Chapitre IX : Les modèles dynamiques en économétrie IX.1. Modèle statique et modèle dynamique. IX.2. Opérateurs et polynômes de retards. IX.3. Chocs temporaires et chocs permanents. IX.4. Retard médian et retard moyen. IX.5. Exemple la consommation de tabac en France. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

IX.1. Modèles statiques et modèles dynamiques Dans une régression sur des séries temporelles, un modèle statique : présente souvent une autocorrélation des erreurs C’est le signe que le modèle est dynamiquement mal spécifié. 𝑦 𝑡 = 𝒙 𝑡 ′ 𝜷 0 + 𝑢 𝑡 Ajout de variables explicatives retardées d’une ou plusieurs périodes : 𝒙 𝑡−1 , 𝒙 𝑡−2 , …  Modèle à retards échelonnés (Distributed Lags) 𝑦 𝑡 = 𝒙 𝑡 ′ 𝜷 0 + 𝒙 𝑡−1 ′ 𝜷 𝟏 + 𝒙 𝑡−2 ′ 𝜷 𝟐 +…+ 𝒙 𝑡−𝑞 ′ 𝜷 𝒒 + 𝜀 𝑡 = 𝑖=0 𝑞 𝒙 𝑡−𝑖 ′ 𝜷 𝒊 + 𝜀 𝑡 𝑞 indique l’ordre (le nombre) de retards échelonnés. L’estimation d’un tel modèle ne pose aucune difficulté pour autant que les variables explicatives retardées soient non corrélées avec le terme d’erreur. 𝐸 𝒙 𝑡−𝑠 𝜀 𝑡 =𝟎 pour tout 𝑡 𝑒𝑡 𝑠≥0 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) L’estimateur MCO est convergent sous l’hypothèse d’exogénéité faible. Il faut que les régresseurs soient prédéterminés. Voir la Section 4.3 sur les propriétés asymptotiques de l’estimateur MCO sur séries temporelles. Mais il y a un problème de non convergence si l’erreur est autocorrélée… Expliquez pourquoi ? Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Introduction d’une ou plusieurs variables expliquées (dépendantes) retardées : 𝑦 𝑡−1 , 𝑦 𝑡−2 , …, pour obtenir :  Modèle autorégressif (Autoregressive Model) 𝑦 𝑡 = 𝜆 1 𝑦 𝑡−1 + 𝜆 2 𝑦 𝑡−2 +…+ 𝜆 𝑝 𝑦 𝑡−𝑝 + 𝒙 𝑡 ′ 𝜷+ 𝜀 𝑡 = 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑦 𝑡−𝑗 + 𝒙 𝑡 ′ 𝜷+ 𝜀 𝑡 p indique l’ordre du processus autorégressifs : le nombre de variables dépendantes retardées. L’estimation par MCO ne pose pas de problème particulier si le terme d’erreurs est imprédictible avec le passé des variables 𝑦 𝑡−𝑠 : 𝐸 𝑦 𝑡−𝑠 𝜀 𝑡 =0 pour tout 𝑡 𝑒𝑡 𝑠>0 Mais l’estimation est non convergente si les erreurs sont autocorrélées. Voir dans les notes de cours une exemple… Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) On peut combiner ces deux modèles pour obtenir un Modèle autorégressif à retards échelonnés (Autoregressive Distributed Lags Model) qui est noté : ADL(p,q) ou ARDL(p,q) : 𝑦 𝑡 = 𝜆 1 𝑦 𝑡−1 + 𝜆 2 𝑦 𝑡−2 +…+ 𝜆 𝑝 𝑦 𝑡−𝑝 + 𝒙 𝑡 ′ 𝜷 0 + 𝒙 𝑡−1 ′ 𝜷 𝟏 + 𝒙 𝑡−2 ′ 𝜷 𝟐 +…+ 𝒙 𝑡−𝑞 ′ 𝜷 𝒒 + 𝜀 𝑡 𝑦 𝑡 = 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑦 𝑡−𝑗 + 𝑖=0 𝑞 𝒙 𝑡−𝑖 ′ 𝜷 𝒊 + 𝜀 𝑡 On a donc un modèle dynamique linéaire général.  une équation aux différences finies. Voir les chapitres 1 et 2 du livre de James HAMILTON (1994) : Time-Series Analysis, Princeton University Press. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

IX.2. Les opérateurs et polynômes de retards L’utilisation d’un opérateur de retard sur une variable permet de simplifier les notations, d’autant plus qu’on peut manipuler algébriquement cet opérateur. Un opérateur de retard (𝐿 pour lag en anglais) effectue l’opération de retarder une variable ou un vecteur de variables d’une période : 𝐿𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡−1 Quelques propriétés de cet opérateur de retard : 𝐿 𝐿𝑥 𝑡 =𝐿 𝑥 𝑡−1 = 𝑥 𝑡−2 → 𝐿 2 𝑥 𝑡 =𝐿𝐿 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡−2 → 𝐿 𝑠 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡−𝑠 → 𝐿 −𝑠 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡+𝑠 → 𝐿 0 𝑥 𝑡 = 1𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 On utilise déjà un opérateur de ce type pour la différence première ∆ : ∆ 𝑥 𝑡 = 𝑥 𝑡 − 𝑥 𝑡−1 = 𝑥 𝑡 −𝐿 𝑥 𝑡 = 1−𝐿 𝑥 𝑡 → ∆ =1−𝐿 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) On voit qu’on peut utiliser l’algèbre des polynômes pour cet opérateur de retard. Un polynôme de retard : on peut construire un polynôme avec cet opérateur à différentes puissances : Φ 𝐿 = 𝜙 0 𝐿 0 + 𝜙 1 𝐿 1 + 𝜙 2 𝐿 2 +…+ 𝜙 𝑠 𝐿 𝑠 = 𝑖=1 𝑠 𝜙 𝑖 𝐿 𝑖 Appliqué à une variable 𝑥, on obtient une formulation « à retards échelonnés » : Φ 𝐿 𝑥 𝑡 = 𝑖=1 𝑠 𝜙 𝑖 𝐿 𝑖 𝑥 𝑡 = 𝑖=1 𝑠 𝜙 𝑖 𝑥 𝑡−𝑖 = 𝜙 0 𝑥 𝑡 + 𝜙 1 𝑥 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑥 𝑡−2 +…+ 𝜙 𝑠 𝑥 𝑡−𝑠 Toutes les règles mathématiques d’algèbre sur les polynômes (addition – multiplication – division) s’appliquent de la même manière ici. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Considérons le modèle général autorégressif à retards échelonnés (on va supposer ici une seule variable explicative par simplicité) : 𝑦 𝑡 = 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑦 𝑡−𝑗 + 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 𝑥 𝑡−𝑖 + 𝜀 𝑡 Ce modèle peut se réécrire avec les polynômes de retards : 𝑦 𝑡 − 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑦 𝑡−𝑗 = 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 𝑥 𝑡−𝑖 + 𝜀 𝑡 avec : Ψ 𝐿 =1− 𝜆 1 𝐿− 𝜆 2 𝐿 2 −…− 𝜆 𝑝 𝐿 𝑝 Φ 𝐿 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝐿+ 𝛽 2 𝐿 2 +…+ 𝛽 𝑞 𝐿 𝑞 ⇔ Ψ 𝐿 𝑦 𝑡 =Φ 𝐿 𝑥 𝑡 + 𝜀 𝑡 On peut réécrire ce modèle sous la forme d’un modèle à retards échelonnés infinis : Ψ 𝐿 𝑦 𝑡 =Φ 𝐿 𝑥 𝑡 + 𝜀 𝑡 ⇒ 𝑦 𝑡 = Φ 𝐿 Ψ 𝐿 𝑥 𝑡 + 1 Ψ 𝐿 𝜀 𝑡 Θ 𝐿 Ω 𝐿 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) On peut ainsi déterminer les coefficients du modèle à retards échelonnés infinis qui s’écrit avec ces polynôme de retards infinis : 𝑦 𝑡 =Θ 𝐿 𝑥 𝑡 +Ω 𝐿 𝜀 𝑡 → 𝑦 𝑡 = 𝑖=0 ∞ 𝜃 𝑖 𝑥 𝑡−𝑖 + 𝑖=0 ∞ 𝜔 𝑖 𝜀 𝑡−𝑖 𝑦 𝑡 = 𝜃 0 𝑥 𝑡 + 𝜃 1 𝑥 𝑡−1 + 𝜃 2 𝑥 𝑡−2 +…+ 𝜔 0 𝜀 𝑡 + 𝜔 1 𝜀 𝑡−1 + 𝜔 2 𝜀 𝑡−2 +… On peut alors calculer l’effet sur 𝑦 𝑡 à la période 𝑡 d’un choc (d’une variation) unique sur la variable explicative 𝑥 𝑡−𝑠 à la période 𝑡−𝑠 : 𝜃 𝑠 = 𝜕 𝑦 𝑡 𝜕 𝑥 𝑡−𝑠 ou 𝜃 𝑠 = 𝜕 𝑦 𝑡+𝑠 𝜕 𝑥 𝑡 qui est identique à l’effet sur 𝑦 𝑡+𝑠 à la période 𝑡+𝑠 d’un choc (d’une variation) unique sur la variable explicative 𝑥 𝑡 à la période 𝑡 du fait de la stationnarité des variables. Ainsi on peut estimer le profil des réactions à différentes périodes de la variable 𝑦 𝑡+𝑠 𝑠=0,1,2,… suite à un choc sur la variable 𝑥 𝑡 à la période 𝑡. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

IX.3. Chocs temporaires et chocs permanents. Un choc temporaire correspond à une variation d’une variable explicative uniquement au cours d’une période. Un choc permanent correspond à une variation permanente d’une variable explicative à partir d’une certaine date. L’effet de long terme d’un choc temporaire sur la variable explicative est nul… à long terme on revient à la situation initiale si la variable y est stationnaire !!! sinon persistance, hystérèse,… L’effet de long terme d’un choc permanent sur la variable explicative est donné par l’équilibre stationnaire du modèle, c’est-à-dire que les variables se sont stabilisées à leur valeur d’équilibre de long terme : Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Soit 𝑦 ∗ et 𝑥 ∗ les valeurs (stationnaires) de long terme des variables : 𝑦 ∗ = 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑦 ∗ + 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 𝑥 ∗ → 𝑦 ∗ = 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 1− 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 𝑥 ∗ Ce qui donne l’effet de long terme ou le multiplicateur de long terme : 𝜇 𝐿𝑇 = 𝜕 𝑦 ∗ 𝜕 𝑥 ∗ = 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 1− 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 = 𝛽 0 + 𝛽 1 + 𝛽 2 +…+ 𝛽 𝑞 1− 𝜆 1 − 𝜆 2 −…− 𝜆 𝑝 En remplaçant par les valeurs estimées des paramètres, on peut estimer cet effet de long terme et sa variance (attention à la forme non linéaire). 𝜇 𝐿𝑇 = 𝛽 0 + 𝛽 1 + 𝛽 2 +…+ 𝛽 𝑞 1− 𝜆 1 − 𝜆 2 −…− 𝜆 𝑝 et 𝑉 𝜇 𝐿𝑇 =… Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Cet effet de long terme peut s’obtenir à partir des polynômes de retards évalués au point 𝐿=1 : 𝑦 𝑡 =Θ 𝐿 𝑥 𝑡 +Ω 𝐿 𝜀 𝑡 avec Θ 𝐿 = Φ 𝐿 Ψ 𝐿 = 𝑖=0 ∞ 𝜃 𝑖 𝐿 𝑖 → Θ 1 = Φ 1 Ψ 1 = 𝑖=0 ∞ 𝜃 𝑖 = 𝑖=0 𝑞 𝛽 𝒊 1− 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 = 𝜇 𝐿𝑇 L’effet d’un choc temporaire sur la variable explicative au temps 𝑡 ( 𝑥 𝑡 ) sur la variable dépendante future ( 𝑦 𝑡+𝑖 , pour 𝑖 ≥0) sera donné par ces coefficient 𝜃 𝑖 : 𝑦 𝑡 = 𝑖=0 ∞ 𝜃 𝑖 𝑥 𝑡−𝑖 + 𝑖=0 ∞ 𝜔 𝑖 𝜀 𝑡−𝑖 → 𝜕 𝑦 𝑡 𝜕 𝑥 𝑡−𝑖 = 𝜕 𝑦 𝑡+𝑖 𝜕 𝑥 𝑡 = 𝜃 𝑖 ATTENTION : Les effets d’un choc temporaire ou d’un choc permanent se calculent séparément pour chaque variable explicative (et ses retards) !!! Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Exemple : On suppose un modèle 𝐴𝐷𝐿 1,1 avec les coefficients estimés suivants : 𝑦 𝑡 =𝛼+ 𝜆 1 𝑦 𝑡−1 + 𝛽 0 𝑥 𝑡 + 𝛽 1 𝑥 𝑡−1 + 𝜀 𝑡 𝑦 𝑡 =0.50+0.70 𝑦 𝑡−1 +0.80 𝑥 𝑡 −0.20 𝑥 𝑡−1 L’effet de long terme d’un choc permanent sur 𝑥 : 𝜇 𝐿𝑇 = 𝛽 0 + 𝛽 1 1− 𝜆 1 → 𝜇 𝐿𝑇 = 0.80−0.20 1−0.70 = 0.60 0.30 =2.00 Mais on n’atteint pas immédiatement le nouvel équilibre de long terme, il y a un ajustement dynamique vers celui-ci ! Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Dans ce cas, le sentier d’ajustement vers ce nouvel équilibre est donné par les polynômes de retards : Θ 𝐿 = Φ 𝐿 Ψ 𝐿 → Θ 𝐿 Ψ 𝐿 =Φ 𝐿 Ce qui donne : 𝜃 0 + 𝜃 1 𝐿+ 𝜃 2 𝐿 2 +… 1− 𝜆 1 𝐿 = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝐿 𝜃 0 + 𝜃 1 − 𝜃 0 𝜆 1 𝐿+ 𝜃 2 − 𝜃 1 𝜆 1 𝐿 2 + 𝜃 3 − 𝜃 2 𝜆 1 𝐿 3 +… = 𝛽 0 + 𝛽 1 𝐿 L’identification des paramètres 𝜃 𝑗 donne alors : 𝜃 0 =𝛽 0 𝜃 1 − 𝜃 0 𝜆 1 = 𝛽 1 𝜃 2 − 𝜃 1 𝜆 1 =0 ⋮ 𝜃 𝑗 − 𝜃 𝑗−1 𝜆 1 =0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗≥2 → 𝜃 0 =𝛽 0 𝜃 1 = 𝛽 1 + 𝜆 1 𝜃 0 𝜃 2 = 𝜆 1 𝜃 1 ⋮ 𝜃 𝑗 = 𝜆 1 𝜃 𝑗−1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗≥2 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 𝛽 0 =0.80 𝛽 1 =−0.20 𝜆 1 =0.70 Avec les paramètres estimés : → 𝜃 0 =0.80 𝜃 1 =−0.20+0.70×0.80=0.36 𝜃 2 =0.70×0.36=0.252 𝜃 3 =0.70×0.252=0.1764 ⋮ 𝜃 𝑗 = 0.70 𝑗−1 ×0.36 pour 𝑗≥2 On voit clairement que les paramètres 𝜃 𝑗 converge vers zéro si 𝜆 <1. L’effet sur la variable dépendante d’un choc temporaire sur une variable explicative finira par disparaître … 𝜕 𝑦 𝑡+𝑖 𝜕 𝑥 𝑡 = 𝜃 𝑖 𝑖→∞ 0 A long terme, il n’y a plus d ’effet d’un choc temporaire… sauf s’il n’y a pas stationnarité ! Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) L’effet de long terme d’un choc permanent peut être considéré comme une succession infinie de chocs temporaires. Cet effet de long terme sera donc le cumul de ces paramètres 𝜃 𝑗 pour 𝑗=0,1,2,… : 𝜇 𝐿𝑇 = 𝑗=0 ∞ 𝜃 𝑗 A démontrez ! Le sentier d’ajustement vers le nouvel équilibre de long-terme suite à un choc permanent est donnée par la somme cumulée de ces effets : 𝜃 0 ∗ =𝛽 0 𝜃 1 ∗ = 1+ 𝜆 1 𝛽 0 +𝛽 1 𝜃 2 ∗ = 1+ 𝜆 1 + 𝜆 1 2 𝛽 0 + 1+ 𝜆 1 𝛽 1 𝜃 3 ∗ = 1+ 𝜆 1 + 𝜆 1 2 + 𝜆 1 3 𝛽 0 + 1+ 𝜆 1 + 𝜆 1 2 𝛽 1 ⋮ 𝜃 𝐽 ∗ = 1+ 𝜆 1 +…+ 𝜆 1 𝐽 𝛽 0 + 1+ 𝜆 1 +…+ 𝜆 1 𝐽−1 𝛽 1 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝐽≥1 𝜃 0 ∗ =𝛽 0 est l’effet immédiat (contemporain) du choc permanent : 𝜕 𝑦 𝑡 𝜕 𝑥 𝑡 = 𝛽 0 = 𝜃 0 ∗ Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) L’effet d’un choc permanent converge vers l’effet de long terme : lim 𝐽→∞ 𝜃 𝐽 ∗ = lim 𝐽→∞ 𝑗=0 𝐽 𝜃 𝑗 = 1+ 𝜆 1 + 𝜆 1 2 +… 𝛽 0 + 1+ 𝜆 1 + 𝜆 1 2 +… 𝛽 1 = 𝛽 0 +𝛽 1 1− 𝜆 1 = 𝜇 𝐿𝑇 𝛽 0 =0.80 𝛽 1 =−0.20 𝜆 1 =0.70 Cela donne avec nos paramètres estimés : → 𝜃 0 ∗ =0.800 𝜃 1 ∗ =1.160 𝜃 2 ∗ =1.412 𝜃 3 ∗ =1.588 𝜃 4 ∗ =1.712 ⋮ 𝜃 ∞ ∗ =2.000= 𝜇 𝐿𝑇 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Effet d’un choc temporaire ou permanent en t = 0 𝑦 𝑡 =0.50+0.70 𝑦 𝑡−1 +0.80 𝑥 𝑡 −0.20 𝑥 𝑡−1 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

IX.4. Retard médian et retard moyen On peut résumer la rapidité de l’ajustement à un choc permanent avec la notion de retard médian ou de retard moyen. Le retard médian est le nombre de période 𝐽 nécessaire pour avoir la moitié de l’effet de long terme : 𝐽 tel que 𝑗=0 ∞ 𝜃 𝑗 = 𝜇 𝐿𝑇 2 On calcule ce retard médian généralement à partir du graphique d’ajustement ou par interpolation. Dans notre exemple, on voit que l’effet immédiat est de 0.80 et l’effet après une période est de 1.16 (0.80 + 0.36). Donc la moitié de l’effet de long terme ( 𝜇 𝐿𝑇 =2.00) est obtenu après environ une demi-période. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Retard médian 𝑦 𝑡 =0.50+0.70 𝑦 𝑡−1 +0.80 𝑥 𝑡 −0.20 𝑥 𝑡−1 Retard médian Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Le retard moyen (𝑅𝑀) est calculé à partir du polynôme de retard en le considérant comme une distribution de l’effet de long terme : 𝑅𝑀= 1 𝜇 𝐿𝑇 𝑗=0 ∞ 𝑗×𝜃 𝑗 → 𝑅𝑀= 𝑗=0 ∞ 𝑗𝜃 𝑗 𝑗=0 ∞ 𝜃 𝑗 A partir des polynômes de retard, on voit immédiatement que le numérateur est la dérivée première du polynôme de retard Θ 𝐿 évaluée au point 𝐿=1 , et le dénominateur est ce polynôme évalué au même point : 𝑗=0 ∞ 𝑗×𝜃 𝑗 =Θ 1 ′ = 𝜕Θ 𝐿 𝜕𝐿 𝐿=1 et 𝜇 𝐿𝑇 =Θ 1 𝑅𝑀= Θ 1 ′ Θ(1) Donc le retard moyen (𝑅𝑀) peut s’écrire : Remarque : Cette interprétation du polynôme de retard sous la forme d’une distribution, et ce calcul du retard moyen, n’est valide que si les coefficients sont de même signe ! Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Le polynôme de retard Θ 𝐿 peut se réécrire comme Θ 𝐿 = Φ 𝐿 Ψ 𝐿 ⇒ 𝑅𝑀= Θ 1 ′ Θ(1) = Φ 1 ′ Φ(1) − Ψ 1 ′ Ψ(1) ou en termes des paramètres du modèle : 𝑅𝑀= 𝑗=0 𝑞 𝑗𝛽 𝑗 𝑗=0 𝑞 𝛽 𝑗 + 𝑗=0 𝑝 𝑗𝜆 𝑗 1− 𝑗=0 𝑝 𝜆 𝑗 Le premier terme dépend des paramètres des retards échelonnés ( 𝛽 𝑗 ) alors que le second terme dépend de la partie autorégressive ( 𝜆 𝑗 ). On peut calculer ce retard moyen comme une fonction non linéaire des paramètres, et ainsi obtenir son écart-type ! Le retard moyen sera : 𝑅𝑀= −0.20 0.80−0.20 + 0.70 1−0.70 = −0.20 0.60 + 0.70 0.30 =−0.33+2.33=2.00 périodes. Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) Retard médian et Retard moyen 𝑦 𝑡 =0.50+0.70 𝑦 𝑡−1 +0.80 𝑥 𝑡 −0.20 𝑥 𝑡−1 Retard Médian = 0.5 Retard Moyen = 2.0 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

IX.5. Exemple : la consommation de tabac en France 1) Estimation d’un modèle ADL (1,1) . regress lctab lag_lctab lprel lag_lprel lrdrh lag_lrdrh if annee >= 1960 Source | SS df MS Number of obs = 50 -------------+------------------------------ F( 5, 44) = 1388.41 Model | 3.1302719 5 .626054379 Prob > F = 0.0000 Residual | .019840173 44 .000450913 R-squared = 0.9937 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9930 Total | 3.15011207 49 .064288001 Root MSE = .02123 ------------------------------------------------------------------------------ lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lag_lctab | .8992893 .0657989 13.67 0.000 .7666804 1.031898 lprel | -.5213309 .0643083 -8.11 0.000 -.6509358 -.391726 lag_lprel | .4476117 .0769107 5.82 0.000 .2926084 .602615 lrdrh | -.2914532 .1209252 -2.41 0.020 -.5351619 -.0477445 lag_lrdrh | .2749681 .1195972 2.30 0.026 .0339358 .5160005 _cons | .6451034 .3199242 2.02 0.050 .0003386 1.289868

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 2) Tests d’autocorrélation . estat dwatson Durbin-Watson d-statistic( 6, 50) = 1.457018 𝑑 𝐿 ∗ 5,50 =1.378 𝑑 𝑈 ∗ 5,50 =1.721 . estat bgodfrey, lags(1/4) Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation --------------------------------------------------------------------------- lags(p) | chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 | 4.384 1 0.0363 2 | 5.103 2 0.0780 3 | 5.196 3 0.1580 4 | 5.225 4 0.2650 H0: no serial correlation . corrgram res, yw -1 0 1 -1 0 1 LAG AC PAC Q Prob>Q [Autocorrelation] [Partial Autocor] ------------------------------------------------------------------------------- 1 0.0336 0.0336 .06889 0.7930 | | 2 -0.0399 -0.0411 .16794 0.9195 | | 3 -0.0932 -0.0907 .71805 0.8689 | | 4 -0.1823 -0.1798 2.8588 0.5817 -| -| 0.1007 0.1064 3.5241 0.6198 | | Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 3) Tests d’hétéroscédasticité . whitetst White's general test statistic : 39.16698 Chi-sq(19) P-value = .0042 . estat hettest, iid Breusch-Pagan / Cook-Weisberg test for heteroskedasticity Ho: Constant variance Variables: fitted values of lctab chi2(1) = 3.92 Prob > chi2 = 0.0478 . estat archlm, lags(1/4) LM test for autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) --------------------------------------------------------------------------- lags(p) | chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 1 | 3.801 1 0.0512 2 | 3.816 2 0.1484 3 | 3.670 3 0.2994 4 | 3.896 4 0.4203 H0: no ARCH effects vs. H1: ARCH(p) disturbance Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 4) Estimation d’un modèle ADL (1,1) avrc écarts-type robustes . regress lctab L.lctab lprel L.lprel lrdrh L.lrdrh if annee >= 1960 , vce(robust) Linear regression Number of obs = 50 F( 5, 44) = 2036.13 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.9937 Root MSE = .02123 ------------------------------------------------------------------------------ | Robust lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lctab | L1. | .8992893 .0697401 12.89 0.000 .7587373 1.039841 | lprel | --. | -.5213309 .1120466 -4.65 0.000 -.747146 -.2955159 L1. | .4476117 .1140981 3.92 0.000 .2176622 .6775613 lrdrh | --. | -.2914532 .1415638 -2.06 0.045 -.5767564 -.0061501 L1. | .2749681 .1406609 1.95 0.057 -.0085153 .5584515 _cons | .6451034 .3560356 1.81 0.077 -.0724392 1.362646 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 4) Graphiques des résidus Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 6) Effets de long terme 𝜇 𝑃𝑅𝐸𝐿 𝐿𝑇 = 𝛽 0 + 𝛽 1 1− 𝜆 1 et 𝜇 𝑅𝐷𝑅𝐻 𝐿𝑇 = 𝛾 0 + 𝛾 1 1− 𝜆 1 . nlcom (lt_lprel : (_b[lprel] + _b[L.lprel] ) / (1-_b[L.lctab]) ) /// > (lt_lrdrh : (_b[lrdrh] + _b[L.lrdrh] ) / (1-_b[L.lctab]) ) lt_lprel: (_b[lprel] + _b[L.lprel] ) / (1-_b[L.lctab]) lt_lrdrh: (_b[lrdrh] + _b[L.lrdrh] ) / (1-_b[L.lctab]) ------------------------------------------------------------------------------ lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lt_lprel | -.7319895 .1470069 -4.98 0.000 -1.028262 -.4357167 lt_lrdrh | -.1636878 .0581 -2.82 0.007 -.2807806 -.0465949 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 7) Retards moyens 𝑅𝑀 𝑃𝑅𝐸𝐿 = 𝛽 1 𝛽 0 + 𝛽 1 + 𝜆 1 1− 𝜆 1 et 𝑅𝑀 𝑅𝐷𝑅𝐻 = 𝛾 1 𝛾 0 + 𝛾 1 + 𝜆 1 1− 𝜆 1 . nlcom (lt_lprel : ( _b[L.lprel] / (_b[lprel] + _b[L.lprel]) ) + ( _b[L.lctab] / (1 - _b[L.lctab]) ) ) /// > (lt_lrdrh : ( _b[L.lrdrh] / (_b[lrdrh] + _b[L.lrdrh]) ) + ( _b[L.lctab] / (1 - _b[L.lctab]) ) ) lt_lprel: ( _b[L.lprel] / (_b[lprel] + _b[L.lprel]) ) + ( _b[L.lctab] / (1 - _b[L.lctab]) ) lt_lrdrh: ( _b[L.lrdrh] / (_b[lrdrh] + _b[L.lrdrh]) ) + ( _b[L.lctab] / (1 - _b[L.lctab]) ) ------------------------------------------------------------------------------ lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- lt_lprel | 2.857581 3.156525 0.91 0.370 -3.503978 9.21914 lt_lrdrh | -7.750353 7.431242 -1.04 0.303 -22.72704 7.226332 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 8) Effets d’un choc temporaire sur le log(PREL) : 𝜃 0 = 𝛽 0 𝜃 𝑗 = 𝜆 1 𝑗−1 𝛽 1 + 𝜆 1 𝛽 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗≥1 theta_0: ( _b[lprel] ) theta_1: ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) theta_2: ( _b[L.lctab] * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_3: ( _b[L.lctab]^2 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_4: ( _b[L.lctab]^3 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_5: ( _b[L.lctab]^4 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_6: ( _b[L.lctab]^5 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_7: ( _b[L.lctab]^6 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_8: ( _b[L.lctab]^7 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_9: ( _b[L.lctab]^8 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) theta_10: ( _b[L.lctab]^9 * ( _b[L.lprel] + _b[L.lctab] * _b[lprel] ) ) ------------------------------------------------------------------------------ lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- theta_0 | -.5213309 .1120466 -4.65 0.000 -.747146 -.2955159 theta_1 | -.0212156 .0119784 -1.77 0.083 -.0453565 .0029253 theta_2 | -.0190789 .0102048 -1.87 0.068 -.0396455 .0014876 theta_3 | -.0171575 .0088396 -1.94 0.059 -.0349725 .0006575 theta_4 | -.0154295 .007819 -1.97 0.055 -.0311878 .0003287 theta_5 | -.0138756 .0070779 -1.96 0.056 -.0281402 .000389 theta_6 | -.0124782 .0065511 -1.90 0.063 -.025681 .0007246 theta_7 | -.0112215 .0061777 -1.82 0.076 -.0236719 .0012289 theta_8 | -.0100914 .0059064 -1.71 0.095 -.0219949 .0018121 theta_9 | -.0090751 .0056969 -1.59 0.118 -.0205564 .0024062 theta_10 | -.0081611 .0055207 -1.48 0.146 -.0192874 .0029652 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 9) Effets d’un choc permanent sur le log(PREL) : 𝜉 0 = 𝛽 0 𝜉 𝑗 = 𝛽 0 + 𝛽 1 + 𝜆 1 𝛽 0 𝑖=0 𝑗 𝜆 1 𝑖 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑗≥1 . nlcom … (commandes supprimées) ------------------------------------------------------------------------------ lctab | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- xhi_0 | -.5213309 .1120466 -4.65 0.000 -.747146 -.2955159 xhi_1 | -.5425465 .107618 -5.04 0.000 -.7594363 -.3256567 xhi_2 | -.5616255 .1045218 -5.37 0.000 -.7722753 -.3509756 xhi_3 | -.5942125 .1009661 -5.89 0.000 -.7976964 -.3907286 xhi_4 | -.6080881 .1000842 -6.08 0.000 -.8097947 -.4063816 xhi_5 | -.6205663 .0996348 -6.23 0.000 -.8213672 -.4197655 xhi_6 | -.6317878 .0995475 -6.35 0.000 -.8324127 -.4311629 xhi_7 | -.6418792 .0997747 -6.43 0.000 -.842962 -.4407965 xhi_8 | -.6509543 .1002809 -6.49 0.000 -.8530571 -.4488515 xhi_9 | -.6591154 .101036 -6.52 0.000 -.8627402 -.4554906 xhi_10 | -.6664546 .1020121 -6.53 0.000 -.8720465 -.4608628 lt_lprel | -.7319895 .1470069 -4.98 0.000 -1.028262 -.4357167 Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)

Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020) 9) Graphiques des effets du log(PREL) Benoît MULKAY Université de Montpellier Econométrie (M1) Chapitre 9 (2019 – 2020)