Masse et énergie

x1x1 x2x2 x3x3 x 0 / c Intervalle Son carré = ds 2 = c 2 dt 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 = somme (de i et j = 0 à 3) des h i j dx i dx j = carré de dx 0 – carré de dx 1 – carré de dx 2 – carré de dx 3 h i j = Idée essentielle 1 : lintervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions Signature = Tenseur métrique Unité : le mètre ! x y z t Décor fixe Horloge Ceci est un référentiel Mouvement La seule grandeur qui se conserve dun référentiel à un autre ! Pour les corps lents, ds = c dt

h i j = Idée essentielle 1 : lintervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions Signature = Tenseur métrique Ancienne vitesse = v α = dx α / dtQuadri vitesse = u i = dx i / ds Quadri accélération = γ i = du i / dsAncienne accélération = a α = dv α / dt Ancienne force = F α = m a α Quadri force = F i = m γ i Avant 1905 Après 1905 Pour les corps lents, ds = c dt

h i j = Idée essentielle 1 : lintervalle remplace le temps Idée essentielle 2 : quatre dimensions Signature = Tenseur métrique Ancienne vitesse = v α = dx α / dtQuadri vitesse = u i = dx i / ds Quadri accélération = γ i = du i / dsAncienne accélération = a α = dv α / dt Ancienne force = F α = m a α Quadri force = F i = m γ i Euh … les unités ? Une quadri vitesse na pas dunité Une quadri accélération est en m -1 Une ancienne force est en N = kg m s -2 Une quadri force est en kg m -1 ? Pour les corps lents, ds = c dt

Ancienne vitesse = v α = dx α / dtQuadri vitesse = u i = dx i / ds Quadri accélération = γ i = du i / dsAncienne accélération = a α = dv α / dt Ancienne force = F α = m a α Quadri force = F i = m γ i Euh … les unités ? Une quadri vitesse na pas dunité Une quadri accélération est en m -1 Une ancienne force est en N = kg m s -2 Une quadri force est en kg m -1 ? Pour les corps lents (vitesse << c) u i = dx i / c dt = v i / c γ i = du i / c dt = dv i / c 2 dt γ i = a i / c 2 u i = v i / c Il faut multiplier par le carré de c ! Quadri force = F i = m c 2 γ i Pour les corps lents, ds = c dt

Quadri vitesse = u i = dx i / ds Quadri accélération = γ i = du i / ds Quadri force = F i = m c 2 γ i F i ds = du i est une multiplication dune force par une distance parcourue, donc est un travail En particulier F 0 ds = m c 2 γ 0 ds = m c 2 du 0 u 0 = dx 0 / ds = c dt / (c 2 dt 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 ) 1/2 c dt / dt 1 – v2v2 c2c2 = c u 0 = 1 1 – v2v2 c2c2 u 1 = dx 1 / ds u x = dx / (c 2 dt 2 – dx 2 – dy 2 – dz 2 ) 1/2 dx / dt 1 – v2v2 c2c2 = c v v2v2 c2c2 c

Quadri force = F i = m c 2 γ i F i ds = du i Est une multiplication dune force par une distance parcourue, donc est un travail En particulier F 0 ds = m c 2 γ 0 ds = m c 2 du 0 = variation de m c 2 u 0 u 0 = 1 1 – v2v2 c2c2 = u 0 (X)Avec X = v 2 / c 2 Petit pour les corps lents ! u 0 (0) = δu 0 / δx quand δx est petit u 0 (X) = (1 – X) 1/2 Dérivée = u 0(X) = (1 – X) -1/2 (– 1)donc u 0(0) = δu 0 = u 0 (X ) δx, avec δx = Xu 0 (0) = 1 u 0 (X) = u 0 (0) + δu 0 = u 0 (0) δx + u 0 (0)= 1 2 X =v 2 / c Retour à la physique m c 2 u 0 = 12 m v 2 + m c 2 Pour un lycéen en classe de première s

Pour un corps lent : v2v2 c2c2 est très petit devant 1ε = u0u0 1 – v2v2 c2c2 = 1 (Carré de u 0 )1 – v2v2 c2c2 = 1 u 0 = u e Quand v est petit et non nul Quand v est nul correction = 1 + e 1 – ε + 2 e – 2 ε e = 1 – ε + 2 e – 2 ε e = 0 (1 + e) 2 = 1 (1 – ε) (1 + 2 e + e 2 ) = 1(1 – ε) (1 + (2 + e) e)= 1(1 – ε) (1 + 2 e)= 1(1 – ε) – ε + 2 e (1 – ε e) = 0 Très petit devant 1 – ε + 2 e = 0 e = 1 2 εu0u0 = ε u 0 = 1 1 – v2v2 c2c2 En particulier F 0 ds = m c 2 γ 0 ds = m c 2 du 0 = variation de m c 2 u 0 v2v2 c2c2 u0u0 = F 0 ds = m c 2 1 – v2v2 c2c2 Soit pour les corps lents =m c m v 2 Pour un élève en collège

Quadri force = F i = m c 2 γ i F i ds = du i Est une multiplication dune force par une distance parcourue, donc est un travail En particulier F 0 ds = m c 2 γ 0 ds = m c 2 du 0 = variation de m c 2 u 0 Retour à la physique m c 2 u 0 = 1 2 m v 2 + m c 2 Energie du corps au repos = m c 2 Rappel : c = km s -1 = m s -1 Jouleskg m s -1 1 kg : Joules 1 g TNT = 4184 Joules 6,3×10 13 J est l'énergie dégagée par le bombardement d'Hiroshima. = 9 x Joules Ordre de grandeur : 1000 fois moins …