SECTIONS PLANES I PYRAMIDES et CONES de REVOLUTION Sommet 1° Pyramide Dans une pyramide : Arête ♦ La base est un polygone Face latérale ♦ Les faces latérales sont des triangles ayant un sommet commun appelé sommet de la pyramide Hauteur ♦ La hauteur est la distance SI du sommet à la base. Base ♦ Une arête est un segment qui joint le sommet à un sommet du polygone de base

Pyramide régulière. Dans une pyramide régulière ♦ le polygone de base est régulier: triangle équilatéral, carré …… ♦ La hauteur issue du sommet passe par le centre du polygone ♦ Les arêtes latérales ont la même longueur

2° Cône de révolution Dans un cône de révolution : Génératrice ♦ La base est un disque. ♦ La hauteur est la distance entre le sommet et la base ( SO ). Hauteur Base

3° Volume d’une pyramide ou d’un cône Le volume V d’une pyramide ou d’un cône est donné par la formule Pour un cône de révolution de rayon r et hauteur h on obtient:

ABCDEFGH est un cube d’arête 5 cm. 1° Voir dans l’espace. Construire en vraie grandeur : Le carré EFGH Les triangles AEF et AEH. Les triangles AGF et AGH. 2° Construire le patron de la pyramide AEFGH.

II SECTIONS PLANES Géospace 1° Section d’un cube ou d’un pave droit La section d’un cube ou d’un pavé droit par un plan parallèle à une face ou à une arête est un rectangle.

2° Section d’un cylindre de révolution Géospace b) a) La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle

Géospace 3° Section d’une pyramide par un plan parallèle à la base. Pyramide en réduction Tronc de pyramide ♦ La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est un polygone de même nature que le polygone de base. ♦ On obtient un tronc de pyramide et une pyramide, qui est une réduction de la pyramide initiale.

4° Section d’un cône par un plan parallèle à la base. Cône en réduction Tronc de cône ♦ La section d’un cône par un plan parallèle à sa base est un disque. ♦ On obtient un tronc de cône et un cône, qui est une réduction du cône initial

III AGRANDISSEMENT REDUCTION 1° Définition k > 1 k < 1 AGRANDISSEMENT REDUCTION Si on multiplie TOUTES les dimensions d’un solide par un même nombre k >1 alors on obtient un agrandissement de ce solide. Si on multiplie TOUTES les dimensions d’un solide par un même nombre k < 1 alors on obtient une réduction de ce solide.

2° Effets d’un agrandissement sur les aires et les volumes. C2 C1 C a) Aires et volumes   C C1 C2 Arête en cm 1 2 3 Aire de base en cm2 Volume en cm3 4 9 8 27 b) Coefficient   les longueurs sont multipliées par : les aires sont multipliées par : les volumes sont multipliées par : De C à C1 De C à C2 2 4 = 22 8 = 23 3 9 = 32 27 = 33

3° Effets d’une réduction sur les aires et les volumes. a) Aires et volumes   C C3 C4 Arête en cm 1 0,8 0,5 Aire de base en cm2 Volume en cm3 0,64 0,25 0,512 0,125 b ) Coefficient   les longueurs sont multipliées par : les aires sont multipliées par : les volumes sont multipliées par : De C à C3 0,8 De C à C2 0,5 0,64 = 0,8 2 0,512 = 0,8 3 0,25 = 0,5 2 0,125 = 0,5 3

♦ les volumes sont multipliés par k3 4° Règle. Si au cours d’un agrandissement ou d’une réduction, toutes les dimensions sont multipliées par un même nombre k Alors : ♦ les aires sont multipliées par k2 ♦ les volumes sont multipliés par k3

5° Exercice résolu On considère la pyramide de sommet S, de hauteur [SB ] et de base le triangle ABC, rectangle en B. SB = 8,1 cm AB = 5,4 cm, BC = 7,2 cm 1° Calculer l’aire du triangle ABC. En déduire le volume de la pyramide SABC. 2° On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à la base passant par le point B’. Il coupe [SA] en A’ et [SC] en C’. La pyramide SA’B’C’ est une réduction de la pyramide SABC SB’= 6,3 cm. Calculer le coefficient de réduction k. Dessiner la section en vrai grandeur après avoir calculé ses dimensions. 3° En utilisant le coefficient calculer : a) l’aire du triangle A’B’C’ b) le volume de la pyramide SA’B’C’.

AABC= V SABC = V SABC = 52,488 cm3 1° a) Aire du triangle ABC AABC= 19,44 cm² b) Volume de la pyramide SABC V SABC = V SABC = 52,488 cm3

2° a) Calcul du coefficient de réduction k Pour calculer le coefficient on divise : une dimension de l’objet final par la dimension correspondante de l’objet initial. C’ A’ b) Dimensions de la section B’C’ = k × BC = A’B’ = k × AB =

c) dessin de la section. La section A’B’C’ est donc un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 4,2 cm et 5,6 cm A’ 4,2 cm 5,6 cm C’ B’ 4° a) Aire du triangle A’B’C’ A A’B’C’ = k² × AABC = b) Volume de la pyramide réduite SA’B’C’ V SA’B’C’ = k3 × VSABC =

IV SPHERE et BOULE Boule Sphère ( pleine ) ( creuse )

1° a) Définition. La sphère de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est égale à R La boule de centre O et de rayon R est l’ensemble des points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à R [AB] est un diamètre .

b) Aire et volume Nous admettrons les deux formules suivantes. a) Aire d’une sphère de rayon R A = 4πR² b) Volume d’une boule de rayon R Petit poème Si la circonférence est fière D'être égale à deux Pierres, Le disque est tout heureux D'être égal à Pierre II. Le volume de toute Terre, De toute sphère Qu'elle soit de pierre ou de bois Est égal à quatre tiers de Pierre III.

2° Section d’une sphère ou d’une boule par un plan La section d’une sphère par un plan est un cercle. La section d’une boule par un plan est un disque.

3° Exercice résolu : Page 267 n°18 1° Calcul de h Dans le triangle IZM rectangle en Z avec le théorème de Pythagore on a : IZ² + ZM² = IM ² h² + 12² = 16² IM est le rayon soit de la sphère. h² = 16² - 12² h² = 112

2° Calcul de r Dans le triangle IZ’N rectangle en Z’ avec le théorème de Pythagore on a : IZ’² + Z’N² = IN ² 5² + r² = 16² IN est le rayon soit de la sphère. r² = 16² - 5² r² = 231