Réseaux complexes

Qu’est-ce qu’un réseau ? Points/sites reliés par des liens individus ordinateurs pages web aéroports molécules .... relations sociales (ex:collaborations scientifiques) câbles hyperliens connexions aériennes réactions chimiques .... Autoorganisation Evolution dynamique

Etude des réseaux complexes Etude phénoménologique: dégager des caractéristiques générales Modélisation: comprendre les mécanismes Conséquences: comprendre l’importance des différentes caractéristiques pour différents phénomènes, par exemple la propagation d’épidémies, la fragilité en face de pannes ou d’attaques...

Réseaux sociaux: l’expérience de Milgram Milgram, Psych Today 2, 60 (1967) Dodds et al., Science 301, 827 (2003) “Six degrés de séparation”: “petit-monde”

L’Internet: un autre “petit-monde” Histogramme des distances entre deux sites: distances typiques très petites par rapport à la taille d’Internet Autres exemples: WWW, réseaux de transports, etc...

Une autre caractéristique répandue: “Clustering” 1 2 3 n Plus grande probabilité d’être connectés Clustering: Mes amis se connaissent très probablement entre eux (exemple typique: réseaux sociaux) Effet quantifié par le coefficient de clustering, entre 0 et 1

Modèle le plus simple de réseaux: Erdös-Renyi (1960) -N points, liés avec probabilité p: Réseau -statique, -homogène: nombre de voisins similaire pour tous -Modifications du modèle pour introduire le clustering

Réseau du transport aérien

Une vision d’Internet

Homogène vs. Hétérogène Réseau homogène nombre de voisins similaire pour tous Réseau hétérogène: grandes variations du nombre de voisins

Architecture non-triviale Propriétés émergentes Phénomènes coopératifs Principales caractéristiques des réseaux complexes Nombreux éléments en interaction Evolution dynamique Auto-organisation Internet, World-Wide-Web, Réseaux sociaux etc... petit-monde clustering hétérogénéité Architecture non-triviale Propriétés émergentes Phénomènes coopératifs

Modélisation des réseaux complexes Physique Statistique Processus microscopiques des composants Propriétés statistiques et dynamiques au niveau macroscopique

Changement de point de vue La modélisation commence par la compréhension des mécanismes de base de la formation du réseau La topologie complexe est générée dans les modèles, et non mise à la main de façon ad-hoc Meilleure compréhension de l’interaction entre dynamique, trafic, etc...

L’attachement préférentiel Exemple de mécanisme: L’attachement préférentiel 1)Les réseaux croissent par l’addition de nouveaux sites Exemples: WWW : addition de nouvelles pages webs Internet : nouveaux ordinateurs, serveurs 2) Les nouveaux sites se connectent plutôt vers des sites ayant déjà de nombreux voisins Exemples: WWW : liens vers des pages webs connues Internet : liens vers des fournisseurs d’accès bien connectés 1) + 2) => réseau très hétérogène

Graphe aléatoire vs Attachement préférentiel

Autres niveaux de complexité intensités des liens réseaux dynamiques (ex: peer-to-peer) réseaux dirigés (ex: WWW)

Exemple d’applications: épidémiologie

Modèles de propagation d’épidémies Description schématique des individus et de leur état: Les individus peuvent se trouver dans certains états: Sain/Susceptible * Infecté * Immunisé/Remis -Propagation par contact I I S I p -Guérison/immunisation I R

Modèles de propagation d’épidémies Réseau de contacts: Individus=sites Liens=possibilité de propagation Réseau dont la topologie joue un rôle important

Importance de la topologie du réseau de contacts Virus sur ordinateurs Topologie d’Internet Topologie du réseau d’ email Computer worms Topologie du réseau de transports/déplacements Epidémiologie

Importance de la topologie du réseau de contacts I I S I p Graphes homogènes Graphes hétérogènes L’épidémie meurt L’épidémie se propage L’épidémie se propage p p pc pc=0 (ou très petit)

Un autre exemple de modèle de propagation d’une épidémie c d b a Ville A Ville B

Un autre exemple; propagation d’une épidémie c d a b Ville A Ville B =>Importance du réseau de transport !

Une épidémie ancienne Peste Noire 14ème siècle Dec. 1350 June 1350

Une épidémie récente SARS Nov. 2002 Mar. 2003

Etudes possibles caractérisation du réseau de transport (essentiellement: transport aérien) modèle simple d’épidémie reproduire a posteriori le déroulement de l’épidémie pour valider le modèle étude, dans le cadre du modèle, de l’influence des différents niveaux de complexité étude de la prédictabilité étude de mesures d’endiguement %Ninf

Conclusion -Importance études empiriques -Modélisation Physique -Conséquences sur processus divers Physique Statistique (exemples: épidémies; fragilité des réseaux; ...) %Ninf Domaine interdisciplinaire: informatique, biologie, épidémiologie, sciences sociales...

Fraction of removed nodes, f Robustness Robustness Complex systems maintain their basic functions even under errors and failures (cell  mutations; Internet  router breakdowns) fc 1 Fraction of removed nodes, f S S: fraction of giant component node failure

R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406 378 (2000) Case of Scale-free Networks Random failure fc =1 (2 < g  3) s Attack =progressive failure of the most connected nodes fc <1 fc 1 Internet maps R. Albert, H. Jeong, A.L. Barabasi, Nature 406 378 (2000)

Topological error tolerance Robust-SF Failures vs. attacks   3 : fc=1 (R. Cohen et al PRL, 2000) Failures Topological error tolerance 1 fc Attacks S f 1