Chap. 4 – Traction / Compression

Traction / Compression 4.1 Définition En tout point d’une poutre, le torseur de cohésion peut s’écrire de la façon suivante: Une poutre est considérée en traction/compression lorsque le torseur de cohésion s’exprime par : y G x N>0 → traction N<0 → compression

Traction / Compression 4.1 Définition Traction / compression si : Fext = 2 forces égales / opposées / colinéaires avec ligne moyenne

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Pour déterminer les efforts de cohésion on procède en 6 étapes : 1-Définition d’un repère général associé à la poutre, 2-Découpage de la poutre en tronçons, 3-Mise en place d’une coupure par tronçon et de son repère associé 4-Calcul du torseur de cohésion dans chaque tronçon i : y x

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Pour déterminer les efforts de cohésion on procède en 6 étapes : 4-Calcul du torseur de cohésion dans chaque tronçon i 5-Expression du torseur dans le repère associé à la coupure : y x Effort intérieur normal = Force extérieure appliquée

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Pour déterminer les efforts de cohésion on procède en 6 étapes : 4-Calcul du torseur de cohésion dans chaque tronçon i 5-Expression du torseur dans le repère associé à la coupure 6-Tracer des diagrammes de sollicitations   y x F N

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale ? on réalise deux hypothèses fortes : les contraintes tangentielles sont nulles : les contraintes normales sont uniformes : D’où l’expression de la contrainte :

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale On peut écrire l’expression de la contrainte normale en tout point de la section :

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes Si la section est constante, alors la contrainte l’est aussi . Mais si elle n’est pas constante??? Contraintes non uniformes !!!

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes Contraintes non uniformes !!! Concentration de contraintes

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes Contraintes non uniformes !!! Concentration de contraintes Contrainte normale nominale [MPa] Coefficient de concentration de contraintes [ / ] ABAQUES

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes Deux grands types de concentrations de contraintes: Les changement de diamètre brusque (passage de D à d) Les trous dans la poutre (diamètre d)

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes: changement de diamètre Exemple: passage d’un diamètre D = 20 mm à d = 15 mm avec un rayon de raccordement de r= 3 mm d’une éprouvette chargé à 10 000 N.     57 MPa Et au niveau du changement de Diamètre?

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes: changement de diamètre Exemple: passage d’un diamètre D = 20 mm à d = 15 mm avec un rayon de raccordement de r= 3 mm d’une éprouvette chargé à 10 000 N. La contrainte dans le changement de diamètre est plus forte qu’ailleurs, elle est fournie par cet abaque:  

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes: changement de diamètre Exemple: passage d’un diamètre D = 20 mm à d = 15 mm avec un rayon de raccordement de r= 3 mm d’une éprouvette chargé à 10 000 N.    

Traction / Compression 4.2 Effort normal – Contrainte normale Notion de concentration de contraintes: changement de diamètre Exemple: passage d’un diamètre D = 20 mm à d = 14 mm avec un rayon de raccordement de r= 3 mm d’une éprouvette chargé à 10 000 N. 31 MPa 65 MPa   Or σnom= 57 Mpa d’où σmax = 1,55 * σnom = 88,3 MPa

Traction / Compression Notion de concentration de contraintes: le trou bande métallique d’épaisseur 3mm, de largeur 30mm et de longueur 30 cm perçage diamètre 8mm situé à 10mm de l’extrémité N = 1000 N Soumise à un effort normal de:

Traction / Compression Notion de concentration de contraintes: le trou bande métallique d’épaisseur 3mm, de largeur 30mm et de longueur 3m perçage diamètre 8mm situé à 10mm de l’extrémité La contrainte au niveau du trou vaut: Mais ce résultat ne prend pas en compte la concentration de contrainte engendrée par le trou!!!!

Traction / Compression Un trou de diamètre d entraine une contrainte supplémentaire calculée à partir de cet abaque: σ: contrainte dans la section du trou

Traction / Compression bande métallique d’épaisseur 3mm, de largeur 30mm et de longueur 3m perçage diamètre 8mm situé à 10mm de l’extrémité 3 10 8 30 d/l = 8/30 = 0.27 H/l = 10/30 = 0.33

Traction / Compression bande métallique d’épaisseur 3mm, de largeur 30mm et de longueur 3m perçage diamètre 8mm situé à 10mm de l’extrémité 3 10 8 Plus proche surestimation 30 Kt = 4.9 d/l = 8/30 = 0.27 H/l = 12/30 = 0.4 On passe de 15 MPa à 74 Mpa, la différence est très importante!!!!

Traction / Compression 4.3 Déformations e > 0 → traction e < 0 → compression Allongement relatif :

Traction / Compression 4.3 Déformations e > 0 → traction e < 0 → compression Allongement relatif : = Déformation axiale

Traction / Compression 4.3 Déformations La poutre s’allonge… et s’amincit

Traction / Compression 4.3 Déformations Déformations transverses :

Traction / Compression 4.3 Déformations Déformations transverses : Coefficient de Poisson (0.1<v<0.5)

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement Démarche RdM 1- Modéliser la pièce 2 - Modéliser les actions mécaniques appliquées sur la pièces 3 - Déterminer les actions mécaniques => PFS 4 - Déterminer les forces intérieures subies par la matière 5 - Etudier l’impact sur le comportement du matériaux (déformations / endommagement / rupture) La pièce résiste-elle ? Quelles dimensions lui donner : pour qu’elle résiste ? pour que les déformations soient limitées ? Contraintes Déformations Deux critères de dimensionnement

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement en contrainte Résistance en contraintes : la contrainte ne doit jamais être supérieure à la limite élastique du matériau afin de rester en permanence dans le domaine élastique Mais cela n’est pas suffisant. Nos calculs ne sont pas très fiables, on va donc prendre beaucoup de marge afin de ne pas se retrouver en limite d’élasticité. On va prendre un coefficient de sécurité s. On cherchera donc à vérifier:

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement en contrainte Résistance en contraintes Limite élastique [MPa] Coefficient de sécurité [ / ] Contrainte maxi [MPa] Valeur du coefficient de sécurité: - Calculs sont soignés & contraintes de poids sévères 1.2 < s < 2 (exemple: aéronautique) - Construction courante 2 < s < 10 - Matériau non homogène ou soumis à des chocs et pour lesquels le poids a peu d’importance: 10 < s < 15 (Génie Civil)

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement au déformations limités Déformations limités: on peut aussi choisir d’imposer une déformation limitée à notre matériau chargé. Allongement réel [mm] Allongement maxi [mm] Longueur initiale [mm] avec

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement: exemple APPLICATION 1- Le feuillard de contreventement étudié précédemment résiste-il aux efforts appliqués ? - Le feuillard est en acier standard (limite d’élasticité = 250 MPa) - On choisira un coeff de sécurité de 5

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement APPLICATION 1- Le feuillard de contreventement étudié précédemment résiste-il aux efforts appliqués ? - Le feuillard est en acier standard (limite d’élasticité = 250 MPa) - On choisira un coeff de sécurité de 5 Pour répondre au critère il faut une contrainte maxi de 50 MPa

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement APPLICATION 1- Le feuillard de contreventement étudié précédemment résiste-il aux efforts appliqués ? - Le feuillard est en acier standard (limite d’élasticité = 250 MPa) - On choisira un coeff de sécurité de 5 Or, notre contrainte au niveau du trou est de 74 Mpa. La pièce est donc mal dimensionnée. Or :

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement APPLICATION 1- Le feuillard de contreventement étudié précédemment résiste-il aux efforts appliqués ? - Le feuillard est en acier standard (limite d’élasticité = 250 MPa) - On choisira un coeff de sécurité de 5 2- Où se situe le point de fragilité ?

Traction / Compression 4.4 Dimensionnement APPLICATION 1- Le feuillard de contreventement étudié précédemment résiste-il aux efforts appliqués ? - Le feuillard est en acier standard (limite d’élasticité = 250 MPa) - On choisira un coeff de sécurité de 5 2- Où se situe le point de fragilité ? A proximité du perçage

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Un matériau se déforme avec la chaleur. Chaque matériau est différent. Les déformations d’origine thermique varient linéairement avec la température : variation de température [K] déformations [ / ] coefficient de dilatation linéique [K-1]

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Les déformations d’origine thermique varient linéairement avec la température : déformations [ / ] variation de température [K] coefficient de dilatation linéique [K-1] Pour une poutre libre dans la direction axiale : allongement [ mm ] Longueur initiale [ mm ]

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Pour une poutre bloquée : La poutre veut se dilater mais les fixations l’en empêche donc elle subit une déformation de compression égale à la déformation de dilatation. Variation longueur thermique Variation longueur de compression et de plus on obtient donc  38 38

Coefficient de dilatation ( K-1) Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Quelques exemples de coefficient de dilatation linéique: Matériaux Coefficient de dilatation ( K-1) Acier 12.10-6 Aluminium 23.10-6 Cuivre 17.10-6 Nylon 30.10-6 Verre 9.10-6 Quartz 0,5. 10-6 Collier Rislan 150. 10-6

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Cas particulier: l’eau Le cas le plus généralement connu d’anomalie dilatométrique est celui de l'eau, qui présente un comportement particulier dans sa phase liquide entre 0 °C et + 4 °C : lorsque la température augmente dans cet intervalle l'eau se contracte, son volume massique diminue, ce qui correspond à un coefficient de dilatation thermique négatif. Ce phénomène est couramment appelé le « paradoxe de l'eau ». l’eau gelée prend plus de place que l’eau liquide L’eau n’est pas la seule exception… mais bon, on utilise pas les autres exceptions tous les jours: Le Tungstate de Zirconium en -272 °C et 777 °C Le borate de strontium entre 77°C et 121°C

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Problèmes dus à la dilatation: Joint de dilatation dans les ponts Pare brise fendu qui casse au soleil Dilatation des rails de train Application de la dilatation: Les bilames (disjoncteurs thermiques, interrupteur)

Traction / Compression 4.5 Déformations thermiques Exemple de dilatation: la tour Eiffel: La tour Eiffel mesure 324 mètres. En hiver, l’acier qui la compose peut subir des températures de – 20°C. En été, en plein soleil, elle atteint des températures de 50°C. Quel est l’allongement de la tour entre ces 2 températures extrêmes:

Traction / Compression 4.6 Contrainte équivalente: Imaginons un petit cube de matière 6 faces Coté de longueur a=dx (très faible) Arêtes parallèles au repère (e1, e2, e3) Sur chaque face s’exerce une force F quelconque F Chaque force (3 au total) va exercer une contrainte sur la facette du cube F

Traction / Compression L’état de contrainte du cube n’est plus un scalaire mais un Tenseur Les termes de la diagonale correspondent à de la traction / compression suivant un axe du repère Les termes hors diagonale correspondent à du cisaillement.

Traction / Compression L’état de contrainte du cube n’est plus un scalaire mais un Tenseur Cette forme du tenseur de contrainte n’est pas très facilement utilisable. Par rotation, on peut toujours trouver une base dans laquelle le tenseur des contraintes est diagonal:

Traction / Compression Cette forme du tenseur de contrainte n’est pas très facilement utilisable. Par rotation, on peut toujours trouver une base dans laquelle le tenseur des contraintes est diagonal: Le petit cube de matière est donc soumis à : σ1 est la contrainte principale N°1 qui est toujours une contrainte de traction, donc la plus grande σ2 est la contrainte principale N°2 compression ou traction suivant une direction secondaire σ3 est la contrainte principale N°3 qui est toujours une contrainte de compression, donc la plus faible (car négative) Comment faire pour comparer les valeurs des contraintes au Re du matériau?

Traction / Compression Le petit cube de matière est donc soumis à : 1 traction suivant une direction principale, la plus importante ( σ1) 1 compression ou traction suivant une direction secondaire (σ2) 1 compression suivant la dernière direction, la moins importante (σ3) Comment faire pour comparer les valeurs des contraintes au Re du matériau? On peut calculer une contrainte équivalent: la contrainte de VON MISES Cette contrainte équivalente prend en compte toutes les sollicitations de la matière

Traction / Compression On peut calculer une contrainte équivalent: la contrainte de VON MISES On cherchera toujours que la contrainte équivalente vérifie cette équation connue: Comment trouver les valeurs de σ1, σ2, σ3 ? On ne le fait pas à la main, c’est des logiciels spécifiques par éléments finis qui nous les donnent. Ouf….