34 Avalanche 4 L’équipe la plus constante est l’Avalanche car elle possède le plus petit écart type.