Résolution symbolico-numérique d’un système d’équations algébro-différentielles modélisant la distillation de Rayleigh Dr. Karim Alloula (ingénieur informatique scientifique) Dr. Jean-Pierre Belaud (Maître de conférences ENSIACET) Pr. Jean-Marc Le Lann (directeur ENSIACET)

Plan de l’exposé Contexte scientifique Objectif: Intégration symbolico-numérique d’équations différentielles algébriques Un système de calcul symbolico-numérique: eXMSL Un modèle algébro-différentiel de référence: la distillation de Rayleigh Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Conclusions, Attentes, Perspectives Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Département Procédés et Systèmes Industriels Un département attaché: à la qualité des modèles métiers Simulation moléculaire (Hadj Kali 2004) Modèle d’affectation des ressources (Edi 2007) … à la structuration des modèles Simulation suivant une approche modulaire simultanée (Joulia 1987) Modèle orienté objet de procédés dynamiques (Jourda 1996, Moyse 2000) Modèle orienté composants pour la simulation (Belaud 2002) Réseaux de Petri différentiels à objets (Perret 2003) à la qualité des méthodes de résolution Homotopie continuation pour la résolution des systèmes non linéaires (Letourneau 1992) Méthodes de type prédicteur-correcteur pour la résolution d’équations différentielles algébriques (Le Lann HDR 1999) Algorithmes génétiques multi-critères pour l’optimisation d’ateliers flexibles (Aguilar Lasserre 2006) Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

2 projets de recherche caractéristiques de notre activité AD-CAPE: Applications de la différentiation automatique en simulation séquentielle modulaire de procédés Automatic Differentiation for Computer Aided Process Engineering Projet Esprit 24023 Décembre 1997 – Août 1999 Simulog, ProSim, INPT, elf, BP Amoco (GLOBAL) CAPE-OPEN (Support): Interopérabilité de composants logiciels pour la simulation de procédés “Delivering the power of component software and open standard interfaces in computer aided process engineering” 3 Projets CEE-IMS 1997 - 2003 ASPEN Tech., BASF AG, Bayer, BP International Limited, DTU Lyngby, TOTAL, Hyprotech S.L., ICI, IFP, Imperial College-CPSE, INPT-LGC, Norsk Hydro,... Augmenter la qualité des modèles et la fiabilité de la simulation de procédés Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Quelques leçons retenues de ces projets AD-CAPE: Intérêt de disposer automatiquement des dérivées « exactes » d’un modèle Imbrication forte des modèles et des procédures de résolution associées: difficultés à dériver des fonctions implicites (Global) CAPE-OPEN: Un cadre standardisé et opérationnel pour l’interopérabilité entre composants logiciels Une séparation claire des rôles, une spécification précise des interfaces Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Plus d’expressions exactes… en cours de simulation! Obtenir automatiquement les dérivées exactes d’un modèle (AD-CAPE) (Alloula, Belaud, Joulia 2000) Obtenir automatiquement les expressions exactes utiles à la résolution d’un modèle Faire coopérer des composants logiciels standardisés lors d’une simulation de procédés (CAPE-OPEN) (Belaud, Braunschweig 2002) Faire coopérer calcul formel* et calcul numérique lors d’une simulation numérique (*) Calcul formel (« computer algebra ») est le nom donné en France à la manipulation sur ordinateur de formules et, plus généralement, d’objets mathématiques (Bulletin INRIA 1991) Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Etendre l’expérience acquise à: Axe de recherche Simulation numérique alternant en cours de calcul étapes d’évaluation numérique et étapes de transformation formelle d’expressions mathématiques Objectifs visés par la simulation symbolico-numérique: Fiabilité Performance Prise en compte automatique de spécifications de problèmes dans une syntaxe mathématique… Faisabilité démontrée. Etendre l’expérience acquise à: d’autres classes de problèmes d’autres méthodes de résolution Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Eléments scientifiques (1) La simulation numérique implique déjà plusieurs systèmes de calcul interagissant: Le calcul formel fait usage des outils et des méthodes du calcul numérique (Maple et Nag - Trefethen 2000) (Mathematica – « Symbolically enhanced numerical computing ») Le calcul formel synthétise des codes de calcul numérique dans des langages compilés (Mathematica - Alfradique 2005) Proposition 1: Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et l’interaction entre systèmes de calcul Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Eléments scientifiques (2) « Spécification du problème » et « spécification de la solution » sont souvent entremêlées! Ces spécifications interdépendantes sont « des types de description différentes », qui devraient « être construites explicitement et séparément. » (Zualkernan 1988; Houstis 2000) Des efforts de représentation des modèles indépendante des langages de modélisation existent (Chernukhin 2005; Pop 2005) Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification commune du problème Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Eléments scientifiques (3) Un besoin accru de précision: Nombre d’opérations considérable sur les modèles (Revol 2007) Qualité des dérivées exigées par les méthodes d’ordre 1 ou supérieur Des réponses actuelles: Calcul à précision multiple (iRRAM, MPFR) Arithmétique stochastique et contrôle de l’exactitude (Cestac-CADNA) Arithmétique à intervalles (intpakX, MPFI) Arithmétique réelle exacte (Ménissier-Morain 2005) Représentation des nombres algébriques (Rioboo 2003) Transformations formelles préalables, puis évaluations numériques différentiation automatique, calcul formel Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Eléments scientifiques (4) Les méthodes numériques « récentes » décrivent des étapes de transformations formelles au milieu d’étapes d’évaluation numérique: Majoration de l’index d’un système algébro-différentiel (Campbell 1996) Construction d’un système triangulaire par regroupement de variables et d’équations (Pryce 2001) Calcul de séries majorantes pour les fonctions analytiques… Proposition 4: Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution d’équations différentielles algébriques Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Proposition 4 (PEPS LEDA): Propositions Proposition 1: Formaliser et généraliser la notion de système de calcul et l’interaction entre systèmes de calcul Proposition 2: Produire par « transformation symbolique d’équations » des spécifications variées à partir d’une spécification commune du problème Proposition 3: Alterner transformations formelles et évaluations numériques en cours de calcul Proposition 4 (PEPS LEDA): Mettre en œuvre quelques transformations formelles identifiées dans les méthodes numériques « récentes » de résolution d’équations différentielles algébriques Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Cadre de l’étude Simulation d’un système physico-chimique décrit par un système d’équations algébro-différentielles: la distillation de Rayleigh Environnements commerciaux de résolution de problèmes: MATLAB Maple Mathematica IMSL Bibliothèque mathématique propriétaire de calcul symbolico-numérique eXMSL Outils et techniques du calcul formel et du calcul numérique Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Transformations formelles déjà mises en oeuvre (1/2) Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Calcul de fonction résidu Transformation d’inéquations en équations Equations non linéaires saturées, sur ou sous déterminées Formulation généralisée du schéma de Newton (Dedieu 2006) Formulation différentielle du schéma de Newton généralisé (Hirsch 1979) Equations différentielles algébriques Détermination de conditions initiales cohérentes Système EDA 1er ordre, index 1 Valeurs initiales des variables dépendantes et de leurs dérivées Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Transformations formelles déjà mises en oeuvre (2/2) Classe de modèles Transformation formelle Expression initiale Résultat Equations non linéaires Equations différentielles algébriques Optimisation sous contraintes non linéaires Définition d’une fonction implicite Fonction explicite Calcul d’une matrice Jacobienne Calcul d’une dérivée directionnelle Fonction implicite Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Cas d’utilisation de la bibliothèque mathématique eXMSL (Alloula 2004) Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

eXMSL FORTRAN 90 Library Calcul de propriétés thermodynamiques par application de l’équation d’état SRK Définition du facteur de compressibilité comme une fonction implicite Dérivation formelle par rapport à la température Intégration formelle par rapport à la température Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Architecture d’eXMSL on the Web (Belaud 2001) Standards: MathML, DOM, Service Web (SOAP, TCP/IP), CAPE-OPEN Plates-formes: FORTRAN 90, Java, MS COM, .NET Outils: WebEQ Design Science Inc., IMSL FORTRAN 90 Library Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

eXMSL Model Editor Résultat du problème d’optimisation spécifié Edition du problème d’optimisation Demande d’évaluation de l’expression saisie Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Distillation de Rayleigh - Présentation Un modèle continu par morceaux… vu comme un modèle unique sous contrainte Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Modélisation Formulation dans une syntaxe voisine du texte mathématique (conditions initiales, contrainte) Compétence métier : (normalisation des modèles d’enthalpie) Initialisation des fractions molaires vapeur Pas de formalisme supplémentaire pour la gestion du changement d’état Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résolution Algorithme numérique: Petzold-Gear BDF (IMSL) Etapes de transformations formelles: Détermination d’un jeu d’équations suffisant pour obtenir des conditions initiales cohérentes Calcul formel des résidus Calcul formel de la matrice Jacobienne … Gestion de l’événement d’état: Arrêt de l’intégration du modèle en phase liquide: pas minimal de la variable indépendante ou Jacobien du système singulier Reprise de l’intégration du modèle en phase di-phasique avec calcul de nouvelles conditions initiales cohérentes Intervention dans le processus de résolution!? Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Simulation de la distillation de Rayleigh par eXMSL Résultats obtenus Résultats très cohérents: comparaison avec le point de bulle du système ternaire obtenu par ailleurs Temps de calcul trop importants, à comparer avec ceux obtenus dans un environnement de calcul interprété (MATLAB, Maple, …) Degré de généralité de la méthode insuffisant: Que faire pour des systèmes d’index supérieur à 1? Le changement d’état est correctement traité ici… par hasard! Quelles connaissances métier doit-on apporter pour le calcul de CIC? Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé Conclusions Un modèle de taille et de difficulté modestes est calculé Automatiquement par un système de calcul symbolico-numérique Très précisément Dans un temps inférieur à celui obtenu avec un environnement de calcul interprété et une méthode similaire Après des efforts de modélisation (degrés de liberté, formulation unique, …) Très correctement lors d’un changement d’état bien particulier Dans un temps très supérieur à celui obtenu avec un code de calcul compilé et une méthode similaire Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009

Attentes par rapport au projet LEDA Par ordre d’importance décroissante Calcul fiable de conditions initiales cohérentes (théorèmes quantitatifs liés à la méthode de Newton) Traitement systématique de certaines singularités Système « minimal » caractérisant les conditions initiales cohérentes Possibilité de passage à l’échelle (cf. complexité de la méthode de Pryce) Karim Alloula - Jeudi 4 Juin 2009