Taux de variation liés

2 Utilités de la leçon Δ Lorsque deux variables sont reliées à une troisième, il devient difficile d’isoler une des variables. (exemple: x et y deux fonctions de t ) Δ À partir d’un énoncé mathématique, il devient nécessaire de développer l’habileté d’en extraire les informations pertinentes; permettant la résolution du problème.

3 Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à Δ Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à une distance de m(mètres) de la rampe de lancement. une distance de m(mètres) de la rampe de lancement. Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de 175m/s lorsqu’elle atteint une altitude de 1000m, à quelle vitesse la distance entre le spectateur et la fusée varie-t-elle à ce moment précis? Comment résoudre le problème ci-dessous?

4 Méthodologie proposée Attribuer un nom à chacune des variables qui dépendent du temps Faire un croquis Exprimer l’information obtenue sous forme de valeur de variable ou de taux de variation par rapport à t Identifier le taux de variation recherché Formuler une équation qui lie les variables Dériver implicitement chaque membre de l’équation par rapport à t Remplacer les variables et leurs dérivées par les valeurs obtenues (en 3 et 5) afin de résoudre l’équation découlant de l’étape 6.

5 1. Attribuer un nom à chacune des variables qui dépendent du temps. Un spectateur assiste au lancement d’une fusée, il est posté à une distance de m(mètres) de la rampe de lancement. Si la fusée s’élève verticalement et que sa vitesse est de 175m/s lorsqu’elle atteint une altitude de 1000m, à quelle vitesse la distance entre le spectateur et la fusée varie- t-elle à ce moment précis? Posons y : l’altitude de la fusée à l’instant t et x : la distance entre le spectateur et le fusée à l’instant t

6 2. Faire un croquis y x 1200 m

7 3. Exprimer l’information obtenue sous de valeur de variable ou de taux de variation par rapport à t. Nous savons qu’à un moment précis: Δ Nous savons qu’à un moment précis: = 175 y = 1000 et δy/ δt = 175

8 4. Identifier le taux de variation recherché. Nous recherchons Δ Nous recherchons δx / δt à ce même moment. x

Formuler une équation qui lie les variables du problème. Δ Selon Pythagore(1) x 2 = y Ainsi lorsque y = 1000, x= ( ) 1/2 ≈ 1 562,05. x y 1200

10 6. Dériver implicitement chaque membre de l’équation par rapport à t. L’équation initiale est (1) : x 2 = y Δ L’équation initiale est (1) : x 2 = y Dérivons l’équation (1) par rapport à t Δ Dérivons l’équation (1) par rapport à t => 2x = 2y => 2x δx/ δt = 2y δx/ δt = car x et y sont deux fonction de t. δx/ δt = (y/x) (δy/ δt) car x et y sont deux fonction de t.

11 7. Remplacer les variables et leurs dérivées par les valeurs obtenues(en 3 et 5) afin de résoudre l’équation découlant de l’étape 6. Il reste à substituer x = 1562,05; y = et δy/ δt = 175 Δ Il reste à substituer x = 1562,05; y = et δy/ δt = 175 dans l’équation obtenue à l’étape 6. dans l’équation obtenue à l’étape 6. => δx/ δt = (1 000/1562,05)(175) ≈ 112,03. => δx/ δt = (1 000/1562,05)(175) ≈ 112,03. Interprétation du résultat obtenue: Δ Interprétation du résultat obtenue: Lorsque la fusée atteint une altitude de 1000 m et que sa vitesse est de 175 m/s, la distance entre le spectateur et la fusée augmente selon un taux de 112,03 m/s. Lorsque la fusée atteint une altitude de 1000 m et que sa vitesse est de 175 m/s, la distance entre le spectateur et la fusée augmente selon un taux de 112,03 m/s.

12 ! À l’étape 6, ne pas remplacer les variables par les valeurs obtenues à l’étape 3 et 5 avant de dériver l’équation initiale.

13 Pouvez-vous résoudre le problème ci- dessous en appliquant la méthodologie proposée ?(en équipe de deux) Δ Une échelle de 6 mètres appuyée sur un mur se met à glisser. À quelle vitesse le haut de l’échelle glisse-t-il au moment où le pied l’échelle se retrouve à 3,5 m du mur, sachant que l’échelle s’écarte du mur à une vitesse de 1,5m ?

14 Les taux de variation liés Diaporama PowerPoint réalisé dans le cadre du cours: TIC dans l’enseignement aux moyens et grands groupes FPE7650 groupe 30 Travail présenté à Mme Suzanne Roy et Mme Sophie Gosselin Par Serge Dufour Session hiver 2009 UQAM