Déterminants Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Il est souvent intéressant d’employer des lettres au lieu des nombres lorsqu’on applique une procédure. Cela permet de découvrir des aspects qui sont cachés par les nombres. C’est ce que nous nous proposons de faire pour introduire la notion de déterminant et la méthode de Cramer pour un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Nous allons d’abord résoudre un tel système dont les coefficients et les constantes sont des lettres en utilisant la méthode de Gauss. Les expressions obtenues par cette méthode vont nous permettre de présenter la notion de déterminant d’ordre 2 et la méthode de résolution de Cramer. Par la suite, nous verrons comment généraliser la notion de déterminant.

Mise en situation L1 ≈ aL2 – cL1 ax + by = e cx + dy = f Considérons le système d’équations : Résolvons par la méthode de Gauss. a b e c d f a b e L1 ≈ aL2 – cL1 ad – cb af – ce Si ad – cb ≠ 0, on peut isoler y et, en substituant dans la première équation, on trouve : ed – fb ad – cb af – ce ad – cb x = et y = Le dénominateur de chacune de ces expressions est ad – cb et cette différence de produits est formée des coefficients du système d’équations. a b c d ´ ´ = ad – cb Le nombre obtenu en effectuant le calcul de cette différence de produits est appelé déterminant de la matrice A des coefficients.

Déterminant d’ordre 2 DÉFINITION a11 a21 a12 a22 Soit A = , une matrice carrée d’ordre 2. Le déterminant de la matrice A est défini par : a11 a21 a12 a22 det A = ´ ´ = a11a22 – a21a12 Notation On remarquera que la matrice est notée avec des parenthèses alors que le déterminant est noté avec des barres verticales.

Mise en situation (suite) ax + by = e cx + dy = f On constate facilement que le numérateur de chacune des expressions donnant la solution du système d’équations linéaires ci-contre peut également s’exprimer comme un déterminant. e b f d a c a b c d e f ed – fb ad – cb x = = af – ce ad – cb et y = = Si ad – cb ≠ 0, on peut trouver la solution d’un système de deux équations à deux inconnues en calculant ces déterminants. Si ad – cb = 0, cette méthode n’est pas utilisable et il faut prendre la méthode de Gauss-Jordan. Cette méthode de résolution est appelée Méthode de Cramer en hommage au mathématicien Gabriel Cramer (voir note historique p.77 du volume).

Méthode de Cramer Procédure pour résoudre un système de 2 équations à 2 inconnues par la méthode de Cramer. 1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0, où A est la matrice des coefficients. 2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai, où i = 1, 2. 3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A). 4. Répéter les étapes 2 et 3 pour la deuxième inconnue.

Exemple 3.1.2 Résoudre le système d’équations ci-contre par la méthode de Cramer, si elle est utilisable. 2x + 3y = 5 (∆1) 3x + 4y = 8 (∆2) Solution Calculons d’abord le déterminant : 2 3 4 ´ ´ = 2 ´4 – 3 ´3 = 8 – 9 = –1 ≠ 0 Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors : 5 3 8 4 La solution est donc (4; –1). 20 – 24 –1 x = = = 4 2 3 4 ∆2 2 5 3 8 ∆1 16 – 15 –1 y = = = –1 2 3 4 (4; –1)

Exercice S 2x – 5y = 5 (∆1) 3x – 6y = 9 (∆2) Résoudre le système d’équations ci-contre par la méthode de Cramer, si elle est utilisable. Solution S Calculons d’abord le déterminant : 2 –5 3 –6 ´ ´ = 2 ´(–6) – 3 ´(–5) = –12 + 15 = 3 ≠ 0 Le déterminant est non nul, le système a donc une solution unique et la méthode de Cramer est utilisable. On trouve alors : 5 –5 9 –6 La solution est donc (5; 1). –30 + 45 3 x = = = 5 2 –5 3 –6 2 5 3 9 (5; 1) 18 – 15 3 y = = = 1 2 –5 3 –6 ∆1 ∆2

Mineur et cofacteur d’un élément DÉFINITION Soit A, une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. Pour voir comment calculer un déterminant d’ordre plus grand que 2, nous aurons besoin de quelques définitions. Le mineur d’un élément aij est le déterminant de la sous-matrice Aij . On note Mij le mineur de l’élément aij . Le cofacteur d’un élément aij , noté Cij , est le produit de son mineur par sa signature, soit : Cij = (–1)i + j Mij . On appelle sous-matrice Aij la matrice d’ordre n – 1 obtenue en supprimant la ie ligne et la je colonne de la matrice A. La signature d’un élément aij est donnée par (–1)i + j. Exemple 5 –6 8 2 4 –1 –3 7 –4 Soit la matrice A = . Déterminer le cofacteur de a32. . Déterminer la signature de a12. . Déterminer le mineur de a12. . Déterminer la sous-matrice A23. La signature de l’élément a12 est (–1)1+2 = –1. En éliminant la ligne 1 et la colonne 2, on a la sous-matrice : Le cofacteur de l’élément a32 est le produit de son mineur et de sa signature, cela donne : Pour obtenir la sous-matrice A23, il faut éliminer la ligne 2 et la colonne 3, cela donne : La signature d’un élément est positive lorsque i + j est pair et négative lorsque i + j est impair. –6 8 7 –4 5 –6 –3 7 5 8 2 –1 –6 8 7 –4 C32 = (–1)3+2 M32 = (–1)5 A12 = , le mineur est : A23 = M12 = = –1 ´(35 – 18) = –17. = 24 – 56 = –32. S S S

Déterminant d’ordre n DÉFINITION Le déterminant d’une matrice carrée d’ordre n est obtenu en effectuant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) quelconque par son cofacteur. Procédure pour calculer un déterminant par les cofacteurs. 1. Choisir une ligne ou une colonne pour développer le déterminant. 2. Multiplier chaque élément de la ligne ou de la colonne choisie par son cofacteur (ne pas oublier la signature). 3. Faire la somme des produits obtenus.

Exemple 3.1.4 S 3 2 5 –2 –3 –1 1 4 Soit la matrice A = Calculer det A, en développant selon la première ligne. Calculer det A, en développant selon la deuxième colonne. 3 2 5 –2 –3 –1 1 4 3 2 5 –2 –3 –1 1 4 3 2 5 –2 –3 –1 1 4 det A = det A = = –2C12 – 3C22 – 1C32 = 3C11 + (–2)C12 + 1C13 = 3 (–1)1+1 M11 + (–2)(–1)1+2 M12 + (–1)1+3 M13 = –2 (–1)3 M12 – 3(–1)4 M22 – 1 (–1)5 M32 = 3 (–1)2 M11 + (–2)(–1)3 M12 + (–1)4 M13 2 5 4 2 3 5 1 2 3 2 1 4 = 2 –3 –1 4 2 –3 2 5 4 2 + 1 2 5 –3 –1 = 3 + 2 + 1 = 2(4 – 20) – 3(6 – 5) +1(12 – 2) = – 32 – 3 + 10 = –25. S = 3(–6 + 4) + 2(4 – 20) +1(–2 + 15) = –6 – 32 + 13 = –25.

Exercice S S 2 4 1 5 –3 Soit la matrice A = Calculer det A, en développant selon la deuxième ligne. S 2 4 1 5 –3 1 5 –3 2 2 –3 2 2 1 5 det A = = –4 + 2 – 1 = –4(2 + 15) + 2(4 + 6) – 1(10 – 2) = –56. Calculer det A, en développant selon la troisième colonne. S 2 4 1 5 –3 4 2 2 5 2 1 5 2 4 1 2 det A = = –3 – 1 + 2 = –3(20 – 4) – 1(10 – 2) + 2(4 – 4) = –56.

Développement de Laplace La signature des éléments d’une matrice carrée de dimension 3 est donnée ci-contre. + – – + + – Lorsque la signature d’un élément est négative, on change le signe de son mineur pour obtenir son cofacteur. Lorsque la signature est positive, on conserve le même signe. DÉFINITION Le déterminant d’une matrice carrée A d’ordre n est défini symboliquement de la façon suivante : Pour un développement selon une ligne p quelconque : det A = ap1Cp1 + ap2Cp2 + ... + apnCpn Pour un développement selon une colonne r quelconque : det A = a1rC1r + a2rC2r + ... + anrCnr Cette définition symbolique est appelée développement de Laplace en hommage à Pierre-Simon, marquis de Laplace (voir note p. 67).

Déterminant Essayons de voir pourquoi on obtient toujours la même valeur quelle que soit la ligne ou la colonne selon laquelle on développe le déterminant. Pour ce faire, utilisons des lettres comme éléments et développons le déterminant selon la première ligne. a d g b e h c f i e h f i d g f i d g e h det A = = a – b + c = a(ei – hf) – b(di – gf) + c(dh – ge) S = aei – ahf – bdi + bgf + cdh – cge, par distributivité; Regroupons ces six termes autrement pour mettre en évidence les éléments de la troisième ligne. = bgf – cge – ahf + cdh + aei – bdi, par associativité et commutativité; = g(bf – ce) – h(af – cd) + i(ae – bd), par distributivité; a d g b e h c f i b e c f a d c f a d b e = g – h + i = = det A On voit que ce déterminant est formé de six produits. Dans chacun de ces produits, il y a un élément de chaque ligne et un élément de chaque colonne. Il y a donc seulement six produits possibles.

Déterminant d’ordre 4 (exemple 3.1.5) 2 3 4 1 5 2 –5 –3 2 4 –1 6 8 Développons le déterminant selon la troisième colonne, les zéros faciliteront les calculs. S Calculer det A = = –3C13 + 0C23 + 0C33 + 2C43 2 3 4 5 2 –5 –1 6 8 2 3 1 5 2 4 –1 6 = –3 – 2 = –3[2(46) – 3(35) + 4(32)] – 2[2(32) – 2(–2) + 3(–21)] = –3[92 – 105 + 128] – 2[64 + 4 – 63] = – 355. Le déterminant est donc – 355. La définition de déterminant s’applique à toute matrice carrée quelle que soit sa dimension.

Matrice des cofacteurs et matrice adjointe DÉFINITION Soit A, une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. La matrice des cofacteurs de A est la matrice, notée cof A, obtenue en remplaçant chaque élément de A par son cofacteur. Soit A, une matrice carrée d’ordre n ≥ 2. La matrice adjointe de A, notée adj A, est la transposée de la matrice des cofacteurs de A. adj A = (cof A)t S S Explication Considérons l’élément en position a11 dans ce produit. Exemple 3.1.6 2 –2 6 1 4 2 3 –5 10 S On constate facilement qu’il est obtenu en faisant la somme des produits des éléments de la première ligne par leur cofacteur. C’est donc le déterminant de A. Soit la matrice A = . Déterminer cof A. Déterminer adj A. Déterminer A • adj A. S Il en est de même pour les autres éléments de la diagonale de déterminants. On peut facilement montrer que c’est une propriété générale. Pour les éléments hors diagonale, nous donnerons l’explication après avoir vu les propriétés des déterminants. 50 –4 –17 –10 2 4 –28 2 10 50 –10 –28 –4 2 –17 4 10 4 2 –5 10 –2 6 –5 10 –2 6 4 2 S – cof A = adj A = 50 –4 –17 –10 2 4 –28 2 10 1 2 3 10 2 6 3 10 2 6 1 2 cof A = – – = 2 –2 6 1 4 2 3 –5 10 50 –10 –28 –4 2 –17 4 10 6 6 6 A • adj A = • = 1 4 3 –5 2 –2 3 –5 2 –2 1 4 – S Intriguant! S

Conclusion Le déterminant est une fonction qui, à une matrice carrée, associe un nombre réel unique. On calcule celui-ci en faisant la somme des produits de chaque élément d’une ligne (ou d’une colonne) par son cofacteur. À l’aide des déterminants d’ordre 2, on peut résoudre un système de deux équations à deux inconnues (méthode de Cramer) lorsque le déterminant de la matrice des coefficients est non nul. À l’aide des déterminants, on peut construire la matrice des cofacteurs et la matrice adjointe d’une matrice carrée. Le produit de la matrice A et de son adjointe donne une matrice scalaire dont les éléments de la diagonale sont égaux au déterminant de la matrice.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.1, p. 61 à 67. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.1, p. 61 à 67. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.2, p. 67 et 68. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.2, p. 67 et 68.