Mathématiques 9: L’algèbre

Vocabulaire Expressions algébriques Définition : Une expression algébrique est un ensemble de lettres et de nombres et entre eux il y a un signe qui nous dit quelle est l’opération à effectuer. Exemple : - 4x+6 - 2xy+6xy

Variable Définition : Une variable est la lettre dans le terme algébrique. Exemple : 3x la variable est x . : 2a la variable est a .

Coefficient Définition : Un coefficient est le chiffre qui se retrouve devant une variable dans une expression algébrique. Exemple : 3x+4y les coefficients sont 3 et 4

Terme algébrique Définition : Un terme algébrique est un monôme qui est constitué d’un coefficient et d’un groupe variable. Exemple : 8x² coefficient 8 variable x exposant ²

Terme constant Définition : Un terme constant est un terme formé avec qu’un seul nombre. Il faut indiquer si ce nombre est positif ou négatif. Exemple : 2x + 1 le + 1 est le terme constant .

Exemple : 45y et 2y (semblables) 4y et 3y2 (pas semblables) Termes semblables Définition : Un terme semblable doit avoir les mêmes variables soulevées à la même puissance Exemple : 45y et 2y (semblables) 4y et 3y2 (pas semblables)

Les polynômes : - Monôme - Binôme - Trinôme

Les monômes Exemple : 4a3 b2 Définition : Un monôme est une expression formée d’un seul terme. Ce terme peut inclure un coefficient, une ou plusieurs variables et des exposants. Un monôme est un produit de tous ces composants. Exemple : 4a3 b2

Les binômes Définition : Un binôme est une expression formée de deux termes. Un binôme est une somme ou une différence de deux monômes. Exemple : 4ab2 + a2b

Les trinômes Définition : C’est une expression formée de trois termes non semblables. Exemple : 4a² + 6ab² - 4b²

Degré d’un monôme Quel est le degré du monôme? le degré d’un monôme est la somme de ses exposants. Les exposants pour chaque variable sont 4 et 2. 4+2 = 6. Ce monôme est de degré 6.

Les polynômes Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1 Définition : Un polynôme est une expression qui inclut la somme ou la différence de plusieurs termes algébriques et peut inclure un terme constant. Les termes sont organisés en ordre alphabétique et en ordre décroissant des exposants. Exemple : 2x² + 3y² - 6x + 4y +1

Degré d’un polynôme Le degré d’un polynôme est le plus haut degré dans un de ces termes. Il faut déterminer le degré de chaque terme dans le polynôme, et puis le plus ‘puissant’ est le degré du polynôme. Un terme constant : pas de variable. Un monôme de degré 0. Ce binôme et de dégré 1. La variable x est à la puissance de 1. Les expressions polynomiales de degré un sont linéaires. Ce trinôme est de degré 2. Des polynômes de degré 2 sont quadratiques. Ce polynôme est de 3e degré. Des polynômes de degré 3 sont cubiques.

Classification des polynômes Classification par degré Classification par # de termes Polynôme Degré a. b. c. d. Zéro Constant Monôme 1 Linéaire Binôme 2 Quadratique Binôme Trinôme 3 Cubique

La Forme standarde (une variable) *Les termes sont organisé en ordre décroissant des exposants. *Le premier terme est positif. Le premier terme doit être positif. Pour changer le signe du premier terme, multiplie tout le polynôme par –1 (utilise la distributivité).

Exercices 1. 2. Réécris les polynômes en forme standarde Identifie-les par le degré et par le nombre de termes. Identifie le terme constant. 1. 2.

Addition des polynômes Démarche: L’addition de 2 polynômes se fait en additionnant les termes de chaque polynôme qui sont semblables et réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la somme recherchée. Exemple: 3y2+6y7+y+9 et y2+2y7+3y+12 Ce polynôme correspond à la somme recherchée. 3y2 + 6y7 + y + 9 + y2 + 2y7 + 3y + 12 4y2 + 8y7 + 4y + 21

Soustraction des polynômes Démarche: La soustraction des polynômes équivaut à additionner l’opposé de chacun des termes deuxième polynôme au premier et à réduire l’expression algébrique obtenue. On obtient un nouveau polynôme correspondant à la différence recherchée. -3x2 - 6x + 7 Soustrait de 5x2 + 10x - 12. Exemple: Ce polynôme correspond à la différence recherchée. (5x2 + 10x – 12) – (-3x2 – 6x + 7) = (5x2 + 10x – 12) + 3x2 + 6x + (–7) = 5x2 + 3x2 + 10x + 6x + (-12) + (-7) = 8x2 + 16x + (-19) ou 8x2 + 16x – 19

Les propriétés des exposants Règles: = 35 =243 Ex: 32 x 33 = 32+3 am x an = am+n =6561 Ex: (32)4 = 32x4 =38 (am)n = amn Ex: 28 ÷ 25 = 28-5 =23 =8 am ÷ an = am-n (ab)n = an x bn Ex: (34)2 = 32 x 42 =9x16 =144 1 Ex: 5 4 =8,9 n √a = √5 4 =20,78 3 4 √33 √af n Ex: 3 = 4 Ex: 1800=1 =1 a0 =1

Multiplication de monômes (a3b4)(a5b2) Regrouper les bases semblables (a3a5)(b4b2) Quel propriété? La commutativité solution: a8b6 Pour multiplier des monômes, additionne les exposants.

Multiplie (5a4b3)(2a6b5)

À toi! 1. (a2b3)(a9b) 2. (3a12b4)(-5ab2)(a3b8) Solution: a11b4

Multiplication d’un polynôme par un monôme Démarche: Distribuer--- il faut multiplier chacun des termes du polynôme par le monôme. Exemple: (7ab) (5a2 + 6b + 12) = (7ab × 5a2) + (7ab × 6b) + (7ab × 12) = 35a3b + 42ab2 + 84ab

Division des monômes a7b5 a4b a7 b5 a4 b1 (a7 - 4)(b5 - 1) • Regrouper les bases semblables Pour diviser, Soustrais les exposants (a7 - 4)(b5 - 1) solution: a3b4

Division des monômes -30x3y4 -5xy3 -30 -5 (x3 - 1)(y4 - 3) Divise les coefficients. Regroupe les bases (x3 - 1)(y4 - 3) solution: 6x2y

Divise 2m5n4 -3m4n2 2 -3 (m5 - 4)(n4 - 2) - 3 - 3 mn2 2mn2 Solution: 2 Divise les coefficients et soustrais les exposants (m5 - 4)(n4 - 2) 2mn2 - 3 = Solution: 2 - 3 mn2

À toi! 1. m8n5 m4n2 2. - 3x10y7 6x9y2 - 3 6 (m8 - 4)(n5 - 2) = Solution: -1 2 xy5 Solution: m4n3

La division d’un polynôme par un monôme. Définition : Il faut diviser chacun des termes par le monôme. Exemple :

Simplifier une puissance ayant une base monomiale (ab)3 (ab)2 (ab)(ab)(ab) (ab)(ab) (aaa)(bbb) (aa)(bb) a3b3 a2b2 Règle : (xy)n = xnyn

Simplifier une puissance ayant une base monomiale: Puissance d’une puissance (4m11n20)2 (a9b5)3 (41m11n20)2 (a9•3)(b5•3) (41•2)(m11•2)(n20•2) Solution: a27b15 Solution: 16m22n40 Règle: (xayb)n = xanybn

À toi! 2. (4xy5z2)4 1. (2a4)3 (41x1y5z2)4 (21a4)3 (21•3)(a4•3) Solution: 8a12 Solution: 256x4y20z8 Règle: (xayb)n = xanybn