Les séries chronologiques Chapitre 4 Les séries chronologiques

Chapitre 4 : Les séries chronologiques Cela concerne l’étude de l’évolution d’une variable statistique (Y) 3 buts : Décrire l’évolution Permettre l’explication des fluctuations Faciliter la prévision (le passé peut expliquer le futur)

Chapitre 4 1. Présentation des Séries chronologiques 1.1 Les principes de base Définition 1: une SC (ou ST) est une suite d’observation chiffrée ordonnées dans le temps. Ex : la VA des entreprises, etc. Remarque : la prise en compte du temps n’est pas forcément évidente (intervalles, durée, etc.) Définition 2 : y=f(t)

Chapitre 4 1.2 La décomposition du mouvement brut et les modèles théoriques Quelques questions : Y croit ou décroit ? Les variations de Y sont-elles courtes et régulières ? Y a-t-il des fluctuations exceptionnelles ? Il faut donc déterminer les éléments qui constituent l’évolution de Y : ce sont les composantes de l’évolution globale.

Chapitre 4 1.3 Les composantes d’une série (graphique suivant) Le trend ou la tendance : il lisse la série (Le cycle : fluctuation autour du trend) Variations saisonnières Variations accidentelles

Une série avec tendance et saisonnalité (IPI)

La saisonnalité

La tendance

Chapitre 4 1.4 Formalisation des composantes 1.4.1 Le trend et le cycle - Moyennes mobiles - Ajustement linéaire par les MCO : Y=aT+b 1.4.2 Variations saisonnières Mvts réguliers se répétant au cours d’une année. Si p est la période St=St+p=St+2p=… 1.4.3 Variations accidentelles Evénements de courtes périodes, irréguliers et imprévisibles

Chapitre 4 Hypothèse : 2 types d’aléas : Grands nombres de petites causes (hypothèse vérifiée) Petits nombres de grandes causes (hypothèse non vérifiée)

Chapitre 4 1.5 décomposition du modèle 2 types de modèles : modèle additif vs modèle multiplicatif - Modèle additif (cf. Graph) : Les composantes sont indépendantes les unes des autres - modèle multiplicatif (cf. Graph) : Les composantes dépendent les unes des autres

Chapitre 4 1.6 Comment déterminer la nature du modèle ? Si pour une observation donnée, la variation saisonnière S s’ajoute simplement aux autres composantes c’est le modèle additif Si pour une observation donnée, la variation saisonnière S est proportionnelle aux autres composantes, c’est le modèle multiplicatif.

Chapitre 4 1.6.1 La méthode de la bande (méthode graphique) On fait un graphique représentant la série chronologique, puis on trace une droite passant respectivement par les minima et par les maxima de chaque saison. Si ces deux droites sont parallèles, nous sommes en présence d’un modèle additif. Sinon, c’est un modèle multiplicatif.

Chapitre 4

Chapitre 4 1.6.2 Méthode analytique (test de Buys-Ballot) On calcule les moyennes et écarts-types pour chacune des périodes considérées et on calcule la droite des moindres carrés Si a est nul, c’est un modèle additif, si a≠0, le modèle est multiplicatif

Chapitre 4 Exemple avec les données mensuelles précédentes. 1996 2006 3224 3789 4153 3100 2527 3015 1504 1847 2314 1673 1602 1997 2247 3862 3586 4047 2838 2727 2730 1648 2007 2450 1966 1695 1998 2433 3723 4325 4493 3399 3083 3247 1928 2377 2831 2388 2126 1999 3127 4437 5478 4384 3552 3678 3611 2260 2699 3071 2510 2182 2000 3016 4671 5218 4746 4814 3545 3341 2439 2637 3085 2737 2055

Chapitre 4 1) On calcule pour chaque année la moyenne et l’écart-type de la série Moyenne Écart-type 1996 2562.8 850.7 1997 2650.3 782.3 1998 3029.4 803.6 1999 3415.8 946.6 2000 3525.3 1023.4

Chapitre 4 2) On calcule les coefficients de a et b par les mco

Chapitre 4 2. Méthodes empiriques de décompositions d’une série chronologique Pour décomposer la série Y, il faut des périodes inférieures à l’année (mois ou trimestres). La démarche est la suivante : On estime le trend, 2.1 Le trend par moyennes mobiles 2.1.1 Lissage par moyennes échelonnées Lissage : méthode qui « adoucit » la série. Moyennes échelonnées : moyenne arithmétique de 3 valeurs en général (Pratique mais trop simplificateur) 2.1.2 Moyennes mobiles Méthode empirique la plus utilisée Le principe : On remplace un certain nombre de données consécutives par leur moyenne en décalant de périodes en périodes.

Chapitre 4 Exemple : Indice (base 100 en 2002) de l’évolution de la note moyenne en séries chronologiques

Chapitre 4 2.1.3 Définitions formalisées MM d’ordre 3 avec t=4 : Remarque : on peut faire autrement : On pondère par 1, 2 , 2, 2, 1.

Chapitre 4 2.2 Le trend par les MCO Une autre façon de procéder pour désaisonnaliser (calculer le trend d’) une série chronologique consiste à calculer la droite de régression par les MCO. Y=aT+b+ε

Chapitre 4 2.3 Les Données CVS Une fois que le trend est calculé, il faut désaisonnaliser la séries, i.e corriger des variations saisonnières (CVS) On note St la saisonnalité de la série obtenue de la façon suivante : Pour le modèle additif : St=yt-ft Pour le modèle multiplicatif : St=yt/ft

Chapitre 4 Les coefficients saisonniers Sj ne sont en fait que les moyennes des différences saisonnières (St) pour chacun des trimestres. Par exemple pour le premier trimestre, nous obtenons : (0.75+5.38+1.5)/3 =2.54 Nous calculons de cette manière les trois autres et obtenons les coefficients coefficients saisonniers suivants :60.21 ; -54.96 et -7.71 Nous supposons que la composante saisonnière est strictement périodique. L’effet net de la composante saisonnière sur une période doit être nul car il est repris dans la tendance générale de la série chronologique. Ceci nous amène donc à rectifier les coefficients saisonniers non corrigés en leur retranchant la moyenne des coefficients saisonniers pour toutes les périodes (on note ce coefficient rectificateur ρ).

Chapitre 4 Récapitulatif : Pour chaque ligne, on obtient un St On estime les coefficients saisonniers Sj par la moyenne des St sur chaque période On corrige les Sj en S’j si la moyenne des Sj est différente de 0 (additif) ou 1 (multiplicatif) S’j=Sj-ρ (additif) S’j=Sj/ρ (multiplicatif) 4) On calcule la série ajustée (CVS) : Y*t=Yt-S’j (additif) Y*t=Yt/S’j (multiplicatif) 5) On calcule les Variations accidentelles ε=Y*t-ft (additif) ε=Y*t/ft (multiplicatif)

Chapitre 4 On peut désaisonnaliser la série avec les coefficients saisonniers : La première ligne est égale à 120-2.52=117.48 ; la deuxième 181-60.19=120.81;etc. Le graphique suivant reprend la série chronologique de départ ainsi que la série chronologique désaisonnalisée.

Chapitre 4 : Exercice 1 Cette série suit-elle un modèle additif ou multiplicatif ?

Chapitre 4 : Exercice 2

Chapitre 4 : Exercice 3 La série suivante suit un modèle additif Calculer le trend par les MCO Calculer les coefficients saisonniers Etablir la série CVS Déterminer les variations accidentelles