CARACTERISTIQUES D’UN ENSEMBLE DE FORCES Chapitre 2 CARACTERISTIQUES D’UN ENSEMBLE DE FORCES Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1

Sommaire 1. Combinaisons de forces 4. Gestion des charges réparties 1.1 Enoncé du problème 1.2 Principe du parallèlogramme 1.3 Casde trois forces de directions différentes 1.4 Cas de forces de même direction 1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point 2.1 Moment d’une force par rapport à un point P 2.2 Moment d’un couple par rapport à un point P 2.3 Remarque sur les couples de forces 2.4 Notion et utilité du couple concentré 3. Eléments de réduction d’un ensemble d’actions par rapport à un point 3.1 Introduction 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P 3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions 4. Gestion des charges réparties 4.1 Différents types de charges réparties 4.2 Exemple d’une ossature en béton armé 4.3 Charge uniformément répartie 4.4 Charge due à la pression de l’eau 5. Boîte à outils 5.1 Produit vectoriel 5.2 Composante d’une force sur un axe 5.3 Décomposition et composition de vecteurs 6. Exercices Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 2

1.1 Enoncé du problème On se place dans le cas d’ensembles de forces dont les supports appartiennent tous à un même plan. 1. Combinaison de forces 1. Combinaison de forces Figure 1 Ensemble de forces modélisées par des vecteurs glissants (“glisseurs”) Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 3

1.1 Enoncé du problème Problème : peut-on réduire le nombre de forces au minimum sans changer l’effet de son action sur un objet contenu dans le même plan ? Oui, l’opération correspondante porte le nom de réduction du système de forces. 1. Combinaison de forces Figure 2 Ensemble (système) de “n” forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 4

1.2 Principe du parallélogramme (Stévin 1548-1620) On peut remplacer deux forces par une troisième (qui porte le nom de résultante) construite en tant que diagonale du parallélogramme défini par les deux forces. Cette résultante a le même effet que les deux forces sur le solide sur lequel elle s’applique. B 1. Combinaison de forces C A D Figure 2 Principe du parallélogramme Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 5

1.3 Cas de trois forces de directions différentes 1. Combinaison de forces Figure 3 Cas de trois forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 6

1. Combinaison de forces A1 A2 A3 4.00 4.00 1.4 Cas de forces de même direction A1 A2 A3 1. Combinaison de forces 4.00 4.00 Figure 4 Cas de trois forces représentées par des glisseurs Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 7

1. Combinaison de forces P 1 1 2 3 2 3 Dynamique des forces 1.4 Cas de forces de même direction 1 P 1 3 2 1. Combinaison de forces 2 3 Dynamique des forces 0,1,2,3 rayons vecteurs P, pôle du dynamique Figure 5 Dynamique des forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 8

1. Combinaison de forces P 3 3 Dynamique des forces 1.4 Cas de forces de même direction P 3 1. Combinaison de forces 3 Dynamique des forces 0,1,2,3 rayons vecteurs P, pôle du dynamique Figure 5 Dynamique des forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 9

1. Combinaison de forces 2’ P 0’ 1’ 3’ P’ 1 2 3 Funiculaire des forces 1.4 Cas de forces de même direction 3’ 2’ 1 2 3 P 0’ 1’ P’ 1. Combinaison de forces Funiculaire des forces 0’,1’,2’,3’ bras du funiculaire R’ P’, pôle du funiculaire Figure 6 Funiculaire des forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 10

Seuls les vecteurs finaux sur le funiculaire ne s’annulent pas 1.4 Cas de forces de même direction 1 2 3 P 1. Combinaison de forces Seuls les vecteurs finaux sur le funiculaire ne s’annulent pas R’ est la résultante et son support est ainsi défini : sa direction est donnée par celle du vecteur O3, l’intersection des deux bras extrêmes du funiculaire donne un point de passage. Figure 7 Funiculaire des forces support de la résultante Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 11

Réduction 0 force : système sans effet 1 seule force F 1.5 Résultats possibles des combinaisons de forces 0 force : système sans effet 1 seule force F Réduction 1. Combinaison de forces 2 forces constituant un couple C : même direction sens opposés même intensité La résultante est nulle 1 force F + 1 couple C Ensemble de n forces Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 12

2.1 Moment d’une force F par rapport à un point P On considère une figure plane quelconque. L’ensemble des forces est réduit à une seule force F. Si on place un axe en un point P, y aura-t-il rotation ? La valeur du moment de la force F par rapport à P permet de conclure 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P A P Figure 8 Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 13

A P Système de trois forces statiquement équivalent au précédent 2.1 Moment d’une force F par rapport à un point P Système de trois forces statiquement équivalent au précédent Les deux forces introduites en P s’annulent A P 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P Figure 8 Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 14

2.1 Moment d’une force F par rapport à un point P Ce système de trois forces est décomposable en une force + un couple A d 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P P Figure 8 Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 15

A P d est la distance du point P au support de la force F initiale 2.1 Moment d’une force F par rapport à un point P d est la distance du point P au support de la force F initiale A 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P P est un vecteur lié au point P, c’est le moment d’un couple (voir chapitre 1) Figure 8 Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 16

2. Moment d’un ensemble de forces par rapport 2.2 Moment d’un couple de forces par rapport à un point I H P 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P F1 Le moment d’un couple de forces est indépendant du point de calcul. Sa valeur est constante. Son signe dépend de la convention choisie. d F2 Figure 9 Indépendance du moment d’un couple par rapport au point de calcul Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 17

Ces deux couples ont le même moment M = F.d 2.3 Remarque sur les couples de forces Ces deux couples ont le même moment M = F.d On peut ainsi associer à une valeur de moment une infinité de couples différents. On parle du moment d’un couple, mais jamais du couple d’un moment (remarque utile par la suite) 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P F F/2 d 2d F/2 F Figure 10 Couple C et moment M du couple C Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 18

CP 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P 2.4 Notion et utilité du couple concentré Fibre moyenne du poteau F F CP P 2. Moment d’un ensemble de forces par rapport à un point P P d Le moment de F par rapport à P est égal à F.d Question : si l’on travaille sur la seule fibre moyenne du poteau, comment mémoriser et caractériser cet effet de rotation ? Réponse : on introduit la notion de couple concentré CP, dont le moment est égal à F.d Associé à la force F placée aussi en P, il mémorise l’action exercée sur le « corbeau » (terme utilisé pour désigner le porte à faux) Figure 11 Couple concentré en P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 19

Il y a deux éléments de réduction : la résultante des forces R 3.1 Introduction Les éléments de réduction d’un ensemble d’actions en un point P caractérisent complètement l’effet de ces actions. Il y a deux éléments de réduction : la résultante des forces R le moment résultant par rapport au point P de l’ensemble des actions (forces et couples concentrés) M/P 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 20

3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P B1 C2 B2 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P F1 A1 Figure 12 Solide soumis à 3 forces et 2 couples concentrés Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 21

3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P (ici k = 3, m = 2) Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 22

une résultante notée Fi indépendante de P 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P Pour chacune des forces concentrées, Fi, il y a deux éléments de réduction: une résultante notée Fi indépendante de P un moment par rapport à P, noté M(Fi)/P, ou plus simplement Mi/P Pour chacun des couples concentrés Ci il y a un seul élément de réduction : le moment du couple concentré qui est constant, noté Ci (la lettre C rappelle que cette valeur est constante et ne dépend pas du point de réduction) 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 23

Calcul de la résultante du système d’actions : 3.2 Définition des éléments de réduction par rapport à un point P Calcul de la résultante du système d’actions : Calcul du moment du système d’actions par rapport au point P : 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P Terme qui dépend du point P où est faite la réduction Terme constant indépendant du point P où est faite la réduction Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 24

3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions 0 force : système sans effet Le solide soumis à ce système d’actions ne sera pas mis en mouvement, il sera en équilibre. 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P 1 seule force F (résultante) Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement (translation + rotation par rapport à n’importe quel point P, sauf ceux qui appartiennent au support de la force) Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 25

3.3 Caractérisation de l’effet d’un système d’actions 2 forces constituant un couple C : même direction sens opposés même intensité La résultante est nulle Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement de rotation par rapport à n’importe quel point P 3. Eléments de réduction d’un système d’actions par rapport à un point P 1 force F + 1 couple C Le solide soumis à ce système d’actions sera mis en mouvement (translation + rotation) Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 26

4. Gestion des charges réparties 4. Gestion des charges réparties 4.1 Différents types de charges réparties Poids d’un élément de volume N/m3 Charge sur un élément de surface N/m2 4. Gestion des charges réparties 4. Gestion des charges réparties Charge linéaire N/m Charge concentrée N Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées² Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 27

4. Gestion des charges réparties 4.2 Exemple d’ossature en béton armé Poids volumique du béton armé 25000 N/m3. Poteaux 20x20x270 cm Poutres 20x50x520 cm Dalle épaisseur 20 cm Mur épaisseur 20 cm (poids volumique 18000 N/m3) Semelle de fondation 40x30 cm Plot de fondation 50x50x30 cm (Poids volumique 22000 N/m3) 4. Gestion des charges réparties Figure 13 Exemple simple de construction : définition des éléments Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 28

4. Gestion des charges réparties 4.2 Exemple d’ossature en béton armé Mur Dalle Poutres Poteaux 4. Gestion des charges réparties Figure 13 Différents types de charges réparties et unités associées Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 29

4. Gestion des charges réparties 4.3 Charge uniformément répartie Force concentrée équivalente: Direction verticale (ici pesanteur) Sens (vers le bas) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge dont l’intensité est « p » Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici p x L) 4. Gestion des charges réparties L Figure 14 Charge exercée par un mur sur sa base Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 30

4. Gestion des charges réparties 4.4 Charge due à la pression de l’eau Force concentrée équivalente: Direction horizontale (ici pression de l’eau) Sens (vers la droite) Support passe par le centre de gravité du diagramme de charge triangulaire Intensité est égale à la surface du diagramme de charge (ici 0,5 rgH2) 4. Gestion des charges réparties H Figure 15 Charge exercée par l’eau sur un barrage Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 31

M (F)/P 5. Boîte à outils 5. Boîte à outils P A y H x O 5.1 Produit vectoriel 5. Boîte à outils 5. Boîte à outils M (F)/P y x O P A H Figure 16 Moment d’une force calculé avec le produit vectoriel Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 32

5. Boîte à outils 5.1 Produit vectoriel 6 Moment d’une force 7.1 Moment par rapport à un point de l’espace Exercice 2.7 5. Boîte à outils Figure 17 Intensité algébrique (avec la convention trigonométrique) Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 33

Composante Fx d’une force sur un axe 5.2 Composante d’un force sur un axe Composante Fx d’une force sur un axe F x axe X’ X + a F est l’intensité (valeur absolue) 5. Boîte à outils Figure 18 Calcul de composante Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 34

Décomposition 5. Boîte à outils Composition a 5.3 Décomposition et composition de vecteurs Décomposition a +z 5. Boîte à outils Composition Figure 19 Décomposition et recomposition d’un vecteur Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 35

6. Exercices 6. Exercices 6. Exercices 6. Exercices 6. Exercices Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 36